动点路径长专题(含答案).doc
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动点路径长专题(含答案).doc
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动点路径长专题
一.选择题(共2小题)
1.如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为( )
A.
B.
C.
D.
图1图2
2.如图,半径为4的⊙O中,CD为直径,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,点E为⊙O上一动点,CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为( )
A.
B.
C.
D.
二.填空题(共9小题)
3.(2013•鄂尔多斯)如图,直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点,点P为线段OA上的动点,连接BP,过点A作AM垂直于直线BP,垂足为M,当点P从点O运动到点A时,则点M运动路径的长为 _________ .
图3图4图5
4.如图,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设△OPH的内心为I,当点P在上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为 _________ .
5.(2011•江西模拟)已知扇形的圆心角为60°,半径为1,将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置,
①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′;
②点O到O′的路径是→→;
③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2;
④点O到O′的所经过的路径长为.以上命题正确的是 _________ .
6.(2013•宁德)如图,在Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=BC=4,点P在AC上运动,将纸片沿PB折叠,得到点C的对应点D(P在C点时,点C的对应点是本身),则折叠过程对应点D的路径长是 _________ .
图6图7图8
7.如图,已知AB=10,P是线段AB上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB,连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,则点G移动路径的长是 _________ .
8.(2013•湖州)如图,已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点,AC⊥x轴于点M,交直线y=﹣x于点N.若点P是线段ON上的一个动点,∠APB=30°,BA⊥PA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是 _________ .
9.(2013•桂林)如图,已知线段AB=10,AC=BD=2,点P是CD上一动点,分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB,设正方形对角线的交点分别为O1、O2,当点P从点C运动到点D时,线段O1O2中点G的运动路径的长是 _________ .
图9图10图11
10.(2013•竹溪县模拟)如图:
已知AB=10,点C、D在线段AB上且AC=DB=1;P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB,连结EF,设EF的中点为G;当点P从点C运动到点D时,则点G移动路径的长是 _________ .
11.如图,一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处,此时BC为1米,当A点下滑至A'处并且A'C=1米时,木棒AB的中点P运动的路径长为 _________ 米.
三.解答题(共1小题)
12.(2012•义乌市模拟)如图,边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点,点A在x轴正半轴上,点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.在点P的运动过程中,线段BP的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC.
(1)当点P运动到线段OA的中点时,点C的坐标为 _________ ;
(2)在点P从点O到点A的运动过程中,用含t的代数式表示点C的坐标;
(3)在点P从点O到点A的运动过程中,求出点C所经过的路径长.
《动点路径长专题》参考答案与试题解析
一.选择题(共2小题)
1.如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
二次函数综合题.719606
专题:
压轴题.
分析:
首先根据题意求得点A与B的坐标,求得抛物线的对称轴,然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与直线x=的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得A′B′即是所求的长度.
解答:
解:
如图
∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点,
∴x2﹣x﹣=x﹣2,
解得:
x=1或x=,
当x=1时,y=x﹣2=﹣1,
当x=时,y=x﹣2=﹣,
∴点A的坐标为(,﹣),点B的坐标为(1,﹣1),
∵抛物线对称轴方程为:
x=﹣=
作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,
连接A′B′,
则直线A′B′与对称轴(直线x=)的交点是E,与x轴的交点是F,
∴BF=B′F,AE=A′E,
∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′,
延长BB′,AA′相交于C,
∴A′C=++(1﹣)=1,B′C=1+=,
∴A′B′==.
∴点P运动的总路径的长为.
故选A.
点评:
此题考查了二次函数与一次函数的综合应用.注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键,还要注意数形结合与方程思想的应用.
2.如图,半径为4的⊙O中,CD为直径,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,点E为⊙O上一动点,CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
圆的综合题.719606
专题:
压轴题.
分析:
连接AC,AO,由AB⊥CD,利用垂径定理得到G为AB的中点,由中点的定义确定出OG的长,在直角三角形AOG中,由AO与OG的长,利用勾股定理求出AG的长,进而确定出AB的长,由CO+GO求出CG的长,在直角三角形AGC中,利用勾股定理求出AC的长,由CF垂直于AE,得到三角形ACF始终为直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半径,如图中红线所示,当E位于点B时,CG⊥AE,此时F与G重合;当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,在直角三角形ACG中,利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数,进而确定出所对圆心角的度数,再由AC的长求出半径,利用弧长公式即可求出的长,即可求出点F所经过的路径长.
解答:
解:
连接AC,AO,
∵AB⊥CD,
∴G为AB的中点,即AG=BG=AB,
∵⊙O的半径为4,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,
∴OG=2,
∴在Rt△AOG中,根据勾股定理得:
AG==2,
∴AB=2AG=4,
又∵CG=CO+GO=4+2=6,
∴在Rt△AGC中,根据勾股定理得:
AC==4,
∵CF⊥AE,
∴△ACF始终是直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆,
当E位于点B时,CG⊥AE,此时F与G重合;当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,
∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,
在Rt△ACG中,tan∠ACG==,
∴∠ACG=30°,
∴所对圆心角的度数为60°,
∵直径AC=4,
∴的长为=π,
则当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为π.
故选C.
点评:
此题考查了圆的综合题,涉及的知识有:
坐标与图形性质,勾股定理,锐角三角函数定义,弧长公式,以及圆周角定理,其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,是解本题的关键.
二.填空题(共9小题)
3.(2013•鄂尔多斯)如图,直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点,点P为线段OA上的动点,连接BP,过点A作AM垂直于直线BP,垂足为M,当点P从点O运动到点A时,则点M运动路径的长为 .
考点:
一次函数综合题.719606
分析:
根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标,由题意可得点M的路径是以AB的中点N为圆心,AB长的一半为半径的,求出的长度即可.
解答:
解:
∵AM垂直于直线BP,
∴∠BMA=90°,
∴点M的路径是以AB的中点N为圆心,AB长的一半为半径的,
连接ON,
∵直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点,
∴OA=OB=4,
∴ON⊥AB,
∴∠ONA=90°,
∵AB==4,
∴ON=2,
∴=•2=.
故答案为:
π.
点评:
本题考查了二次函数的综合题,涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹,难点在于根据∠BMC=90°,判断出点M的运动路径是解题的关键,同学们要注意培养自己解答综合题的能力.
4.如图,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设△OPH的内心为I,当点P在上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为 .
考点:
弧长的计算;全等三角形的判定与性质;三角形的内切圆与内心.719606
专题:
计算题.
分析:
如图,连OI,PI,AI,由△OPH的内心为I,可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣(∠HOP+∠OPH)=135°,并且易证△OPI≌△OAI,得到∠AIO=∠PIO=135°,所以点I在以OA为弦,并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上;过A、I、O三点作⊙O′,如图,连O′A,O′O,在优弧AO取点P,连PA,PO,可得∠APO=180°﹣135°=45°,得∠AOO=90°,O′O=OA=×2=,然后利用弧长公式计算弧OA的长.
解答:
解:
如图,连OI,PI,AI,
∵△OPH的内心为I,
∴∠IOP=∠IOA,∠IPO=∠IPH,
∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣(∠HOP+∠OPH),
而PH⊥OA,即∠PHO=90°,
∴∠PIO=180°﹣(∠HOP+∠OPH)=180°﹣(180°﹣90°)=135°,
又∵OP=OA,OI公共,
而∠IOP=∠IOA,
∴△OPI≌△OAI,
∴∠AIO=∠PIO=135°,
所以点I在以OA为弦,并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上;
过A、I、O三点作⊙O′,如图,连O′A,O′O,
在优弧AO取点P,连PA,PO,
∵∠AIO=135°,
∴∠APO=180°﹣135°=45°,
∴∠AOO=90°,而OA=2cm,
∴O′O=OA=×2=,
∴弧OA的长==(cm
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