高考数学二轮复习专题六函数与导数不等式第4讲导数与函数的单.docx
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高考数学二轮复习专题六函数与导数不等式第4讲导数与函数的单
第4讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题
高考定位 利用导数研究函数的性质,能进行简单的定积分计算,以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体,研究函数的单调性、极值、最值,并能解决简单的问题.
真题感悟
1.(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2xB.y=-x
C.y=2xD.y=x
解析 因为函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f(-x)=-f(x),可得a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
答案 D
2.(2017·全国Ⅱ卷)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)·ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( )
A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1
解析 f′(x)=[x2+(a+2)x+a-1]·ex-1,
则f′(-2)=[4-2(a+2)+a-1]·e-3=0a=-1,
则f(x)=(x2-x-1)·ex-1,f′(x)=(x2+x-2)·ex-1,
令f′(x)=0,得x=-2或x=1,
当x<-2或x>1时,f′(x)>0;当-2 则f(x)极小值为f (1)=-1. 答案 A 3.(2018·天津卷)已知函数f(x)=exlnx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′ (1)的值为________. 解析 由题意得f′(x)=exlnx+ex·,则f′ (1)=e. 答案 e 4.(2018·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)=-x+alnx. (1)试讨论函数f(x)的单调性; (2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,且x2>x1,设t=f(x1)-f(x2)-(a-2)(x1-x2),试证明t>0. (1)解 f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=--1+=-. (ⅰ)若a≤2,则f′(x)≤0, 当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减. (ⅱ)若a>2,令f′(x)=0得, x=或x=. 当x∈∪时,f′(x)<0; 当x∈时,f′(x)>0. 所以f(x)在,上单调递减, 在上单调递增. (2)证明 由 (1)知,f(x)存在两个极值点时,当且仅当a>2. 由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0, 所以x1x2=1. 又∵x2>x1>0,所以x2>1. 又t=f(x1)-f(x2)-(a-2)(x1-x2) =--(x1-x2)+a(lnx1-lnx2)-(a-2)(x1-x2) =a=-a. 设φ(x)=-x+2lnx,x>1. 由第 (1)问知,φ(x)在(1,+∞)单调递减,且φ (1)=0, 从而当x∈(1,+∞)时,φ(x)<0. 所以+2lnx2-x2<0,故t>0. 考点整合 1.导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 易错提醒 求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点. 2.四个易误导数公式 (1)(sinx)′=cosx; (2)(cosx)′=-sinx; (3)(ax)′=axlna(a>0,且a≠1); (4)(logax)′=(a>0,且a≠1,x>0). 3.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数单调性的关系. ①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0. ②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)为常数函数. (2)利用导数研究函数单调性的方法. ①若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0. ②若已知函数的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解. 4.利用导数研究函数的极值、最值 (1)若在x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. 易错提醒 若函数的导数存在,某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件. 热点一 导数与定积分的几何意义 【例1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是________. (2)(2018·邯郸调研)展开式的中间项系数为20,如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形,则封闭图形的面积S=________. 解析 (1)令x>0,则-x<0,f(-x)=lnx-3x, 又f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x), ∴f(x)=lnx-3x(x>0),则f′(x)=-3(x>0). ∴f′ (1)=-2, ∴在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1), 即2x+y+1=0. (2)因为展开式的中间项系数为20,中间项为第四项,系数为C=20,解得a=2, 所以曲线y=x2和圆x2+y2=2在第一象限的交点为(1,1),所以阴影部分的面积为-(x-x2)dx=-=-. 答案 (1)2x+y+1=0 (2)- 探究提高 1.利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化,其中关键是确定切点的坐标. 2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1)正确画出几何图形,结合图形位置,准确确定积分区间以及被积函数,从而得到面积的积分表达式,再利用微积分基本定理求出积分值. (2)根据图形的特征,选择合适的积分变量.在以y为积分变量时,应注意将曲线方程变为x=φ(y)的形式,同时,积分上、下限必须对应y的取值. 【训练1】 (1)(2018·武汉调研)设曲线y=在点处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a=________. (2)(2018·成都质检)在平面直角坐标系内任取一个点P(x,y)满足则点P落在曲线y=与直线x=2,y=2围成的阴影区域(如图所示)内的概率为________. 解析 (1)y′= =,则曲线y=在点处的切线的斜率为k1=1.因为直线x+ay+1=0的斜率k2=-, 又该切线与直线x+ay+1=0垂直, 所以k1k2=-1,解得a=1. (2)由解得 所以阴影部分的面积为dx=(2x-lnx)=(2×2-ln2)-=3-2ln2,因此所求概率为=. 答案 (1)1 (2) 热点二 利用导数研究函数的单调性 考法1 确定函数的单调性(区间) 【例2-1】(2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x,其中参数a≤0. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围. 解 (1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且a≤0. f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a). ①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上单调递增. ②若a<0,则由f′(x)=0,得x=ln. 当x∈时,f′(x)<0; 当x∈时,f′(x)>0. 故f(x)在上单调递减, 在区间上单调递增. 综上所述,当a=0时,f(x)在R上单调递增; 当a<0时,f(x)在上单调递减; 在上单调递增. (2)①当a=0时,f(x)=e2x≥0恒成立. ②若a<0,则由 (1)得,当x=ln时,f(x)取得最小值,最小值为f=a2, 故当且仅当a2≥0, 即0>a≥-2e时,f(x)≥0. 综上,a的取值范围是[-2e,0]. 考法2 根据函数的单调性求参数的取值范围 【例2-2】(2018·广州质检)已知x=1是f(x)=2x++lnx的一个极值点. (1)求函数f(x)的单调递减区间. (2)设函数g(x)=f(x)-,若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增,求a的取值范围. 解 (1)f(x)=2x++lnx,定义域(0,+∞). ∴f′(x)=2-+=. 因为x=1是f(x)=2x++lnx的一个极值点, 所以f′ (1)=0,即2-b+1=0. 解得b=3,经检验,适合题意,所以b=3. 所以f′(x)=2-+=, 令f′(x)<0,得0 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1). (2)g(x)=f(x)-=2x+lnx-(x>0), g′(x)=2++(x>0). 因为函数g(x)在[1,2]上单调递增, 所以g′(x)≥0在[1,2]上恒成立, 即2++≥0在[1,2]上恒成立, 所以a≥-2x2-x在[1,2]上恒成立, 所以a≥(-2x2-x)max,x∈[1,2]. 因为在[1,2]上,(-2x2-x)max=-3,所以a≥-3. 所以a的取值范围是[-3,+∞). 探究提高 1.求函数的单调区间,只需在函数的定义域内解(证)不等式f′(x)>0或f′(x)<0. 2. (1)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围. (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f′(x)=0在(a,b)上有解. 【训练2】已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数). (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围. 解 (1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)·ex, 所以f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0, 因为ex>0,所以-x2+2>0,解得-<x<. 所以函数f(x)的单调递增区间是(-,). (2)因为函数f(x)在(-1,1)上单调递增, 所以f′(x)≥0对x∈(-1,1)都成立. 因为f′(x)=(-2x+a)ex+(-x2+ax)ex=[-x2+(a-2)x+a]ex, 所以[-x2+(a-2)x+a]ex≥0对x∈(-1,1)都成立. 因为ex>0,所以-x2+(a-2)x+a≥0, 则a≥==(x+1)-对x∈(-1,1)都成立. 令g(x)=(x+1)-,则g′(x)=1+>0. 所以g(x)=(x+1)-在(-1,1)上单调递增. 所以g(x)<g (1)=(1+1)-=. 所以a的取值范围是. 热点三 利用导数研究函数的极值和最值 考法1 求函数的极值、最值 【例3-1】(2018·北京卷)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex. (1)若曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线与x轴平行,求a; (2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围. 解 (1)因为f(x)=[ax2-
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- 高考 数学 二轮 复习 专题 函数 导数 不等式
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