北师大版初二数学下册分式方程及其解法.docx
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北师大版初二数学下册分式方程及其解法
《分式方程及其解法》教学设计
华阳一中-----王智康
背景介绍
本节课是在学生学习了分式及运算后学习的分式方程,充分体现了分式方程与分式的联系和分式方程与整式方程的区别,让学生体会分式方程也是解决实际问题的重要模型。
教学内容分析
分式方程是初中数学的重点内容,本节课是北师大版八年级下册第五章《分式与分式方程》第四节—分式方程及其解法的新课,要求能从实际的生活情境中抽象出分式方程的概念,主要研究分式方程的解法,仅要求会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个).关键是会把分式方程转化为整式方程,在引导学生探索分式方程的解法时,要注意体现转化的思想.
学生学情分析
学生的技能基础:
熟悉等式的性质并能利用等式的性质解一元一次方程,了解一般一元一次方程的解法,去分母,去括号,移项,合并同类项,化系数为1,并理解每一步的根据是什么,从而能通过观察类比的方法,探索分式方程的解法.
学生活动经验基础:
本节课主要采用观察、类比的方法、讨论的形式,在比较熟悉将二元一次方程组转化为一元一次方程的基础上,再次体会数学转化思想.
学生思维层次基础:
随着学生学习方法、学习态度、学习策略、学习心理因素等影响,思维层次分化较明显,个性化教学更应该具有层次性。
教学目标设置
(1)知识与技能
掌握分式方程的定义和解分式方程的一般步骤;明确解分式方程验根的必要性。
(2)过程与方法
在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气,并从中获得成就感,提高解决问题的能力。
经历和体会解分式方程的必要步骤;使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想,认识到能将分式方程转化为整式方程,从而找到解分式方程的途径.
(3)情感与态度
培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯,培养严谨的治学态度;运用“转化”的思想,将分式方程转化为整式方程,从而获得一种成就感和学习数学的自信.
教学重点和难点分析
重点:
熟练掌握分式方程的定义和解分式方程的一般步骤,明确解分式方程验根的必要性。
难点:
明确分式方程验根的必要性
教学策略分析
1.在教学中,给学生提前配发导学案进行预习,在课堂中我采用了引导式、探究式的教学方法,以“问题串”的形式,“学生为主体,老师为主导,练习为主线”的思路贯穿整个课堂,并结合了多媒体辅助教学。
2.在学法中,通过“互学、独学、合学”等环节,“合作、交流、展示、点评、质疑”等方式促进学生对知识的掌握。
教具准备
教师:
教学设计、电子白板、幻灯片若干张、小组评价表、彩色粉笔、激光灯。
学生:
课本、导学案、7个小组(每组6人)
教学过程
本节课共设计了八个教学环节:
第一环节:
复习回顾,情境引入;第二环节:
新课讲解,定义追踪;第三环节:
例题讲解,巩固练习;第四环节:
探究归纳,内化提升;第五环节:
拓展延伸,直击难点;第六环节:
回顾与反思;第七环节:
小组评价结果;第八环节:
布置作业;
一.课前热身,引出新课
(一)复习回顾
1分式与的最简公分母是。
2分式与的最简公分母是。
3分式与的最简公分母是。
4分式与的最简公分母是。
活动目的:
让学生熟练掌握确定最简公分母的方法,既巩固了旧知,又为后面将分式方程转化为整式方程作铺垫。
分母由浅入深,层次分明,适于各层次的学生。
教师点拨:
对于后两个小题,部分学生有难度,教师应作适当的提示和辅导,当分母是多项式时应先分解因式,把分解为;分解为;分解为后,再确定最简公分母。
(二)实际情境,建立数学模型
从甲地到乙地有两条长路:
一条是全长600的普通公路,另一条是全长480的高速公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。
这一问题中有哪些等量关系?
如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为,那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为_________________。
根据题意,可得方程_______________________________________________-
活动目的:
让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程,体会分式方程的模型作用,关键是引导学生寻找问题中的等量关系,发展学生分析问题、解决问题的能力。
教师点拨:
找出的等量关系有
(1)600km=客车在普通公路上行驶的平均速度客车由普通公路从甲地到乙地的时间。
(2)480km=客车在高速公路上行驶的平均速度客车由高速公路从甲地到乙地的时间。
(3)客车在高速公路上行驶的平均速度减去客车在普通公路上行驶的平均速度
(4)由高速公路从甲地到乙地的时间由普通公路从甲地到乙地的时间。
【设计意图】通过实际中的行程问题,引导学生从分析入手,列出含未知数的式子表示有关量,并列出方程,引发学生学习兴趣,提出问题引发思考,为探索分式方程及分式方程的解法作准备,自然引出学习课题。
二.新知讲解
(一)分式方程
(1)方程与以前所学的整式方程有何不同?
(2)满足什么特点的方程叫分式方程?
板书:
像这样分母中含有未知数的方程,叫做分式方程。
师生共同归纳:
确定是不是分式方程,关键看方程的分母中要含有未知数,像这样的方程才属于分式方程。
且从形上判断。
1.练习
下列方程中,是关于的分式方程有.
①②③
④⑤*
【设计意图】这一环节的设计,考察学生对基础知识的掌握,不是简单的让学生重复定义,而是通过展示一组方程让学生进行辨别,在此过程中学生必将调动自己对分式方程定义的理解,同时还要注意区分分式方程与整式方程,④中辅助字母的设计又帮助学生理解分式方程定义的关键点——分母中含有未知数,的设计让学生深刻体会到应从形的角度直接判定,所以本设计可以说是站在较高的层次上对分式方程定义的复习。
既然我们已经清楚了什么样的方程是分式方程,那么分式方程如何求解?
请看例题。
(二)例题解析,探究解法
例1.解分式方程
【师生行为】:
教师提出问题,学生观察思考,讨论后在全班交流探究结果。
教师在活动中关注:
学生能否观察出分式方程与整式方程的区别
学生是否有利用“转化思想”解决问题的意识
学生是否在参与合作交流的活动中获取知识,学生是否从多角度来研究分式方程的解法,对于解题有困难的学生,老师给于适当的指点和提醒,同时重点关注是否有检验的习惯。
最后,老师规范解题格式:
解:
方程两边同时乘以最简公分母得
去括号,得
移项,得
合并同类项,得
化未知数系数为1,得
检验,将代入原方程,得左边=1,右边=1,左边=右边。
所以是原方程的解
活动目的:
引导学生仔细观察,采用类比的方法找出解分式方程的关键――去分母,把分式方程转化为整式方程即一元一次方程.
注意事项:
通过观察类比,学生容易发现只要方程两边同时乘以相同的因式,可以去分母,使方程变为学过的一元一次方程,从而解决了问题.另外,学生还能根据比例的性质:
内项积等于外项积.解出这个方程,对于这部分学生应该鼓励,肯定数学一题多解.
练一练:
解下列分式方程
*
****
【设计意图】:
呈现分层次的练习,让不同层次学生都能亲自体验解分式方程的乐趣,熟练掌握解题的方式方法和对从中出现的问题及时归纳总结,巩固所学知识,充分体现个性化教学。
活动目的:
让学生认真完成从审题到最后检验的完整过程,熟练掌握解题方法.
注意事项:
解第题时,有的学生因为审题不仔细,把和当成两个不同的整式,给计算带来不必要的麻烦.反应出有些学生处理问题能力的欠缺.部分学生容易出现去分母时漏乘某一项,特别是不含分母的项.另外,学生还容易出现的错误是:
去分母后,如果分子是多项式,漏添括号,导致计算错误,忘记检验等。
无“*”号属于基础题,一个“*”号属于中等题,两个“*”号属于难题,依次类推。
例2.(议一议)解分式方程
【设计意图】:
学生通过解这个方程,亲身感知并不是所有的分式方程都有解,从而产生疑惑,展开讨论,了解分式方程会产生增根.进一步明确解分式方程必验根。
【师生行为】:
教师让学生充分进行讨论、交流,最后得出不是原方程的根,初步了解增根的概念,及产生的原因,进一步认识到解分式方程时,验根是必要步骤。
试一试,(挑战自己,大显身手)解分式方程
*
****
【设计意图】:
通过学生的反馈练习,使老师能全面了解学生对分式方程解法的掌握程度,以便能及时进行查漏补缺。
通过练习,让学生更进一步明确增根的概念,产生增根的原因,及如何有效验根,提高了对方程验根的重视程度,总结出验根的方法(其方法是代入最简公分母中或原方程中进行检验,使分母为零的是增根,否则不是)。
并要求学生试着用自己的语言对相关术语给予阐述,培养归纳、表达能力。
【师生行为】:
教师提出问题,学生讨论探究,师生共同总结规律
教师先提出以下几个问题:
怎么定义增根
增根产生的原因
怎样检验
解分式方程的一般步骤
学生先独立解决问题,然后提出自己的看法,再分组讨论,鼓励学生勇于探索实践。
对于第小题难度较大,化为整式方程得后是一个关于的二次方程,有的直接采用分组分解法处理为,两次提公因式后化为再求得;有的化为后,转化为再求得,老师都应高度给予表扬和肯定。
巡视中,对于有困难的应给予引导提示。
(三)归纳总结,内化提升
1.增根的概念:
使分式方程分母为零的根,叫分式方程的增根
2.解分式方程的一般步骤:
(1)去分母(方程两边都乘以最简公分母,把分式方程转化为整式方程)
(2)去括号(利用去括号法则)
(3)移项(移谁改变谁的符号)
(4)合并同类项(利用合并同类项法则)
(5)化系数为1(系数是谁方程两边同时除以谁)
(6)验(双重)
【把所求得的未知数的值代入原分式方程进行检验,一看是否解方程正确,二看是否是增根,即:
如果未知数的值使原分式方程的分母为0,则说明是增根,所以原分式方程无解,如果未知数的值使原分式方程的分母不为0,则说明不是增根,是原分式方程的根。
】
【问题诊断分析】学生有可能在解题过程中:
(1)最简公分母确定的不准确;
(2)去分母时漏乘整式项;(3)去分母时忽略符号的变化;(4)忘记检验。
(四)拓展延伸,直击难点(学生合学)
***1.若分式方程有增根,试求n的值。
***2.已知关于x的分式方程的根是非负数,求m的取值范围。
【师生行为】先请学生考虑考虑后分配任务:
学生小组合作交流,完成后请一位学生上黑板展示,再请一位学生上黑板点评,有疑问的请其他学生补充,有必要时老师强调、纠正并补充
【问题诊断分析1】学生有可能对增根的条件考虑不周而导致错误,增根满足的条件:
①必须使最简公分母为0;②必须是去分母后的整式方程的根;③把求出的常数值代入原分式方程中,如果能求出相应的x的值,则说明常数存在,增根也存在;如果求不出相应的x的值,则说明常数不存在,增根也不存在,应舍去。
对于这道题有一定难度,学生由于对增根条件理解不透,容易出错,求出n的值为0或3,经过第三个条件的检验,n的值为3,所以检验是非常有必要的,老师应该着重强调。
【设计意图】由于分式方程的增根问题是学生理解上的难点,学生在学过的情况下可能还会存在疑惑,因此安排了这一环节进行训练,所选题是在理解增根基础上的灵活应用,能够帮助学生较好的理解增根条件,并能利用其解决问题。
【问题诊断分析2】学生大多数可能只是这样做的:
“,,
m-3=-(x-1),m-3=-x+1,x=1+3-m,x=4-m,∵x≥0,∴4-m≥0,-m≥-4,m≤4,所以答案就是:
m≤4”.但是原分式方程是有根,所以要排除增根,要限制最简公分母x-1≠0,x≠1
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- 北师大 初二 数学 下册 分式 方程 及其 解法