经典截长补短法巧解.doc
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截长补短法
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。
通常来证明几条线段的数量关系。
截长补短法有多种方法。
截长法:
(1)过某一点作长边的垂线
(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。
……
补短法
(1)延长短边。
(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……
例:
在正方形ABCD中,DE=DF,DGCE,交CA于G,GHAF,交AD于P,交CE延长线于H,请问三条粗线DG,GH,CH的数量关系
方法一(好想不好证)
方法二(好证不好想)
例题不详解。
(第2页题目答案见第3、4页)
(1)正方形ABCD中,点E在CD上,点F在BC上,EAF=45。
求证:
EF=DE+BF
(1)变形a
正方形ABCD中,点E在CD延长线上,点F在BC延长线上,EAF=45。
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?
(1)变形b
正方形ABCD中,点E在DC延长线上,点F在CB延长线上,EAF=45。
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?
(1)变形c
正三角形ABC中,E在AB上,F在AC上EDF=45。
DB=DC,BDC=120。
请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系?
(1)变形d
正方形ABCD中,点E在CD上,点F在BC上,EAD=15,FAB=30。
AD=
求AEF的面积
(1)解:
(简单思路)
延长CD到点G,使得DG=BF,连接AG。
由四边形ABCD是正方形得
ADG=ABF=90
AD=AB
又DG=BF
所以ADGABF(SAS)
GAD=FAB
AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
DAB=90=DAF+FAB
=DAF+GAD=GAF
所以GAE=GAF-EAF
=90-45=45
GAE=FAE=45
又AG=AF
AE=AE
所以EAGEAF(SAS)
EF=GE=GD+DE=BF+DE
变形a解:
(简单思路)
EF=BF-DE
在BC上截取BG,使得BG=DF,连接AG。
由四边形ABCD是正方形得
ADE=ABG=90
AD=AB
又DE=BG
所以ADEABG(SAS)
EAD=GAB
AE=AG
由四边形ABCD是正方形得
DAB=90=DAG+GAB
=DAG+EAD=GAE
所以GAF=GAE-EAF
=90-45=45
GAF=EAF=45
又AG=AE
AF=AF
所以EAFGAF(SAS)
EF=GF=BF-BG=BF-DE
变形b解:
(简单思路)
EF=DE-BF
在DC上截取DG,使得DG=BF,连接AG。
由四边形ABCD是正方形得
ADG=ABF=90
AD=AB
又DG=BF
所以ADGABF(SAS)
GAD=FAB
AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
DAB=90=DAG+GAB
=BAF+GAB=GAF
所以GAE=GAF-EAF
=90-45=45
GAE=FAE=45
又AG=AF
AE=AE
所以EAGEAF(SAS)
EF=EG=ED-GD=DE-BF
变形c解:
(简单思路)
EF=BE+FC
延长AC到点G,使得CG=BE,连接DG。
由ABC是正三角形得
ABC=ACB=60
又DB=DC,BDC=120
所以DBC=DCB=30
DBE=ABC+DBC=60+30=90
ACD=ACB+DCB=60+30=90
所以GCD=180-ACD=90
DBE=DCG=90
又DB=DC,BE=CG
所以DBEDCG(SAS)
EDB=GDC
DE=DG
又DBC=120=EDB+EDC
=GDC+EDC=EDG
所以GDF=EDG-EDF
=120-60=60
GDF=EDF=60
又DG=DE
DF=DF
所以GDFEDF(SAS)
EF=GF=CG+FC=BE+FC
变形d解:
(简单思路)
延长CD到点G,使得DG=BF,连接AG。
过E作EHAG.前面如
(1)所证,
ADGABF,EAGEAF
GAD=FAB=30,SEAG=SEAF
在RtADG中,GAD=30,AD=
AGD=60,AG=2
设EH=x
在RtEGH中和RtEHA中
AGD=60,HAE=45
HG=x,AH=x
AG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3-
SEAF=SEAG=EHAG2=3-.
(第5页题目答案见第6页)
(2)
正方形ABCD中,对角线AC与BD交于O,点E在BD上,AE平分DAC。
求证:
AC/2=AD-EO
(2)加强版
正方形ABCD中,M在CD上,N在DA延长线上,CM=AN,点E在BD上,NE平分DNM。
请问MN、AD、EF有什么数量关系?
(2)解:
(简单思路)
过E作EGAD于G
因为四边形ABCD是正方形
ADC=90,BD平分ADC,ACBD
所以ADB=ADC/2=45
因为AE平分DAC,EOAC,EGAD
所以EAO=EAG,
DGE=AOE=AGE=90又AE=AE,
所以AEOAEG(AAS)
所以AG=AO,EO=EG
又ADB=45,DGE=90
所以DGE为等腰直角三角形
DG=EG=EO
AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2
(2)加强版解:
(简单思路)
MN/2=AD-EF
过E作EGAD于G,作EQAB于Q,
过B做BPMN于P
按照
(2)的解法,可求证,
GNEFNE(AAS)
DGE为等腰直角三角形
AG=AD-DG=AD-EF,
因为四边形ABCD为正方形,
ABC=GAQ=BCM=90
BD平分ABC,BC=BA
ABD=ABC/2=45,又EQB=90
EQB为等腰Rt三角形,BEQ=45
因为GAQ=EGA=EQA=90
所以四边形AGEQ为矩形,
EQ=AG=AD-EF,EQ//AG
QEN=ENG
又ENG=ENF,所以QEN=ENF
由BC=BA,BCM=BAN=90,CM=AN,
所以BCMBAN(SAS)
BM=BN,CBM=ABN
ABC=90=ABM+CBM
=ABM+ABN=MBN,又BM=BN
所以MBN为等腰Rt三角形,
又BP斜边MN于P,
所以NPB为等腰Rt三角形。
BP=MN/2,PNB=45。
BNE=ENF+PNB
BEN=QEN+QEB
又QEN=ENF,PNB=QEB=45
所以BNE=BEN
BN=BE,
又PNB=QEB=45=NBP=EBQ
所以BEQBNP(SAS)
EQ=BP
因为EQ=AG=AD-EF,BP=MN/2
所以AD-EF=MN/2。
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