完整版高中数学竞赛讲义九不等式Word格式.docx
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x>
a或x<
-a;
(10)a,b∈R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;
(11)a,b∈R,则(a-b)2≥0
a2+b2≥2ab;
(12)x,y,z∈R+,则x+y≥2
x+y+z
前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。
(6)因为a>
0,所以ac>
bc,bc>
bd,所以ac>
bd;
重复利用性质(6),可得性质(7);
再证性质(8),用反证法,若
,由性质(7)得
,即a≤b,与a>
b矛盾,所以假设不成立,所以
;
由绝对值的意义知(9)成立;
-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,所以|a+b|≤|a|+|b|;
下面再证(10)的左边,因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立;
(11)显然成立;
下证(12),因为x+y-2
≥0,所以x+y≥
,当且仅当x=y时,等号成立,再证另一不等式,令
,因为x3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=
(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0,所以a3+b3+c3≥3abc,即x+y+z≥
,等号当且仅当x=y=z时成立。
二、方法与例题
1.不等式证明的基本方法。
(1)比较法,在证明A>
B或A<
B时利用A-B与0比较大小,或把
(A,B>
0)与1比较大小,最后得出结论。
例1
设a,b,c∈R+,试证:
对任意实数x,y,z,有x2+y2+z2
【证明】
左边-右边=x2+y2+z2
所以左边≥右边,不等式成立。
例2
若a<
1,比较大小:
|loga(1-x)|与|loga(1+x)|.
【解】
因为1-x
1,所以loga(1-x)
0,
=|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)
>
log(1-x)(1-x)=1(因为0<
1-x2<
1,所以
1-x>
0,0<
1-x<
1).
所以|loga(1+x)|>
|loga(1-x)|.
(2)分析法,即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条件,直到已知为止,叙述方式为:
要证……,只需证……。
例3
已知a,b,c∈R+,求证:
a+b+c-3
≥a+b
要证a+b+c
只需证
,
因为
,所以原不等式成立。
例4
已知实数a,b,c满足0<
a≤b≤c≤
,求证:
因为0<
,由二次函数性质可证a(1-a)≤b(1-b)≤c(1-c),
所以
所以只需证明
也就是证
只需证b(a-b)≤a(a-b),即(a-b)2≥0,显然成立。
所以命题成立。
(3)数学归纳法。
例5
对任意正整数n(≥3),求证:
nn+1>
(n+1)n.
1)当n=3时,因为34=81>
64=43,所以命题成立。
2)设n=k时有kk+1>
(k+1)k,当n=k+1时,只需证(k+1)k+2>
(k+2)k+1,即
1.因为
,所以只需证
,即证(k+1)2k+2>
[k(k+2)]k+1,只需证(k+1)2>
k(k+2),即证k2+2k+1>
k2+2k.显然成立。
所以由数学归纳法,命题成立。
(4)反证法。
例6
设实数a0,a1,…,an满足a0=an=0,且a0-2a1+a2≥0,a1-2a2+a3≥0,…,an-2-2an-1+an≥0,求证ak≤0(k=1,2,…,n-1).
假设ak(k=1,2,…,n-1)中至少有一个正数,不妨设ar是a1,a2,…,an-1中第一个出现的正数,则a1≤0,a2≤0,…,ar-1≤0,ar>
0.于是ar-ar-1>
0,依题设ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1,2,…,n-1)。
所以从k=r起有an-ak-1≥an-1-an-2≥…≥ar-ar-1>
0.
因为an≥ak-1≥…≥ar+1≥ar>
0与an=0矛盾。
故命题获证。
(5)分类讨论法。
例7
已知x,y,z∈R+,求证:
不妨设x≥y,x≥z.
ⅰ)x≥y≥z,则
,x2≥y2≥z2,由排序原理可得
,原不等式成立。
ⅱ)x≥z≥y,则
,x2≥z2≥y2,由排序原理可得
(6)放缩法,即要证A>
B,可证A>
C1,C1≥C2,…,Cn-1≥Cn,Cn>
B(n∈N+).
例8
求证:
,得证。
例9
已知a,b,c是△ABC的三条边长,m>
0,求证:
(因为a+b>
c),得证。
(7)引入参变量法。
例10
已知x,y∈R+,l,a,b为待定正数,求f(x,y)=
的最小值。
设
,则
,f(x,y)=
(a3+b3+3a2b+3ab2)=
,等号当且仅当
时成立。
所以f(x,y)min=
例11
设x1≥x2≥x3≥x4≥2,x2+x3+x4≥x1,求证:
(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.
设x1=k(x2+x3+x4),依题设有
≤k≤1,x3x4≥4,原不等式等价于(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4),即
(x2+x3+x4)≤x2x3x4,因为f(k)=k+
在
上递减,
(x2+x3+x4)=
(x2+x3+x4)
≤
·
3x2=4x2≤x2x3x4.
所以原不等式成立。
(8)局部不等式。
例12
已知x,y,z∈R+,且x2+y2+z2=1,求证:
先证
因为x(1-x2)=
同理
例13
已知0≤a,b,c≤1,求证:
≤2。
①
即a+b+c≤2bc+2.
即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a.
因为0≤a,b,c≤1,所以①式成立。
三个不等式相加即得原不等式成立。
(9)利用函数的思想。
例14
已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ca=1,求f(a,b,c)=
当a,b,c中有一个为0,另两个为1时,f(a,b,c)=
,以下证明f(a,b,c)≥
.不妨设a≥b≥c,则0≤c≤
f(a,b,c)=
因为1=(a+b)c+ab≤
+(a+b)c,
解关于a+b的不等式得a+b≥2(
-c).
考虑函数g(t)=
g(t)在[
)上单调递增。
又因为0≤c≤
,所以3c2≤1.所以c2+a≥4c2.所以2
≥
所以f(a,b,c)=
=
下证
0①
c2+6c+9≥9c2+9
≥0
,所以①式成立。
所以f(a,b,c)≥
,所以f(a,b,c)min=
2.几个常用的不等式。
(1)柯西不等式:
若ai∈R,bi∈R,i=1,2,…,n,则
等号当且仅当存在λ∈R,使得对任意i=1,2,,n,ai=λbi,
变式1:
等号成立条件为ai=λbi,(i=1,2,…,n)。
变式2:
设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n),则
等号成立当且仅当b1=b2=…=bn.
(2)平均值不等式:
设a1,a2,…,an∈R+,记Hn=
Gn=
An=
,则Hn≤Gn≤An≤Qn.即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。
其中等号成立的条件均为a1=a2=…=an.
由柯西不等式得An≤Qn,再由Gn≤An可得Hn≤Gn,以下仅证Gn≤An.
1)当n=2时,显然成立;
2)设n=k时有Gk≤Ak,当n=k+1时,记
=Gk+1.
因为a1+a2+…+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥
2kGk+1,
所以a1+a2+…+ak+1≥(k+1)Gk+1,即Ak+1≥Gk+1.
所以由数学归纳法,结论成立。
(3)排序不等式:
若两组实数a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn,则对于b1,b2,…,bn的任意排列
,有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤
≤a1b1+a2b2+…+anbn.
引理:
记A0=0,Ak=
(阿贝尔求和法)。
证法一:
因为b1≤b2≤…≤bn,所以
≥b1+b2+…+bk.
记sk=
-(b1+b2+…+bk),则sk≥0(k=1,2,…,n)。
-(a1b1+a2b2+…+anbn)=
+snan≤0.
最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1,2,…,n-1,sn=0),
所以右侧不等式成立,同理可证左侧不等式。
证法二:
(调整法)考察
,若
,则存在。
若
(j≤n-1),则将
与
互换。
≥0,
所调整后,和是不减的,接下来若
,则继续同样的调整。
至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和,而且每次调整后和是不减的,这说明右边不等式成立,同理可得左边不等式。
例15
已知a1,a2,…,an∈R+,求证;
a1+a2+…+an.
【证明】证法一:
,…,
≥2an.
上述不等式相加即得
≥a1+a2+…+an.
由柯西不等式
(a1+a2+…+an)≥(a1+a2+…+an)2,
因为a1+a2+…+an>
0,所以
证法三:
设a1,a2,…,an从小到大排列为
,由排序原理可得
=a1+a2+…+an≥
注:
本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用,希望读者在解题中再加以总结。
三、基础训练题
1.已知0<
1,a,b∈R+,则
的最小值是____________.
2.已知x∈R+,则
3.已知a,b,c∈R,且a2+b2+c2=1,ab+bc+ca的最大值为M,最小值为N,则MN=___________.
4.若不等式
对所有实数x成立,则a的取值范围是____________.
5.若不等式
x+a的解是x>
m,则m的最小值是____________.
6.“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<
8的解集是{x|-2<
6}”的____________条件.
7.若a,b∈R+,则a+b=1,以下结论成立是__________.①a4+b4≥
②
≤a3+b3<
1;
③
④
⑤
⑥
8.已知0<
<
=____________.
9.已知
,p=(x1-
)2+(x2-
)2+…+(xn-
)2,q=(x1-a)2+(x2-a)2+…+(xn-a)2,若
,则比较大小:
p___________q.
10.已知a>
0,b>
0且a
b,m=aabb,n=abba,则比较大小:
m_________n.
11.已知n∈N+,求证:
12.已知0<
a<
1,x2+y=0,求证:
loga(ax+ay)≤loga2+
.
13.已知x∈R,
四、高考水平训练题
1.已知A=asin2x+bcos2x,B=acos2x+bsin2x(a,b,x∈R),设m=AB,n=ab,P=A2+B2,q=a2+b2,则下列结论成立的有]__________.
(1)m≥n,p≥q;
(2)m≤n,p≤q;
(3)m+p≥n+q;
(4)m+q≥n+p.
2.已知a,b,c,d∈R,M=4(a-b)(c-d),N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d),则比较大小:
M________N.
3.若
R+,且
,将
从小到大排列为________.
4.已知△ABC的三边长a,b,c满足b+c≤2a,a+c≤2b,则
的取值范围是________.
5.若实数x,y满足|x|+|y|≤1,则z=x2-xy+y2的最大值与最小值的和为________.
6.设函数f(x)=
(x∈[-4,2]),则f(x)的值域是________.
7.对x1>
x2>
0,1>
0,记
,比较大小:
x1x2________y1y2.
8.已知函数
的值域是
,则实数a的值为________.
9.设a≤b<
c是直角△ABC的三边长,若不等式
恒成立,则M最大值为________.
10.实系数方程x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1,另一个根大于1且小于2,则
11.已知a,b,c∈R+且满足a+b+c≥abc,求证:
下列三个式子中至少有两个成立:
12.已知a,b∈R+且
对一切n∈N+,(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1.
13.已知a,b,c∈R+,求证:
14.设x,y,z是3个不全为零的实数,求
的最大值。
五、联赛一试水平训练题
1.已知a1,a2,b1,b2,c1,c∈R,a1c1-
=a2c2
0,P=(a1-a2)(c1-c2),Q=(b1-b2)2,比较大小:
P_______Q.
2.已知x2+y2-xy=1,则|x+y-3|+|x+y+2|=__________.
3.二次函数f(x)=x2+ax+b,记M=max{|f
(1)|,|f
(2)|,|f(3)|},则M的最小值为__________.
4.设实数a,b,c,d满足a≤b≤c≤d或者a≥b≥c≥d,比较大小:
4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).
5.已知xi∈R+,i=1,2,…,n且
,则x1x2…xn的最小值为__________(这里n>
6.已知x,y∈R,f(x,y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值为__________.
7.已知0≤ak≤1(k=1,2,…,2n),记a2n+1=a1,a2n+2=a2,则
的最大值为__________.
8.已知0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1,则
≤x≤5,求证:
10.对于不全相等的正整数a,b,c,求证:
11.已知ai>
0(i=1,2,…,n),且
=1。
又0<
λ1≤λ2≤…≤λn,求证:
六、联赛二试水平训练题
1.设正实数x,y,z满足x+y+z=1,求证:
2.设整数x1,x2,…,xn与y1,y2,…,yn满足1<
x1<
x2<
…<
xn<
y1<
y2<
ym,x1+x2+…+xn>
y1+y2+…+ym,求证:
x1x2xn>
y1y2…ym.
3.设f(x)=x2+a,记
f(x),fn(x)=f(fn-1(x))(n=2,3,…),M={a∈R|对所有正整数n,|fn(0)|≤2},求证:
。
4.给定正数λ和正整数n(n≥2),求最小的正数M(λ),使得对于所有非负数x1,x2,…,xn,有M(λ)
5.已知x,y,z∈R+,求证:
(xy+yz+zx)
6.已知非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:
2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c),并求出等号成立的条件。
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