初中数学思想方法汇总.docx
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初中数学思想方法汇总.docx
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初中数学思想方法的概念、种类
及渗透策略分析
分类讨论思想
一、分类讨论思想的意义
当我们在解决数学问题时,有时由于被研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,因而需对不同属性的对象进行分类研究;或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,因而需对不同情况进行分类研究.通过分类讨论,常能化繁为简,更清楚地暴露事物的本质,并增加条件,“分类讨论”,简言就是先分类,后讨论。
阅读大纲和教材会发现,初中数学对分类讨论本着先易后难、循渐进的原则,把“分类讨论思想”分两个层次,即“分类思想”和“讨论思想”。
分类思想在初中数学占有相当要的地位,通过教学应使学生确立类思想,学会分类方法,而“讨论思则要求通过有关知识的传授起到潜默化的作用。
分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在试题中占有重要的位置。
二、分类讨论的一般步骤是:
明确讨论对象,确定对象的全体→确定分类标准,正确进行分类→逐步进行讨论,获取阶段性结果→归纳小结,综合得出结论。
三、分类讨论思想的分类原则 :
分类讨论必须遵循原则进行,在初中阶段,我们经常用到的有以下4大原则:
(1)同一性原则
(2)互斥性原则(3)相称性原则(4)多层次性原则
四、七年级数学中体现分类讨论思想的知识点
上册:
1、含字母式子的绝对值的化简2、过平面内的点画直线的条数3、线段、角的计算4、立体图形异面点之间的最短距离5、数轴上两点间的距离6、分段计费问题。
下册:
1、两边分别平行的两角的关系2、正数的平方根3、实数的分类4、坐标平面内点的坐标5、P112第10题6、解字母系数的不等式7、借助不等式(组)的正整数解讨论方案设计问题。
五、典型例题
例1.(2011浙江中考)解关于x的不等式组:
a()>
>9a+8
例2已知直线AB上一点C,且有CA=3AB,则线段CA与线段CB之比为__或____。
练习:
已知A、B、C三点在同一条直线上,且线段AB=7cm,点M为线段AB的中点,线段BC=3cm,点N为线段BC的中点,求线段MN的长.
例2下列说法正确的是( )
A、 两条线段相交有且只有一个交点。
B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。
C、两条射线不平行就相交。
D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。
[与角有关的分类讨论思想的应用]——角的一边不确定性引发讨论。
例3在同一平面上,∠AOB=70°,∠BOC=30°,射线OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,求∠MON的大小。
[练习] 已知∠AOB=60°,过O作一条射线OC,射线OE平分∠AOCÐ,射线OD平分∠BOC,求∠DOE的大小
例4化简
练习:
设a是有理数,求a+的值
例5:
甲、乙两人骑自行车,同时从相距75km的两地相向而行,甲的速度为15km/n,乙的速度为10km/n,经过多少小时甲、乙两人相距25km?
例6:
在同一图形内,画出∠AOB=60°,∠COB=50°,OD是∠AOB的平分线,OE是∠COB的平分线,并求出∠DOE的度数
A
B
C
例7:
如图,长方体的长宽高分别为3、4、5,一只蚂蚁长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B,怎样爬行路线最短?
如果要爬行到顶点C呢?
说出你的理由。
六、练习题(菁优网期末考试题精选)
1..阅读下列内容后,解答下列各题:
几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.
例如:
考查代数式(x-1)(x-2)的值与0的大小
当x<1时,x-1<0,x-2<0,∴(x-1)(x-2)>0
当1<x<2时,x-1>0,x-2<0,∴(x-1)(x-2)<0
当x>2时,x-1>0,x-2>0,∴(x-1)(x-2)>0
综上:
当1<x<2时,(x-1)(x-2)<0
当x<1或x>2时,(x-1)(x-2)>0
(1)填写下表:
(用“+”或“-”填入空格处)
(2)由上表可知,当x满足时,(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)<0;
(3)运用你发现的规律,直接写出当x满足时,(x-7)(x+8)(x-9)<0.
x<-2
-2<x<-1
-1<x<3
3<x<4
x>4
x+2
-
+
+
+
+
x+1
-
-
+
+
+
x-3
-
-
-
+
+
x-4
-
-
-
-
+
(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)
+
-
2.已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动,相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示.若AB=6cm,试回答下列问题:
(1)图甲中的BC长是多少?
(2)图乙中的a是多少?
(3)图甲中的图形面积的多少?
(4)图乙中的b是多少?
3.某学校计划购买若干台电脑,现从两家商场了解到同一种型号电脑每台报价均为6000元,并且多买都有一定的优惠,甲商场的优惠条件是:
第一台按原价收费,其余每台优惠25%;乙商场优惠的条件是:
每台优惠20%.
(1)什么情况下到甲商场购买更优惠?
(2)什么情况下到乙商场购买更优惠?
(3)什么情况下两家商场的收费相同?
4.为增强公民的节约意识,合理利用天然气资源,某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调整后的收费价格如表所示:
每月用气量
单价
不超出75m3的部分
2.5元/m3
超出75m3不超出125m3的部分
2.75元/m3
超出125m3的部分
3元/m3
(1)甲用户1月份的用气量为145m3,应缴费多少元?
(2)乙用户2、3月份共用气175m3(2月份用气量超过3月份),共缴费455元,乙用户2、3月份的用气量各是多少?
5.如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(b,0),C(-1,2),且|2a+b+1|+(a+2b-4)2=0.
(1)求a,b的值;
(2)在y轴上存在一点M,使△COM的面积=△ABC的面积,求点M的坐标.
数学建模思想
一、数学建模思想的意义
数学建模思想,就是通过对实际问题的分析,抓住其本质,联想相应的知识,建立数学模型,利用数学知识解决问题的一种数学思想。
二、已学模型
1、一元一次方程;2、二元一次方程的整数解、正整数解;3、二元一次方程组;4、不等式(组);(正整数解)5、假设法;(鸡兔同笼)6、用样本数据估计总体相应的数据。
7、列举法;8、算术法;
三、方法
在分析各种实际问题,抓其本质的过程中,了解各类问题的生活背景,感受数学模型在社会日常生活中的广泛应用,积累数学背景知识,体会数学阅读与文学阅读的区别(数学阅读是量的分析,文学阅读是字词的理解),提高阅读有数学背景的材料的能力,培养用合适的数学模型解决问题的能力。
四、典型题目(精选于菁优网七年级期末考试试卷)
感受数学应用的广阔背景吧!
经历选模、建模、解决问题的过程。
1.根据图中给出的信息,解答下列问题:
(1)放入一个小球水面升高cm,放入一个大球水面升高cm;
(2)如果要使水面上升到50cm,应放入大球、小球各多少个?
2.某镇水库的可用水量为12000万m3,假设年降水量不变,能维持该镇16万人20年的用水量.为实施城镇化建设,新迁入了4万人后,水库只能够维持居民15年的用水量.
(1)问:
年降水量为多少万m3?
每人年平均用水量多少m3?
(2)政府号召节约用水,希望将水库的使用年限提高到25年.则该镇居民人均每年需节约多少m3水才能实现目标?
(3)某企业投入1000万元设备,每天能淡化5000m3海水,淡化率为70%.每淡化1m3海水所需的费用为1.5元,政府补贴0.3元.企业将淡化水以3.2元/m3的价格出售,每年还需各项支出40万元.按每年实际生产300天计算,该企业至少几年后能收回成本(结果精确到个位)?
3.如图所示,在桌面上放着A、B两个正方形,共遮住了27cm2的面积,若这两个正方形重叠部分的面积为3cm2,且正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍,则正方形A的面积是.
4.如图,将正方形ABCD的一角折叠,折痕为AE,∠FAD比∠FAE大48°,设∠FAE和∠FAD的度数分别为x°,y°,那么x,y所适合的一个方程组是( )
5.某电信局现有300部已申请装机的电话等待装机.假设每天新申请装机的电话部数相同,该电信局每个电话装机小组每天装的电话部数也相同,那么安排3个装机小组,恰好30天可将需要装机的电话全部装完;如果安排5个装机小组,则恰好10天可将需要装机的电话全部装完.试求每个电话装机小组每天装机多少部?
每天有多少部新申请装机的电话?
6.某服装厂现有A种布料70米,B种布料52米.现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套,已知做一套M型号时装需用A种布料0.6米,B种布料0.9米;做一套N型号时装需用A种布料1.1米,B种布料0.4米.本着最大限度使用现有布料的原则,请你设计这两种型号时装的生产方案(即两种型号时装分别计划生产的套数),有几种?
请写出来.
3
4
-2
7.如图,在3×3的方阵图中,填写了一些数和代数式(其中每个代数式都表示一个数),使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等.
(1)求x,y的值;
(2)在备用图中完成此方阵图.
3
4
x
-2
y
a
2y-x
c
b
8.为极大地满足人民生活的需求,丰富市场供应,我区农村温棚设施农业迅速发展,温棚种植面积在不断扩大.在耕地上培成一行一行的矩形土埂,按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种.科学研究表明:
在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果(同一种紧挨在一起种植不超过两垄),可增加它们的光合作用,提高单位面积的产量和经济效益.
现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚,分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄,种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄,又不超过14垄(垄数为正整数),它们的占地面积、产量、利润分别如下:
占地面积(m2/垄)
产量(千克/垄)
利润(元/千克)
西红柿
30
160
1.1
草莓
15
50
1.6
(1)若设草莓共种植了x垄,通过计算说明共有几种种植方案?
分别是哪几种?
(2)在这几种种植方案中,哪种方案获得的利润最大?
最大利润是多少?
9.在有16支球队参赛的足球甲级联赛中,每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛,每支球队一个赛季要踢满30场球赛.比赛规则规定:
胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.赛季结束,积分排第1的获得冠军,…积分排第15和第16名的球队降级(下赛季参加乙级联赛).
某赛季第27轮比赛结束时,部分球队的积分排名如下表.各队末赛的3场比赛中,A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行.
球队
积分
排名
甲队
42
1
乙队
40
2
…
…
…
A队
16
13
B队
16
13
C队
16
13
D队
16
13
(1)第27轮比赛结束时,乙队负了7场,求乙队此时胜、平各多少场?
(2)第27轮比赛结束时,甲队的负场数比乙队多,则甲队的胜、平、负场数各是多少?
(3)若最后3场比赛A队得5分,B队一场未负得3分,则A队是否降级?
为什么?
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