全国校级联考天津七校联考学年高二上期中数学文试题.docx
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全国校级联考天津七校联考学年高二上期中数学文试题
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【全国校级联考】天津七校联考2017-2018学年高二上期中数学(文)试题
试卷副标题
考试范围:
xxx;考试时间:
100分钟;命题人:
xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1.直线:
与圆:
的位置关系是
A.相离B.相切C.相交D.有公共点
2.在梯形中,,,.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为().
A.B.C.D.
3.已知平面,,直线,,且有,,则下列四个命题正确的个数为().
①若,则;②若,则;
③若,则;④若,则;
A.B.C.D.
4.已知点在圆和圆的公共弦上,则的最小值为().
A.B.C.D.
5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形,则原来的图形是().
A.B.
C.D.
6.如图,直三棱柱,,且,则直线与直线所成角的余弦值为().
A.B.C.D.
7.设点是函数的图象上的任意一点,点,则的最大值为().
A.B.C.D.
8.已知圆上的两点,关于直线对称,且(为坐标原点),则直线的方程为().
A.B.或
C.D.或
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
9.如图,直三棱柱的所有棱长都是,以为坐标原点建立空间直角坐标系,则顶点的坐标是__________.
10.经过点、的直线的斜率等于,则的值为__________.
11.将边长为的正方形沿对角线折起,使,则三棱锥的体积为.
12.一只虫子从点出发,先爬行到直线上的点,再从点出发爬行到点,则虫子爬行的最短路程是__________.
13.一个几何体的三视图如图所示(单位:
),则该几何体的体积为__________.
14.若圆与圆恰有三条公切线,则的最大值为__________.
评卷人
得分
三、解答题
15.已知圆和直线.
()求圆的圆心坐标及半径.
()求圆上的点到直线距离的最大值.
16.如图,四棱锥的底面是菱形,,平面,是的中点,是的中点.
()求证:
平面平面.
()求证:
平面.
17.已知点P(2,-1).
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
18.如图,四边形为矩形,四边形为直角梯形,,,,,,.
(1)求证:
;
(2)求证:
平面;
(3)若二面角的大小为,求直线与平面所成的角.
19.如图,三棱柱的所有棱长都是,平面,,分别是,的中点.
()求证:
平面.
()求二面角的余弦值.
()求点到平面的距离.
20.已知圆,是轴上的动点,,分别切圆于,两点.
()当的坐标为时,求切线,的方程.
()求四边形面积的最小值.
()若,求直线的方程.
参考答案
1.D
【解析】
试题分析:
变形为,所以过定点,点在圆上,因此直线与圆有公共点
考点:
直线与圆的位置关系
2.C
【解析】几何体为一个圆柱去掉一个圆锥,体积为,选C
3.A
【解析】若,,则;因为,所以;①对
若,,,则或,
若,,,则,位置关系不定
若,,,则位置关系不定
选A
4.D
【解析】圆和圆的公共弦方程为
选D
点睛:
在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
5.A
【解析】根据斜二测画法知,
平行于x轴的线段长度不变,平行于y的线段变为原来的,
∵O′C’=1,O′A′=,
∴OC=O′C′=1,OA=2O′A′=2;
由此得出原来的图形是A.
故选:
A.
6.A
【解析】延长CC1到D,使得C1D=CC1,则B1D//BC1,所以为直线与直线所成角的补角,设CB=1
因为,所以直线与直线所成角的余弦值为,选A
7.B
【解析】函数的图象为半圆
在直线上,所以的最大值为圆心到直线距离加半径,即,选B
点睛:
与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.
(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如型的最值问题,可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题;②形如型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如型的最值问题,可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.
8.D
【解析】由题意得直线过圆心,所以
所以设
因为,所以
代入得
所以,选D
点睛:
直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,利用韦达定理或求根公式进行转化,涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系,设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算
9.
【解析】,即顶点的坐标是
10.1
【解析】
11.
【解析】试题分析:
由题设可取的中点为,连,则且,故平面,而,注意到,所以,即是等腰直角三角形,所以,由于,所以三棱锥的体积,即所求三棱锥的体积为.
考点:
(1)直线与平面垂直的判定定理的运用;
(2)三棱锥的体积公式运用.
【易错点晴】本题主要考查的是简单几何体的体积的计算,属于一道中档偏难的试题.解答本题时一定要注意求三棱锥体积的关键是选底,选底的目的有两个:
其一是能求出其面积;其二是能求出其上的高.本题的解题过程中巧妙地运用过的中点的平面垂直于平面,从而将做底,做高使问题简捷、巧妙地获解.体现了立体几何中转化与化归的数学思想的巧妙运用.
12.2
【解析】点关于直线对称点为,所以虫子爬行的最短路程是AB=2
13.
【解析】几何体为一个圆锥与一个棱柱的组合体,体积为
视频
14.6
【解析】由题意得两圆相外切,即,
点睛:
判断圆与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:
利用圆心距与两半径和与差的关系.
(2)切线法:
根据公切线条数确定.
(3)数形结合法:
直接根据图形确定
15.
(1)圆心坐标为,半径;
(2)5
【解析】试题分析:
(1)先配方将圆方程化为标准式,即得圆的圆心坐标及半径.
(2)圆上的点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离加上半径,再根据点到直线距离公式计算可得结论
试题解析:
()圆,转化为:
,则:
圆心坐标为,半径.
()利用()的结论,圆心到直线的距离,最大距离为:
.
16.
(1)见解析;
(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)根据平几知识计算得,再根据条件由线面垂直得,最后根据线面垂直判定定理得平面,由面面垂直判定定理得结论
(2)取的中点,由平几知识得,再根据线面平行判定定理得结论
试题解析:
()∵底面是菱形,,
∴为正三角形,是的中点,,
平面,平面,∴,
∵,∴平面,
∵平面,∴平面平面.
()取的中点,连结,,
∵,是中点,∴且,
∴与平行且相等,∴,
∵平面,平面,∴平面.
17.
(1)x=2或3x-4y-10=0;
(2)
【解析】试题分析:
第一步首先考虑直线的斜率不存在的情况,然后可设直线方程的点斜式,根据原点到直线的距离为2,列方程求出斜率,得出直线方程;第二步过P点且与原点距离最大的直线就是过P点与OP垂直的直线,P点与原点距离就是原点到直线距离的最大值,OP长即为所求.
试题解析:
(1)①当l的斜率k不存在时显然满足要求,
∴l的方程为x=2;
②当l的斜率k存在时,设l的方程为y+1=k(x-2),
即kx-y-2k-1=0.
由点到直线距离公式得,
∴k=,∴l的方程为3x-4y-10=0.
故所求l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,由l⊥OP得klkOP=-1,所以=-=2.
由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),
即2x-y-5=0.
即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,
最大距离为.
【点睛】利用直线方程的点斜式解决问题,首先要考虑直线的斜率不存在的情况,然后再设直线方程的点斜式,根据原点到直线的距离为2,列方程求出斜率,得出直线方程;求过P点且与原点距离最大的直线就是过P点与OP垂直的直线,P点与原点距离就是原点到直线距离的最大值,OP长即为所求.
18.
(1)证明见解析;
(2)证明见解析;(3)30°.
【解析】试题分析:
(1)根据矩形性质得,再由条件,利用线面垂直判定定理得平面,即得结论
(2)先根据线线平行得线面平行:
平面,平面,再根据线面平行得面面平行:
平面平面,即得线面平行(3)过作与的延长线垂直,则根据二面角定义得就是二面角的平面角,再根据面面垂直判定与性质定理得平面,即是直线与平面所成的角,最后通过解三角形得结果
试题解析:
证明:
()∵四边形为矩形,∴,
又∵,,平面,,∴平面,
∵平面,∴.
()∵,平面,平面,∴平面.
∵四边形是矩形,∴,又平面,
平面,∴平面,
又,平面,,∴平面平面,
∵平面,∴平面.
()过作与的延长线垂直,是垂足,连结.
∵,,∴就是二面角的平面角,
∴,,∴,,
∵,,,∴.
∵平面,平面,
∴平面平面,又平面平面,,
∴平面,
∴是直线与平面所成的角,
∴,∴,
∴直线与平面所成的角为.
19.
(1)见解析;
(2);(3)1
【解析】试题分析:
(1)根据三角形相似得,根据直棱柱性质得,又由等边三角形性质得,所以由线面垂直判定定理得平面,即,最后根据线面垂直判定定理得结论
(2)建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面法向量,再根据向量数量积求夹角,最后根据二面角与向量夹角关系求二面角的余弦值.(3)根据向量投影得点到平面的距离为,再利用向量数量积求夹角可得结果
试题解析:
()证明:
∵平面,平面,∴,
∵是等边三角形,∴,又,
∴平面,
以为原点建立空间直角坐标系如图所示:
则,,,,,
∴,,,
∴,,∴,,
又,∴平面.
(),,
设平面的法向量为,则,∴,
令得,又为平面的法向量,
∴二面角的余弦值为.
(),,,
∴直线与平面所成角的正弦值为,∴点到平面的距离为.
20.
(1),;
(2);(3)或
【解析】试题分析:
(1)设切线点斜式方程,根据圆心到切线距离等于半径列方程求斜率,最后考虑斜率不存在的情形是否满足题意
(2),
,所以转化为求圆心到轴上点距离最小值(3)由垂径定理可得圆心到弦的距离,再根据射影定理可得,解得Q坐标,即得直线的方程.
试题解析:
()当过的直线无斜率时,直线方程为,显然与圆相切,符合题意;
当过的直线有斜率时,设切线方程为,即,
∴圆心到切线的距离,
解得,
综上,切线,的方程分别为,.
(),
,
.
∴当轴时,取得最小值,
∴四边形面积的最小值为.
()圆心到弦的距离为,
设,则,又,
∴,解得.
∴或,
∴直线的方程为或.
点睛:
与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值,求点到直线的距离的最值,求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化.
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- 全国 级联 天津 联考 学年 上期 数学 试题