新人教版八年级下压轴题.doc
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初二期末复习题
1.△ABC、△ADE都是正三角形,CD=BF.
(1)、求证:
△ACD≌△CBF
(2)、当D运动至BC边上的何处时,四边形CDEF为平行四边形,且∠DEF=30°,并证明你的结论.
分析⑴.证明△ACD≌△CBF已经有了CD=BF,而△ABC、△ADE都是正三角形又可以给我们提供条件,根据“”判定方法可以证得△ACD≌△CBF.
⑵.根据⑴问的△ACD≌△CBF得出,又△ADE是正三角形的,所以;要使四边形CDEF为平行四边形可以证.
若四边形CDEF为平行四边形,则;当时,就有,此时就能证得.由正△ADE可以得出,则,;由于等腰三角形具有“三线合一”的特征,所以当D运动至BC边上中点时,四边形CDEF为平行四边形.
2.D为□ABCD外一点,∠APC=∠BPD=90°.求证:
□ABCD为矩形
分析:
判定矩形的方法主要有三种.但在已知了四边形是平行
四边形的情况下,要判定是矩形的途径有两条:
其一、找
一内角是直角;其二、找出对角线相等,即找出.
由于本题的另一主要条件是∠APC=∠BPD=90°,要根据题中条件和图形位置转换成四边形的内角为90°比较困难,所以本题我们先想办法找出对角线相等,即找出.
我们发现本题在和的两斜边的交点恰好是平行四边形对角线的交点,根据平行四边形对角线互相平分可知:
同时是的中点;所以自然联想到连结这条两直角三角形公共的中线(见图).根据以上条件,在和中就有:
故,由对角线相等的平行四边形是矩形,可判定是矩形.
C
A
B
H
D
E
F
3.△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,AH⊥BC于H交BD于E,DF⊥BC于F,求证:
四边形AEFD是菱形
分析:
判定菱形方法主要有三种,三种方法都可以使本题获得解决.
下面我们选择“四边都相等的四边形是菱形”这一途径来分析.
可以先根据角平分线的性质得出,进而容易证明
≌,所以;再证明≌
可以得到(也可以利用等腰三角形的“三线合一”);利用等角的余角相等可以推出
所以,于是,故四边形是菱形.
4、如图所示,在菱形中,,为正三角形,点分别在菱形的边上滑动,且不与重合.
⑴.证明不论在D上如何滑动,总有?
⑵.当点在上滑动时,探讨四边形的面积是否发生变化?
如果不变,求出这个定值.
分析:
⑴.先求证,进而求证为等边三角形,得进而求证≌,即可求得
⑵.根据≌可得;根据四边形===即可解得.
⑴.证明:
连接AC,如下图所示.
∵四边形为菱形,∴
∴∵∴∴和都为等边三角形
∴
∴在和中,∴≌∴
⑵.解:
四边形AECF的面积不变.理由:
由⑴得≌,则.
故四边形===是定值.作于点,则来源:
学科网]
图25-1
四边形=S
5、
(1)在图25-1中,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN.
∠ABC=∠ADC=90°,则能得如下两个结论:
①DC=BC;②AD+AB=AC.请你证明结论②;
(2)在图25-2中,把
(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°,
其他条件不变,则
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,
请给出证明;若不成立,请说明理由.
图25-2
5、
(1)证明:
∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN.
∴∠DAC=∠BAC=60∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠DCA=∠BCA=30°,
在Rt△ACD中,∠DCA=30°,Rt△ACB中,
∠BCA=30°∴AC=2AD,AC=2AB,
图25-2
∴2AD=2AB∴AD=AB∴AD+AB=AC.
(2)解:
(1)中的结论①DC=BC;②AD+AB=AC都成立
理由如下:
如图24-2,在AN上截取AE=AC,连结CE,
∵∠BAC=60°,∴△CAE为等边三角形,
∴AC=CE,∠AEC=60°,∵∠DAC=60°,
∴∠DAC=∠AEC,∵∠ABC+∠ADC=180°∠ABC+∠EBC=180°,∴∠ADC=∠EBC,∴∴DC=BC,DA=BE,∴AD+AB=AB+BE=AE,∴AD+AB=AC.
6如图所示,直线:
y=-与轴、y轴分别交于A、B两点,在y轴上有一点C(0,4),动点M从A点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求△COM的面积S与M的移动时间
t之间的函数关系式;
(3)当t为何值时△COM≌△AOB,并求
此时M点的坐标.
A、B两点的坐标分别为A(4,0)、B(0,2);
(2)∵C(0,4),A(4,0)∴OC=OA=4,
当0≤t≤4时,OM=OA-AM=4-t,S△OCM=
1
2
×4×(4-t)=8-2t;
当t>4时,OM=AM-OA=t-4,S△OCM=
1
2
×4×(t-4)=2t-8;
(3)分为两种情况:
①当M在OA上时,OB=OM=2,△COM≌△AOB.∴AM=OA-OM=4-2=2
∴动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动2个单位,所需要的时间是2秒钟;
M(2,0),
②当M在AO的延长线上时,OM=OB=2,则M(-2,0),即M点的坐标是(2,0)或(-2,0).
y
F
EAOx
7、如图,直线y=kx+6分别与x轴、y轴相交于点E和点F,点E的坐标为(-8,0),点A的坐标为(0,6)。
(1)求k的值;
(2)若点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点,当点P运动过程中,试写出△OPA的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)探究:
当P运动到什么位置时,△OPA的面积为,并说明理由。
解:
(1)把E(-8,0)代入直线y=kx+6中得:
0=-8k+6,解得:
k=
(2)直线是:
y=x+6即P坐标是:
(x,x+6) 所以:
OPA的面积是:
S=×|OA|×(x+6)=×6×(x+6)=x+18 (-8 =x+18 x=-6.5y=×(-6.5)+6=即当P点运动到(-6.5,)时面积是。 8、在△ABC中,∠B=60°点P从B点开始出发向C点运动,在运动过程中,设线段AP的长为y,线段BP的长为x(如图甲),而y关于x的函数图象如图乙所示 Q(1, )是函数图象上的最低点 请仔细观察甲、乙两图,解答下列问题 (1)请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长; (2)求∠B的度数; (3)若△ABP为钝角三角形,求x的取值范围 试题分析: (1)从图乙可得当x=0时,y的值即是AB的长度,故AB=2; 图乙函数图象的最低点的y值是AH的值,故AH= (2)在RT△ABH中,AH= ,BH=1, 故 (3)①当∠APB为钝角时,此时可得0<x<1; ②当∠BAP为钝角时,过点A作AP⊥AB, 则BP=4, 即当4<x≤6时,∠BAP为钝角 综上可得0<x<1或4<x≤6时△ABP为钝角三角形 9、如图,已知点A,点B在第一,三象限的角平分线上,P为直线AB上的一点,PA=PB,AM、BN分别垂直与x轴、y轴,连接PM、PN. (1)求直线AB的解析式; (2)如图1,P、A、B在第三象限,猜想PM,PN之间的关系,并说明理由; (3)点P、A在第三象限,点B在第一象限,如图2其他条件不变, (2)中的结论还成立吗,请证明你的结论. (1)∵点A,点B在第一,三象限的角平分线上, ∴直线AB的解析式是y=x; (2)PM=PN且PM⊥PN, 理由是: 过P作PE⊥x轴于E,PF⊥y轴于F,过A作AQ⊥y轴于Q, ∵A在第一、三象限的角平分线上,PM⊥x轴于M, ∴AM=AQ,∠AMO=90°,∠MOA=45°, ∴∠MAO=∠MOA=45°, ∴OM=AM, 同理OQ=AQ, ∴OM=OQ, 同理OE=OF,PE=PF, 在△MEP和△NFP中 ME=NF ∠MEP=∠NFP=90° PE=PF ∴△MEP≌△NFP(SAS),∴PM=PN,∠EPM=∠NPF,∵PE⊥x轴,PF⊥y轴,x轴⊥y轴, ∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°,∴∠EPF=90°, ∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠FPN+∠EPN=∠EPF=90°,即PM⊥PN; (3)成立; 证明: 延长BN交AM于E,连接EP, ∵A、B在第一、三象限角的角平分线上, ∴∠MOA=∠BON=45°, ∵∠BNO=∠AMO=90°,∴∠NBO=∠EAO=∠NOB=45°, ∴AE=BE,BN=ON,∵∠ENO=∠NOM=∠EMO=90°, ∴四边形EMON是矩形,∴ME=ON=BN,∠AEB=90°, ∵P为AB中点,AE=BE, ∴∠MEP=∠NBP=45°,EP=PB,∠EPB=90°, 在△EMP和△BNP中 EP=BP ∠MEP=∠NBP EM=BN ∴△EMP≌△BNP(SAS), ∴PM=PN,∠EPM=∠NPB, ∵∠EPB=90°,∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠BPN+∠EPN=∠EPB=90°, 即PM⊥PN. 10、如图,点A的坐标是(-2,0),点B的坐标是(6,0),点C在第一象限 内且△OBC为等边三角形,直线BC交y轴于点D,过点A作直线AE⊥BD,垂足为E,交OC于点F. (1)求直线BD的函数表达式; (2)求线段OF的长; (3)连接BF,OE,试判断线段BF和OE的数量关系,并说明理由. (1)∵△OBC是等边三角形,∴∠OBC=60°,OC=BC=OB, ∵点B的坐标为(6,0),∴OB=6, 在Rt△OBD中,∠OBC=60°,OB=6,∴∠ODB=30°,∴BD=12,∴OD= 122? 62 =6 3 , ∴点D的坐标为(0,6 3 ), 设直线BD的解析式为y=kx+b,则可得∴直线BD的函数解析式为y=- 3 x+6 3 . (2)∵∠OCB=60°,∠CEF=90°,∴∠CFE=30°,∴∠AFO=30°(对顶角相等),又∵∠OBC=60°,∠AEB=90°, ∴∠BAE=30°,∴∠BAE=∠AFO,∴OF=OA=2. (3)连接BF,OE,如图所示: ∵A(-2,0),B(6,0), ∴AB=8,在Rt△ABE中,∠ABE=60°,AB=8, ∴BE= 1 2 AB=4,∴CE=BC-BE=2,∴OF=CE=2, 在△COE和△OBF中, CE=OF ∠OCE=∠BOF=60° CO=OB , ∴△COE≌△OBF(SAS), ∴OE=BF. 11、如图,A(1,0),B(4,0),M(5,3).动点P从点A出发,沿x轴 以每秒1个单位长的速度向右移动,且过点P的直线l: 也随之移动.设移动时 间为t秒. (1)当t=1时,求l的解析式; (2)若l与线段BM有公共点,确定t的取值范围; (3)直接写出t为何值时,点M关于l的对称点落在y轴上. 解: (1)直线y=-x+b交x轴于点P(1+t,0), 由题意,得b
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