最新中考二次函数动点问题含答案.docx
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初三冲刺必备
二次函数的动点问题
1.如图①,正方形的顶点的坐标分别为,顶点在第一象限.点从点出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点从点出发,沿轴正方向以相同速度运动.当点到达点时,两点同时停止运动,设运动的时间为秒.
(1)求正方形的边长.
(2)当点在边上运动时,的面积(平方单位)与时间(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②所示),求两点的运动速度.
(3)求
(2)中面积(平方单位)与时间(秒)的函数关系式及面积取最大值时点的坐标.
(4)若点保持
(2)中的速度不变,则点沿着边运动时,的大小随着时间的增大而增大;沿着边运动时,的大小随着时间的增大而减小.当点沿着这两边运动时,使的点有 个.
(抛物线的顶点坐标是.
图②
图①
[解]
(1)作轴于.
,
.
.
(2)由图②可知,点从点运动到点用了10秒.
又.
两点的运动速度均为每秒1个单位.
(3)方法一:
作轴于,则.
,即.
.
.
,
.
即.
,且,
当时,有最大值.
此时,
点的坐标为. (8分)
方法二:
当时,.
设所求函数关系式为.
抛物线过点,
.
,且,
当时,有最大值.
此时,
点的坐标为.
(4).
[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识,是近年来较为流行的试题,解题的关键在于结合题目的要求动中取静,相信解决这种问题不会非常难。
.
2.如图①,中,,.它的顶点的坐标为,顶点的坐标为,,点从点出发,沿的方向匀速运动,同时点从点出发,沿轴正方向以相同速度运动,当点到达点时,两点同时停止运动,设运动的时间为秒.
(1)求的度数.
(2)当点在上运动时,的面积(平方单位)与时间(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图②),求点的运动速度.
(3)求
(2)中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标.
(4)如果点保持
(2)中的速度不变,那么点沿边运动时,的大小随着时间的增大而增大;沿着边运动时,的大小随着时间的增大而减小,当点沿这两边运动时,使的点有几个?
请说明理由.
(第29题图①)
A
C
B
Q
D
O
P
x
y
30
10
O
5
t
S
(第29题图②)
解:
(1).
(2)点的运动速度为2个单位/秒.
(3)()
.
当时,有最大值为,
此时.
(4)当点沿这两边运动时,的点有2个.
①当点与点重合时,,
当点运动到与点重合时,的长是12单位长度,
作交轴于点,作轴于点,
由得:
,
所以,从而.
第29题图①
所以当点在边上运动时,的点有1个.
②同理当点在边上运动时,可算得.
而构成直角时交轴于,,
所以,从而的点也有1个.
所以当点沿这两边运动时,的点有2个.
3.(本题满分14分)如图,直线与轴交于点,与轴交于点,已知二次函数的图象经过点、和点.
(1)求该二次函数的关系式;
(2)设该二次函数的图象的顶点为,求四边形的面积;
(3)有两动点、同时从点出发,其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动,点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动,当、两点相遇时,它们都停止运动.设、同时从点出发秒时,的面积为S.
①请问、两点在运动过程中,是否存在∥,若存在,请求出此时的值;若不存在,请说明理由;
②请求出S关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
③设是②中函数S的最大值,那么=.
解:
(1)令,则;
令则.∴.
∵二次函数的图象过点,
∴可设二次函数的关系式为
又∵该函数图象过点.
∴
解之,得,.
∴所求二次函数的关系式为
(2)∵
=
∴顶点M的坐标为
过点M作MF轴于F
∴
=
∴四边形AOCM的面积为10
(3)①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC,则点D,E应分别在线段OA,CA上,此时,在中,.
设点E的坐标为∴,∴∵,
∴∴
∵>2,不满足.
∴不存在.
②根据题意得D,E两点相遇的时间为
(秒)
现分情况讨论如下:
ⅰ)当时,;
ⅱ)当时,设点E的坐标为
∴,∴
∴
ⅲ)当2<<时,设点E的坐标为,类似ⅱ可得
设点D的坐标为
∴,
∴
∴
=
③
47.关于的二次函数以轴为对称轴,且与轴的交点在轴上方.
(1)求此抛物线的解析式,并在下面的直角坐标系中画出函数的草图;
(2)设是轴右侧抛物线上的一个动点,过点作垂直于轴于点,再过点作轴的平行线交抛物线于点,过点作垂直于轴于点,得到矩形.设矩形的周长为,点的横坐标为,试求关于的函数关系式;
(3)当点在轴右侧的抛物线上运动时,矩形能否成为正方形.若能,请求出此时正方形的周长;若不能,请说明理由.
参考资料:
抛物线的顶点坐标是,对称轴是直线.
解:
(1)据题意得:
,
.
当时,.
当时,.
又抛物线与轴的交点在轴上方,.
抛物线的解析式为:
.
函数的草图如图所示.(只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可)
(2)解:
令,得.
不时,,,
.
4
3
2
1
1
2
3
4
(第26题)
当时,,
.
.
关于的函数关系是:
当时,;
当时,.
(3)解法一:
当时,令,
得.
解得(舍),或.
将代入,
得.
当时,令,得.
解得(舍),或.
将代入,得.
综上,矩形能成为正方形,且当时正方形的周长为;当时,正方形的周长为.
解法二:
当时,同“解法一”可得.
正方形的周长.
当时,同“解法一”可得.
正方形的周长.
综上,矩形能成为正方形,且当时正方形的周长为;当时,正方形的周长为.
解法三:
点在轴右侧的抛物线上,
,且点的坐标为.
令,则.
,①或②
由①解得(舍),或;
由②解得(舍),或.
又,
当时;
当时.
综上,矩形能成为正方形,且当时正方形的周长为;当时,正方形的周长为.
5.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB (1)求A、B、C三点的坐标; (2)求此抛物线的表达式; (3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围; (4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由. 第26题图 解: (1)解方程x2-10x+16=0得x1=2,x2=8 ∵点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,且OB<OC ∴点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8) 又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为(-6,0) (2)∵点C(0,8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上 ∴c=8,将A(-6,0)、B(2,0)代入表达式,得 第26题图(批卷教师用图) 解得 ∴所求抛物线的表达式为y=-x2-x+8 (3)依题意,AE=m,则BE=8-m, ∵OA=6,OC=8,∴AC=10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴= 即= ∴EF= 过点F作FG⊥AB,垂足为G,则sin∠FEG=sin∠CAB= ∴= ∴FG=·=8-m ∴S=S△BCE-S△BFE=(8-m)×8-(8-m)(8-m) =(8-m)(8-8+m)=(8-m)m=-m2+4m 自变量m的取值范围是0<m<8 (4)存在. 理由: ∵S=-m2+4m=-(m-4)2+8 且-<0, ∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8 ∵m=4,∴点E的坐标为(-2,0) ∴△BCE为等腰三角形. 6.(14分)如图: 抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)已知AD=AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值; (3)在 (2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小? 若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。 (注: 抛物线的对称轴为) (1)解法一: 设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-4) 因为B(0,4)在抛物线上,所以4=a(0+3)(0-4)解得a=-1/3 所以抛物线解析式为 解法二: 设抛物线的解析式为, 依题意得: c=4且解得 所以所求的抛物线的解析式为 (2)连接DQ,在Rt△AOB中, 所以AD=AB=5,AC=AD+CD=3+4=7,CD=AC-AD= 7–5=2 因为BD垂直平分PQ,所以PD=QD,PQ⊥BD,所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB,所以∠ABD=∠ADB,∠ABD=∠QDB,所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。 ∠CDQ=∠CAB,所以△CDQ∽△CAB 即 所以AP=AD–DP=AD–DQ=5–=, 所以t的值是 (3)答对称轴上存在一点M,使MQ+MC的值最小 理由: 因为抛物线的对称轴为 所以A(-3,0),C(4,0)两点关于直线对称 连接AQ交直线于点M,则MQ+MC的值最小 过点Q作QE⊥x轴,于E,所以∠QED=∠BOA=900 DQ∥AB,∠BAO=∠QDE,△DQE∽△ABO 即 所以QE=,DE=,所以OE=OD+DE=2+=,所以Q(,) 设直线AQ的解析式为 则由此得 所以直线AQ的解析式为联立 由此得所以M 则: 在对称轴上存在点M,使MQ+MC的值最小。 7.如图9,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0), OB=OC,tan∠ACO=. (1)求这个二次函数的表达式. (2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形? 若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度. (4)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大? 求出此时P点的坐标和△APG的最大面积. (1)方法一: 由已知得: C(0,-3),A(-1,0)…1分 将A、B、C三点的坐标代入得……………………2分 解得:
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