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线段和最短专题
专题复习
《两线段之和最短》
在近几年的中考中,经常遇到求PA+PB这类线段之和最小问题,解决这一类问题关键是要运用好数形结合的思想,特别是从轴对称和线段的性质入手,把两条线段的和变为一条线段来研究,利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明。
关于最短距离,我们有下面几个相应的结论:
(1)在连接两点的所有线中,线段最短(两点之间,线段最短);
(2)三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
(3)在三角形中,大角对大边,小角对小边。
一、数学模型
1、实际问题:
人教版八年级上册课本P42轴对称探究
如图,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,
泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
2、数学问题:
已知:
直线l和l的同侧两点A、B
求作:
点P,使P在直线l上,并且PA+PB最小.
二、在三角形背景下探求线段和的最小值
1、如图,等腰Rt△ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点,P是AC边上的一动点,则PB+PE的最小值为_________
2、如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,P是AD上的动点,E是AC边上一点,若AE=2,EP+CP的最小值为
三、在四边形背景下探求线段和的最小值
3、如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为__________
4、如图,等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,P是上底,下底中点EF直线上的一点,则PA+PB的最小值为 .
5、如图菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为 .
6、如图,已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值为 .
7、如图,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值____________cm.
8、如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为____________
四、在圆背景下探求线段和的最小值
9、如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为______
五、在函数背景下探求线段和的最小值
10、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).
(1)求该函数的解析式;
(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,
求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.
11、如图,正比例函数图象与反比例函数
在第一象限的图象交于A点,过A点作x轴的垂线,垂足为M,
已知△OAM的面积为1。
(1)求反比例函数的解析式;
(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A
不重合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PA+PB最小。
1
16、如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,AB=1,AD=2,在BC、CD上分别找一点M、N,使得△AMN的周长最小,则△AMN的最小周长是_______.
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延伸4:
直线L的异侧有两个点A、B,在直线L上求一个点C,使得:
A、B到C的距离的差的绝对值最小。
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六、拓展延伸
17、如图,已知直线
与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线
与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最大,求出点M的坐标
延伸1:
在不同直线上找两点A、B,使PA+PB最短。
13、如图,在锐角△ABC中,AB=
,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是____.
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延伸2:
已知直线L外有一个定点P,在直线L上找两点A、B,使AB=m,且PA+PB最短.(其中m为定值)
14、如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,
顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的
中点.
(1)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,
求点E的坐标;
(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,
当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标。
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延伸3:
在两条相交线之外有一个定点P,分别在两条直线上找点B、C使得PB+BC+CP最短,如何确定B、C的位置?
15、如图,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.
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