北师大版《数学》(八年级上册)知识点总结.doc
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北师大版《数学》(八年级上册)知识点总结
第一章勾股定理
1、勾股定理
(1)直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即
(2)勾股定理的验证:
测量、数格子、拼图法、面积法,如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……(通过面积的不同表示方法得到验证,也叫等面积法或等积法)
(3)勾股定理的适用范围:
仅限于直角三角形
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c有关系,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数:
满足的三个正整数a,b,c,称为勾股数。
常见的勾股数有:
(6,8,10)(3,4,5)(5,12,,13)(9,12,15)(7,24,25)(9,40,41)……
规律:
(1),短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数,两边之和是短直角边的平方。
即当a为奇数且a<b时,如果b+c=a2那么a,b,c就是一组勾股数.如(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)(9,40,41)……
(2)大于2的任意偶数,2n(n>1)都可构成一组勾股数分别是:
2n,n2-1,n2+1
如:
(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)……
4、常见题型应用:
(1)已知任意两条边的长度,求第三边/斜边上的高线/周长/面积……
(2)已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系,求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……
(3)判定三角形形状:
a2+b2>c2锐角~,a2+b2=c2直角~,a2+b2<c2钝角~
判定直角三角形a..找最长边;b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系;c.确定形状
(4)构建直角三角形解题
例1.已知直角三角形的两直角边之比为3:
4,斜边为10。
求直角三角形的两直角边。
解:
设两直角边为3x,4x,由题意知:
∴x=2,则3x=6,4x=8,故两直角边为6,8。
中考突破
(1)中考典题
例.如图
(1)所示,一个梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE位置上,如图
(2)所示,测得得BD=0.5米,求梯子顶端A下落了多少米?
思维入门指导:
梯子顶端A下落的距离为AE,即求AE的长。
已知AB和BC,根据勾股定理可求AC,只要求出EC即可。
解:
在Rt△ACB中,AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4,
∴AC=2
∵BD=0.5,∴CD=2
∴EC=1.5
答:
梯子顶端下滑了0.5米。
点拨:
要考虑梯子的长度不变。
例5.如图所示的一块地,AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积。
思维入门指导:
求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形,若连结BD,似乎不
解:
连结AC,在Rt△ADC中,
在△ABC中,AB2=1521
答:
这块地的面积是216平方米。
点拨:
此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。
第二章实数
基本知识回顾
1.无理数的引入。
无理数的定义无限不循环小数。
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数和无限循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
2、无理数:
无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如π/3+8等;
(3)有一定规律,但并不循环的数,如0.1010010001…等;
(4)某些三角函数值,如sin60o等
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。
(|a|≥0)。
零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
5、估算
利用非负数解题的常见类型
例1.
解:
点拨:
利用算术平方根,绝对值非负性解题。
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地,0的算术平方根是0。
表示方法:
记作“”,读作根号a。
性质:
正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2、平方根:
一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。
表示方法:
正数a的平方根记做“”,读作“正、负根号a”。
性质:
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
开平方:
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
注意的双重非负性:
被开方数与结果均为非负数。
即a≥0,
3、立方根
一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根(或三次方根)。
表示方法:
记作
性质:
一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意:
,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小:
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:
设a、b是实数,
(3)求商比较法:
设a、b是两正实数,
(4)绝对值比较法:
设a、b是两负实数,则。
(5)平方法:
设a、b是两负实数,则。
(6)倒数法:
设a、b是同正,如果1/a>1/b,则a<b;同负,如果1/a>1/b,则a>b
五、算术平方根有关计算(二次根式)
1、含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。
2、性质:
(1)
(2)
(3)()
(4)()
3、运算结果若含有“”形式,必须满足:
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
(1)六种运算:
加、减、乘、除、乘方、开方
(2)实数的运算顺序
先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
(3)运算律
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
例.计算:
通过以上计算,观察规律,写出用n(n为正整数)表示上面规律的等式___________。
解:
规律:
第三章图形的平移与旋转
一、平移
1、定义:
在平面内,将一个图形整体沿某方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。
2、要素(或条件):
方向,即前后对应点的射线方向;距离,即对应点之间的距离
3、性质:
平移前后两个图形的形状和大小不变(即全等图形),对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等,对应线段平行(或在同一条直线上)且相等,对应角相等。
4、平移作图:
线段的平移作法:
作法1:
将线段两端点分别平移,然后将两个平移后的点连成线段,即为原线段平移后的线段;
作法2:
将线段一端点平移,然后过平移后的点作原线段的平行线,在该平行线适当方向截取长度为指定线段长度,则所得线段为所求.
二、旋转
1、定义:
在平面内,将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角叫做旋转角。
2、要素(或条件):
旋转中心(定点)、旋转方向(顺时针/逆时针)、旋转角度(0~3600)
3、性质:
旋转前后两个图形是全等图形,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。
4、旋转作图:
(1)作图步骤:
观察基本图案(确定关键点)——确定旋转的三要素——找到对应点——连接对应点——作答
(2)旋转作图的方法:
1、把各关键点依次与旋转中心连接
2、按要求向顺时针/逆时针旋转相应角度
3、截取对应线段
4、连接对应点
5、作答
三、简单的图案设计:
第四章四边形性质探索
一、四边形的相关概念
1、四边形:
在同一平面内,由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。
2、四边形具有不稳定性
3、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理:
四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理:
四边形的外角和等于360°。
推论:
多边形的内角和定理:
n边形的内角和等于(n-2)×180°;
多边形的外角和定理:
任意多边形的外角和等于360°。
6、设多边形的边数为n,从n边形的一个顶点出发能引(n-3)条对角线,将n边形分成(n-2)个三角形。
多边形的对角线共有条。
二、平行四边形
1、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边平行且相等。
(2)平行四边形相邻的角互补,对角相等
(3)平行四边形的对角线互相平分。
(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。
常用点:
(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
(2)推论:
夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定
(1)定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)定理1:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(3)定理2:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(4)定理3:
对角线互相平分的四边形是平行四边形
(5)定理4:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线之间的距离(平行线间的距离处处相等)
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。
5、平行四边形的面积:
S平行四边形=底边长×高=ah
三、菱
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