知识讲解+例题解析+强化训练(一次函数).doc
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知识讲解+例题解析+强化训练
一次函数
◆知识讲解
1.正比例函数的定义
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
2.正比例函数的图像
正比例函数y=kx(k是常数且k≠0)的图像是一条经过原点(0,0)和点(1,k)的直线,我们称它为直线y=kx;当k>0时,直线y=kx经过第一,三象限,y随着x的增大而增大,当k<0时,直线y=kx经过第二,四象限,y随着x的增大而减少.
3.一次函数的定义
如果y=kx+b(k,b为常数,且k≠0),那么y叫做x的一次函数.一次函数的标准形式为y=kx+b,是关于x的一次二项式,其中一次项系数k必须是不为零的常数,b可以为任何常数.当b=0而k≠0时,它是正比例函数,由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况.当k=0而b≠0时,它不是一次函数.
4.一次函数的图像
一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线,通常也称直线y=kx+b,由于两点确定一条直线,故画一次函数的图像时,只要先描出两点,再连成直线就可以了,为了方便,通常取图像与坐标轴的两个交点(0,b),(-,0)就行了.
5.一次函数的图像与性质
直线y=kx+b(k≠0)中,k和b决定着直线的位置及增减性,当k>0时,y随x的增大而增大,此时若b>0,则直线y=kx+b经过第一,二,三象限;若b<0,则直线y=kx+b经过第一,三,四象限,当k<0时,y随x的增大而减小,此时当b>0时,直线y=kx+b经过第一,二,四象限;当b<0时,直线y=kx+b经过第二,三,四象限.
6.一次函数图像的平移与图像和坐标轴围成的三角形的面积
一次函数y=kx+b沿着y轴向上(“+”)、下(“-”)平移m(m>0)个单位得到一次函数y=kx+b±m;一次函数y=kx+b沿着x轴向左(“+”)、右(“-”)平移n(n>0)个单位得到一次函数y=k(x±n)+b;一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的.只不过是一种情况,两种表示罢了;直线y=kx+b与x轴交点为(-,0),与y轴交点为(0,b),且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S△=·│-│·│b│.
◆例题解析
例1已知直线L1经过点A(-1,0)与点B(2,3),另一条直线L2经过点B,且与x轴相交于点P(m,0).
(1)求直线L1的解析式;
(2)若△APB的面积为3,求m的值.
【分析】函数图像上的两点坐标也即是x,y的两组对应值,可用待定系数法求解,求函数与坐标轴所围成的三角形面积关键是求出函数解析式的k,b的值.
【解答】
(1)设直线L的解析式为y=kx+b,由题意得
解得
所以,直线L1的解析式为y=x+1.
(2)当点P在点A的右侧时,AP=m-(-1)=m+1,有S△APC=×(m+1)×3=3.
解得m=1,此时点P的坐标为(1,0);
当点P在点A的左侧时,AP=-1-m,有S=×(-m-1)×3=3,解得m=-3,此时,点P的坐标为(-3,0).
综上所述,m的值为1或-3.
【点评】先设一次函数的解析式,再代入点的坐标,利用方程组求解,其步骤是:
设、代,求、答.
例2下图表示甲,乙两名选手在一次自行车越野赛中,路程y(km)随时间x(min)的变化的图像(全程),根据图像回答下列问题:
(1)求比赛开始多少分钟时,两人第一次相遇?
(2)求这次比赛全程是多少千米?
(3)求比赛开始多少分钟时,两人第二次相遇.
【分析】观察图像知,甲选手的路程y随时间x变化是一个分段函数,第一次相遇时是在AB段,故求出15≤x≤33时的函数关系式;欲求出比赛全程,则需知乙的速度,这可由第一次相遇时的路程与时间的关系求得,要求第二次相遇时间,即先求甲在BC段的函数关系式,再求出BC和OD的交点坐标即可.
【解答】
(1)当15≤x≤33时,设yAB=k1x+b1,将(15,5)与(33,7)代入得:
解得
∴yAB=x+
当y=6时,有:
6=x+,解得x=24.
∴比赛进行到24min时,两人第一次相遇.
(2)设yOD=kx,将(24,6)代入得:
6=24k,∴k=
∴yOD=x
当x=48时,yOD=×48=12
∴比赛全程为12km.
(3)当33≤x≤43时,设yBC=k2x+b2,将(33,7)和(43,12)代入得:
解得
∴yBC=x-
∴解得
∴比赛进行到38min时,两人第二次相遇.
【点评】解答图像应用题的要领是从图像的形状特点、变化趋势、相关位置、相关数据出发,充分发掘图像所蕴含的信息,利用函数、方程(组)、不等式等知识去分析图像以解决问题.
例3铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜31t,柚子12t,现计划租甲,乙两种货车共10辆,将这批水果运到铜仁,已知甲种货车可装西瓜4t和柚子1t,乙种货车可装西瓜,柚子各2t.
(1)该公司安排甲,乙两种货车时有几种方案?
(2)若甲种货车每辆要付运输费1800元,乙种货车每辆要付运输费1200元,则该公司选择哪种方案运费最少?
最少运费是多少元?
【解答】
(1)设安排甲种货车x辆,则安排乙种货车为(10-x)辆,依题意,得
解这个不等式组,得5.5≤x≤8.
∵x是整数,∴x可取6,7,8.
即安排甲,乙两种货车有三种方案:
①甲种货车6辆,乙种货车4辆
②甲种货车7辆,乙种货车3辆
③甲种货车8辆,乙种货车2辆
(2)设运费为y元,则y=1800x+1200(10-x)=600x+12000.
∴当x取6时,运费最少,最少运费是:
15600元.
【点评】本例需要考生构建一元一次不等式和一次函数来解决实际问题,以考查学生运用综合知识,分析、解决问题的能力.
◆强化训练
一、填空题
1.)如图所示,一次函数y=x+5的图像经过点P(a,b),Q(c,d),则a(c-d)-b(c-d)的值为______.
2.直线y=-x+8与x轴,y轴分别交于点A和点B,M是OB上的一点,若将△ABM沿AM折叠,点B恰好落在x轴上的点B′处,则直线AM的解析式为______.
3.(关于x的一次函数y=(a-3)x+2a-5的图像与y轴的交点不在x轴的下方,且y随x的增大而减小,则a的取值范围是______.
4.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图像经过点(0,1),且y随x的增大而增大,请你写出一个符合上述条件的函数关系式_______.
5.一次函数y=kx+3的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5,则k的值为________.
6.若一次函数y=ax+1-a中,y随x的增大而增大,且它的图像与y轴交于正半轴,则│a-1│+=______.
7.如果记y==f(x),并且f
(1)表示当x=1时y的值,即f
(1)==;f()表示当x=时y的值,即f()==;如果f
(1)+f
(2)+f()+f(3)+f()+…+f(n)+f()=______.
(结果用含n的代数式表示,n为正整数).
8.如图所示,点M是直线y=2x+3上的动点,过点M作MN垂直x轴于点N,y轴上是否存在点P,使以M,N,P为顶点的三角形为等腰直角三角形.小明发现:
当动点M运动到(-1,1)时,y轴上存在点P(0,1),此时有MN=MP,能使△NMP为等腰直角三角形.在y轴和直线上还存在符合条件的点P和点M.请你写出其他符合条件的点P的坐标_______.
二、选择题
9.如图所示,一个蓄水桶,60min可匀速将一满桶水放干.其中,水位h(cm)随着放水时间t(min)的变化而变化.h与t的函数的大致图像为()
10.)已知一次函数y=kx-k,若y随x的增大而减小,则该函数的图像经过()
A.第一,二,三象限B.第一,二,四象限
C.第二,三,四象限D.第一,三,四象限
11.(济南市某储运部紧急调拨一批物资,调进物资共用4h,调进物资2h后开始调出物资(调进物资与调出物资的速度均保持不变).储运部库存物资S(t)与时间t(h)之间的函数关系如图5-35所示,这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是()
A.4hB.4.4hC.4.8hD.5h
12.小明所在学校离家距离为2km,某天他放学后骑自行车回家,行驶了5min后,因故停留10min,继续骑了5min到家,下面哪一个图像能大致描述他回家过程中离家的距离s(km)与所用时间t(min)之间的关系()
13.如图所示,在光明中学学生体力测试比赛中,甲,乙两学生测试的路程s(m)与时间t(s)之间的函数关系图像分别为折线OABC和线段OD,下列说法正确的()
A.乙比甲先到达终点
B.乙测试的速度随时间增加而增大
C.比赛进行到29.7s时,两人出发后第一次相遇
D.比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快
14.有一个装有进,出水管的容器,单位时间内进,出的水量都是一定的.已知容器的容积为600L,又知单开进水管10min可把空容器注满.若同时打开进,出水管,20min可把满容器的水放完.现已知水池内有水200L,先打开进水管5min,再打开出水管,两管同时开放,直至把容器中的水放完,则能正确反映这一过程中容器的水量Q(L)随时间t(min)变化的图像是下图中的()
15.为了增强抗旱能力,保证今年夏粮丰收,某村新修建了一个蓄水池,这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管(两个进水管的进水速度相同),一个进水管和一个出水管的进出水速度如图a,b所示,某天0点到6点(至少打开一个水管),该蓄水池的蓄水量如图c所示,并给出以下3个论断:
①0点到1点不进水,只出水;②1点到4点不进水,不出水;③4点到6点只进水,不出水,则一定正确的论断是()
(a)(b)(c)
A.①③B.②③C.③D.①②③
16.如图所示,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠A=90°,AB=28cm,DC=24cm,AD=4cm,点M从点D出发,以1cm/s的速度向点C运动,点N从点B同时出发,以2cm/s的速度向点A运动,当其中一个动点到达端点停止运动时,另一个动点也随之停止运动,而四边形ADMN的面积y(cm2)与两动点的运动时间t(s)的函数图像大致是()
三、解答题
17.如图所示,直线L1的解析表达式为y=-3x+3,且L1与x轴交于点D.直线L2经过点A,B,直线L1,L2交于点C.
(1)求点D的坐标;
(2)求直线L2的解析表达式;
(3)求△ADC的面积;
(4)在直线L2上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与△ADC的面积相等,请直接写出点P的坐标.
18.一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发.设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为y(km),下图中的折线表示y与x之间的函数关系.根据图像进行以下探究:
信息读取:
(1)甲,乙两地之间的距离为__
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