用导数方法解决参数和函数零点技巧专题Word文档下载推荐.docx
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3.不到万不得已不要取无穷远端
注:
一旦定义域完全为开区间,要么丢失此法,要么洛必达开始论述,要么证明函数严格单调并证函数值大于(小于)端点值
【例1】
方法1:
参变分离
方法2:
端点效应
解:
(我们可以看到函数要非负一定要增,也可能又增又减出现极小值)
(这就是函数增的一个条件)
(这就是函数值非负的必要条件,我们仅考虑的是函数严格递增的条件)
(现在我们论证一下函数是否在此条件下单调增)
显然我们应有此方法成立的充要条件是函数严格单调,我们考虑的端点并不是整个定义域的增减趋势,但是从0开始函数值一定要单调增,否则恒成立失效。
于是才有导函数在0处也非负,我们就得到a的一个大致范围,通过这个大致范围作为已知条件验证其充分性。
【注】:
充分性验证时一旦出现导函数有小于0的情况,表示函数不单调,则在必要性的条件下研究函数的最值。
【思考1】
三:
极值点偏移
我们分析一下二次函数:
我们把
1).构造:
判断函数单调性确定两对称点的区间,分析法(传统艺能,不在论述)
2)对数均值不等式
【例2】
【分析】这是一个极值点左偏的例题,并且含参,欲证不等式中不含参,我们需将参数消掉。
【思考2】
1.一旦出现对数指数极值点偏移能用此不等式
2.注:
一旦还有三角函数法失效!
要么回到构造,要么对三角函数放缩
3.三角放缩
4.出现参数尝试作差消参,代换消参
四.不等式证明
1)关于函数值恒成立问题不再论述
2)作差比较法不再论述
3)关于
问题
1.题目所给函数赋值放缩(传统艺能不再论述)
2.数学归纳法
①第一数学归纳法:
当
。
归纳时加强命题
②第二数学归纳法:
【例3】
【思考3】
【思考4】此题可以通过函数赋值放缩,请读者自行尝试
3.定积分几何意义
①两侧有参数则是黎曼和。
此时构造函数必然单调通过宽为1的矩形面积放缩
证明提示就到这里,希望读者能够自行动笔思考。
此外对于两边都是含n的依旧可以采用数学归纳法证明,请读者进行尝试
②单有一侧有参数,则是广义黎曼。
此时这是
为宽的矩形面积。
【注】此时的矩形面积不再是以1为宽
【思考6】依旧可以采用数学归纳法证明,请读者自行尝试(对命题加强)
4.积分还原法:
先对欲证不等式微分,在通过变上限积分还原原不等式
5.中值定理&
泰勒展开
【注】对不等式各个求导,根据积分的保号性和变上限积分的性质可以进行证明。
【思考7】读者可以根据自身条件采用积分中值定理,柯西中值定理证明或者泰勒展开证明
五.零点问题
1.零点个数问题:
彻底参变分离转化交点问题
2.隐零点:
设而不求,整体替换,分析走势,取点试探。
采用零点存在性定理试点找到隐零点范围。
①
;
②
是易解的;
③当自变量
趋向于定义域某端点(哪个端点,视具体题目而定)时,两函数
,
有相同的变化趋势(极限)
3.两个零点:
,其中。
超越不等式放缩找解,解即试点。
一般优先通过式中超越项进行单调性放缩。
6.切线放缩
1.指数放缩
2.指数放缩
3.指数放缩
4.对数放缩
5.对数放缩
6.伪对勾放缩
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