基本初等函数知识点复习高考题汇编高三复习.doc
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2015年人教版数学必修一第二章复习资料
姓 名:
院、系:
数学学院
专 业:
数学与应用数学
2015年10月5日
基本初等函数
一、一次函数
一次
函数
,
符号
图象
性质
随的增大而增大
随的增大而减小
二、二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式:
②顶点式:
③两根式:
(2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式.
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式.
③若已知抛物线与轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求更方便.
(3)二次函数图象的性质
图像
定义域
对称轴
顶点坐标
值域
单调区间
递减
递增
递增
递减
①.二次函数的图象是一条抛物线,对称轴方程为顶点坐标是
②当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增,当时,;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减,当时,.
一、指数与指数幂的运算
(一)根式的概念
1、如果,且,那么叫做的次方根.当是奇数时,的次方根用符号表示;当是偶数时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号表示;0的次方根是0;负数没有次方根.
2、式子叫做根式,这里叫做根指数,叫做被开方数.当为奇数时,为任意实数;当为偶数时,.
3、根式的性质:
;当为奇数时,;当为偶数时,.
(二)分数指数幂的概念
1、正数的正分数指数幂的意义是:
且.0的正分数指数幂等于0.
2、正数的负分数指数幂的意义是:
且.0的负分数指数幂没有意义.
注意口诀:
底数取倒数,指数取相反数.
3、a0=1(a¹0)a-p=1/ap(a¹0;pÎN*)
4、指数幂的运算性质
5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。
二、指数函数的概念
一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:
指数函数的定义是一个形式定义;
注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1.
三、指数函数的图象和性质
函数名称
指数函数
定义
0
1
函数且叫做指数函数
图象
0
1
定义域
值域
(0,+∞)
过定点
图象过定点(0,1),即当x=0时,y=1.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
y>1(x>0),
y=1(x=0),
0<y<1(x<0)
y>1(x<0),
y=1(x=0),
0<y<1(x>0)
变化对
图象影响
在第一象限内,越大图象越高,越靠近y轴;
在第二象限内,越大图象越低,越靠近x轴.
在第一象限内,越小图象越高,越靠近y轴;
在第二象限内,越小图象越低,越靠近x轴.
注意:
利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是或
(2)若,则;取遍所有正数当且仅当
(3)对于指数函数,总有
(4)当时,若,则
四、底数的平移
对于任何一个有意义的指数函数:
在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。
即“上加下减,左加右减”
五、幂的大小比较
常用方法
(1)比差(商)法:
(2)函数单调性法;
(3)中间值法:
要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
注意:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。
例如:
y1=34,y2=35
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如:
y1=(1/2)4,y2=34,
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较
①对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。
②在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。
由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。
即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向时,ax大于1,异向时ax小于1.
对数函数及其性质
一、对数与对数的运算
(一)对数
1.对数的概念:
一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:
(—底数,—真数,—对数式)
说明:
①注意底数的限制,且;
②;
③注意对数的书写格式.
两个重要对数:
①常用对数:
以10为底的对数;
②自然对数:
以无理数为底的对数的对数.
指数式与对数式的互化
幂值真数
=N=b
底数
指数对数
(二)对数的运算性质
如果,且,,,那么:
①·+;-;
.④
⑤⑥
⑦loga1=0⑧logaa=1⑨alogaN=N⑩logaab=b
注意:
换底公式
(,且;,且;).
推论(利用换底公式)
①;②.
二、对数函数
1、对数函数的概念:
函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:
①对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
如:
,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
②对数函数对底数的限制:
,且.
三、对数函数的图像和性质:
函数名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象
0
1
0
1
定义域
值域
过定点
图象过定点,即当时,.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象影响
在第一象限内,越大图象越靠低;在第四象限内,越大图象越靠高.
在第一象限内,越大,图象越靠近x轴
在第四象限内,越大,图象越靠近y轴
在第一象限内,越小,图象越靠近x轴
在第四象限内,越小,图象越靠近y轴
四、对数的平移、大小比较与指数函数类似
反函数
一、反函数定义
设函数的定义域为,值域为,从式子中解出,得式子.如果对于在中的任何一个值,通过式子,在中都有唯一确定的值和它对应,那么式子表示是的函数,函数叫做函数的反函数,记作,习惯上改写成.
二、反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域;
②从原函数式中反解出;
③将改写成,并注明反函数的定义域.
三、反函数的性质
①原函数与反函数的图象关于直线对称.
②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
③若在原函数的图象上,则在反函数的图象上.
④一般地,函数要有反函数则它必须为单调函数.
幂函数及其性质
一、幂函数的定义
一般地,函数叫做幂函数,其中为自变量,是常数.
二、幂函数的图象
三、幂函数的性质
1、图象分布:
幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.
①幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称);
②幂函数是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);
③幂函数是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.
2、过定点:
所有的幂函数在都有定义,并且图象都通过点.
3、单调性:
①如果,则幂函数的图象过原点,并且在上为增函数.
②如果,则幂函数的图象在上为减函数,在第一象限内,图象无限接近轴与轴.
4、奇偶性:
⑴当为奇数时,幂函数为奇函数,
⑵当为偶数时,幂函数为偶函数.
⑶当(其中互质,和),
①若为奇数为奇数时,则是奇函数,
②若为奇数为偶数时,则是偶函数,
③若为偶数为奇数时,则是非奇非偶函数.
5、图象特征:
幂函数,
⑴当时,①若,其图象在直线下方,
②若,其图象在直线上方,
⑵当时,①若,其图象在直线上方,
②若,其图象在直线下方.
习题
一、选择题
.(2012年高考(安徽文)) ( )
A. B. C. D.
.(2012年高考(广东理))(函数)下列函数中,在区间上为增函数的是 ( )
A. B. C. D.
.(2012年高考(重庆文))设函数集合则为 ( )
A. B.(0,1) C.(-1,1) D.
.(2012年高考(天津文))下列函数中,既是偶函数,又在区间内是增函数的为( )
A. B. C. D.
.(2012年高考(四川文))函数的图象可能是
.(2012年高考(山东文))函数的定义域为 ( )
A. B. C. D.
.(2012年高考(广东文))(函数)下列函数为偶函数的是 ( )
A. B. C. D.
.(2012年高考(安徽文))设集合,集合是函数的定义域;则 ( )
A. B. C. D.
.(2012年高考(四川理))函数的图象可能是
.(2012年高考(江西理))下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为 ( )
A.y= B.y= C.y=xex D.
二、填空题
.(2012年高考(上海文))方程的解是_________.
.(2012年高考(陕西文))设函数发,则=_____
.(2012年高考(北京文))已知,.若或,则的取值范围是________.
.(2012年高考(北京文))已知函数,若,则_________.
.(2012年高考(江苏))函数的定义域为____.
基本初等函数综合复习
题型一 幂函数的定义及应用
例1.已知y=(m2+2m-2)·+(2n-3)是幂函数,求m、n的值.
探究提高
(1)判断一个函数是否为幂函数,只需判断该函数的解析式是否满足:
①指数为常数;②底数为自变量;③幂系数为1.
(2)若一个函数为幂函数,则该函数解析式也必具有以上的三个特征.
已知f(x)=(m2+2m),m为何值时,f(x)是:
(1)正比例函数;
(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.
2.【江西省2014届高三新课程适应性考试文科数学】由幂函数的图像过点,则这个幂函数的定义域是()
A.B.C.D.
题型二 指数式与根式,对数式的化简,求值问题
例2.【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学(文)】已知函数,则( )
A. B. C. D.
变式训练:
1.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学(文)】求值:
.
2.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】已知函数,则.
题型三基本初等函数的单调性问题
例3.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学(文)】已知函数,(且)是上的减函数,则的取值范围是()
A.B.C.D.
变式训练1.【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】已知函数且则下列结论正确的是()
A. B.
C. D.
2.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学(文)】下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的
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