高考数学北师大版理科 69 二项分布与正态分布.docx
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高考数学北师大版理科69二项分布与正态分布
课时分层训练(六十九) 二项分布与正态分布
A组 基础达标
一、选择题
1.设随机变量X~B,则P(X=3)等于( )
A. B.
C.D.
A [X~B,由二项分布可得,
P(X=3)=C·=.]
2.甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的记录知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.则在甲市为雨天的条件下,乙市也为雨天的概率为( )
A.0.6B.0.7
C.0.8D.0.66
A [将“甲市为雨天”记为事件A,“乙市为雨天”记为事件B,则P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,故P(B|A)===0.6.]
3.在如图1081所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
图1081
附:
若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ A.2386B.2718 C.3413D.4772 C [由曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线可知题图中阴影部分的面积为P(0 4.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.B. C.D. B [设事件A: 甲实习生加工的零件为一等品; 事件B: 乙实习生加工的零件为一等品, 则P(A)=,P(B)=, 所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=.] 5.设随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),若P(X≥1)=,则P(Y≥2)的值为( ) 【79140374】 A.B. C.D. B [因为随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),又P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得p=,所以Y~B,则P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=.] 二、填空题 6.(2018·青岛质检)设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<-3)=P(ξ>1)=0.2,则P(-1<ξ<1)=________. 0.3 [由P(ξ<-3)=P(ξ>1)=0.2得P(ξ>-1)=0.5,所以P(-1<ξ<1)=0.5-0.2=0.3.] 7.投掷一枚图钉,设钉尖向上的概率为p,连续掷一枚图钉3次,若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率,则p的取值范围为________. [设P(Bk)(k=0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉,出现k次钉尖向上”的概率,由题意得P(B2) 8.(2017·河北衡水中学质检)将一个大正方形平均分成9个小正方形,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中),投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,则P(A|B)=________. [依题意,随机试验共有9个不同的基本结果. 由于随机投掷,且小正方形的面积大小相等. 所以事件B包含4个基本结果,事件AB包含1个基本结果. 所以P(B)=,P(AB)=. 所以P(A|B)===.] 三、解答题 9.(2017·山西太原二模)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖规则如下: 1.抽奖方案有以下两种: 方案a: 从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球,若都是红球,则获得奖金30元;否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回甲袋中;方案b: 从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球,若都是红球,则获得奖金15元;否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回乙袋中. 2.抽奖条件: 顾客购买商品的金额满100元,可根据方案a抽奖一次;满150元,可根据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元,则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次).已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元. (1)若顾客A只选择方案a进行抽奖,求其所获奖金的期望; (2)要使所获奖金的期望值最大,顾客A应如何抽奖? 【79140375】 [解] (1)按方案a抽奖一次,获得奖金的概率P==. 顾客A只选择方案a进行抽奖,则其可以按方案a抽奖三次. 此时中奖次数服从二项分布B~. 设所得奖金为w1元,则E=3××30=9. 即顾客A所获奖金的期望为9元. (2)按方案b抽奖一次,获得奖金的概率P1==. 若顾客A按方案a抽奖两次,按方案b抽奖一次,则由方案a中奖的次数服从二项分布B1~,由方案b中奖的次数服从二项分布B2~, 设所得奖金为w2元,则E=2××30+1××15=10.5. 若顾客A按方案b抽奖两次,则中奖的次数服从二项分布B3~. 设所得奖金为w3元,则E=2××15=9. 结合 (1)可知,E=E 所以顾客A应该按方案a抽奖两次,按方案b抽奖一次,才能使所获奖金的期望最大. 10.(2015·四川高考)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望. [解] (1)由题意,参加集训的男、女生各有6名. 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为=. 因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=. (2)根据题意,X的可能取值为1,2,3. P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 因此,X的数学期望为 EX=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3) =1×+2×+3×=2. B组 能力提升 11.设随机变量X服从二项分布X~B,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是( ) A.B. C.D. C [∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点, ∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4. ∵X服从X~B, ∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-=.] 12.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=________,P(B)=________. 【79140376】 [由题意可得 解得P(A)=,P(B)=, 所以P(B)=P()·P(B)=×=.] 13.(2018·济南一模)2017年1月25日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南,两种车型采用分段计费的方式,MobikeLite型(Lite版)每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算);Mobike(经典版)每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算).有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次).设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为,,,三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用Lite版单车,丙租用经典版单车. (1)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率; (2)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列. [解] (1)由题意得,甲、乙、丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为,,. 设甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A, 则P(A)=××+××=. 即甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为. (2)ξ的所有可能取值有2,2.5,3,3.5,4. P(ξ=2)=××=; P(ξ=2.5)=××+××=; P(ξ=3)=××+××=; P(ξ=3.5)=××+××=; P(ξ=4)=××=. 甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为 ξ 2 2.5 3 3.5 4 P
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