解斜三角形.docx
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解斜三角形
解斜三角形
一、基本知识
1.正弦定理
c
==2R(R是^ABC外接圆半径)
sinC
a2
「丄2
=b+c
—2bccosA
b2
=a2
2
+c-2accosB
c2
=a2
2
+b-2abcosC
cosA
cosB
cosC
-2.22
b+c-a
2bc
a2+c2-b2
2ac
a2+b2-c2
2ab
1
3.S也Bc=~absinC
1
S必Bc=一(a中b+c)r(r是^ABC内接圆半径)
4.重要结论
(1)
sinA+B)=siQ
cos(A+B)=-cosC
tan(A+B)=-tanC
.A+Bsin
2
A+B
cos
2
tarA+tarB+taC=tarA・tarB・tarC
5.考题分类
题型一:
求解斜三角形中的基本元素题型二:
判断三角形的形状题型三:
解决与面积有关问题题型四:
三角形中求值问题
题型五:
实际应用
二、例题解析
【例1】
已知△ABC中,2j2(sin2A-sin2C)=(a—b)sinB,外接圆半径为,求
分析:
由272(sin2A—sin2C)=(a—b)sinB,得
272(益-2)=(a—b』
4R24R22R
由于,
R=J2,代入并整理,得
a2+匕2-c2=ab
所以,
2小22
Ca+b-c
cosC=
2ab
_ab
—2ab
所以,
【例2】设MBC的内角A.B.C所对的边分别为a.b.c,已知a=1b=2.cosC.
4
(I)求AABC的周长
(n)求cos(A-C)的值
本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查基本运算能力
解析:
(I)Tc2
221
=a+b-2abcosC=1+4-4x-=4
4
•••c=2
•••AABC的周长为
a+b+c=1+2+2=5.
(n「cosC#,-s心心兀卜目
a/15
4
V15
..AasinC4715
…sinA==—=
c28
•••a
=7
"8
•cosA=J1-sin2A=J1-
71J15£1511
•cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC飞肓+―——
416
13
“例3】在^ABC中,tan^4,tanB=5
(I)求角C的大小;
(n)若AB边的长为JT7,求BC边的长
解:
(I)C=n—(A+B),
二tanC=-tan(A+B)=
1+3
45一1.
.13
1X—
45
又':
0 冗・ (n)由 IsinA ItanA= {cosA I22 (sinA+cosA=1, 1—4'且AE 得sinA _ABBC =.t= 17sinCsinA 例4根据下列条件判断三角形ABC的形状: sinC —002222 (1)右a2tanB二b2tanA; (2)bsinC+csinB=2bccosBcosC 解(1由已知及正弦定理得 “.A、2sinBFf2sinA (2RsinA)=(2RsinB)= cosBcosA 2sinAcosA=2sinBcosB=sin2A=sin2B= 2cos(A+B)sin(A-B)=0 •••A+B=90o或A-B=0 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形 解 (1)由正弦定理得 22 sinBsinC=sinBsinCcosBcosC ■/sinBsinCm0,/•sinBsinC=cosBcosC, 即cos(B+C)=0,•••B+C=90o,A=90o, 故^ABC是直角三角形. 【例5】如图,海中小岛A周围20海里内有暗礁,一船向南航行,在 B处 测得小岛A在船的南偏东300;航行30海里后,在C处测得小岛A在船的南偏东600。 如果此船不改变航行方向,继续向前行驶,有无触礁危险。 【解】过A作AD丄BC于D,由正弦定理易求得 AD=157326(海里)>20(海里),所以继续航行没有触礁的危险。 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积。 11 =—AB•ADsinA+-BC•DCsinC 22 A+C=Ji sinA—sirC S=? (AB・AD+BC・DC)sinA=-(2x4+6x4)sinA==16sinA 由余弦定理,在△ABD中,得 222 BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA= 22 2+4—2x2X4cosA=20—16cosA 在^CBD中, 222 BD=CB+CD-2CB・CDcosC= 22 62+42—2X6X4cosA=52—48cosC 20T6cosA=52-48c0C C0A=-coC64cosA=-32 R1 C0A=- sinA上 S=16x2^=8^3 2 解斜三角形训练题 一、选择题 3. (15年广东文科)设MBC的内角A,E,C的对边分别为a,b,c.若a=2, 且bcc,贝Ub=() B.2 D.3 【答案】B 【解析】 22=b2 +(2^3f—2xbx273xd,即b2-6b+8=0,解得: b=2或b=4,因为bee, 2 所以b=2,故选B. 2.2.2C CC+a—b3 2ca cosB==- 4 A+B 5.在"Be中,tan丁“nC,给出下面四个结论: 其中正确的是(B.) A①③B.②④C.①④D②③ 6.已知三角形的三边之比是5: 7: 8,则最大角与最小角之和为(B) 7.[2014江西七校联考]在^ABC中,若sin(A—B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则^ABC的形状一定是() A.等边三角形 B•不含60°的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 解: D[解析]由题意得,1+2cos(B+C)sin(A+C)=1—2cosAsinB,又sin(A—B)=sinAcosB—cosAsinB, 所以sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=1,所以A+B=,故△ABC一定为直角三角形. 8在^ABC中, 2 tanB=btanA,则△ABC是(D.) A等腰三角形 C.直角三角形 B.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 在^ABC中,内角A、 B、C所对的边分别为a,b,c,已知 B.—1 C.2 D.-2 MBC的面积是 二、填空题 1.人ABC中,已知,BC=3,AB=10,AB边的中线为7,则 由,S ABC中,若面积S=l(a2+b2-C2)则NC的度数为 4 12221=—(a+b-c)=—absinC得 42 1 一•ZabsosC=absinC 2 cosC=sinC 45°。 所以, 得,C=45 a 3.在^ABC中,若NC=60°,则+= b+ca+c 由NC=60°,得 NDAC=30。 于是,NDCB=15。 再由正弦定理,得 AD16得 —,\得 sin15°sin135° 在MBC中,,应用余弦定理,得 =142 2221 BC2=102+162-2*10*16•— 2 所以,BC=14 三、解答题 解: 由正弦定理得: sinA二誉一沁丈出 Sin45 当A=60时C=75。 c=空匹*心=41 sinB 当A=120时C=15°C=bSinC="Sin15 sinBsin45 60o东, 2.一海轮以20海里/小时的速度向东航行,它在A点时测得灯塔P在船的北 2小时后到达B点时测得灯塔P在船的北450东,求: (1)船在B点时与灯塔P的距离; (2)已知以点P为圆心,55海里为半径的水域内有暗礁,那么这船继续向正东航行,无触礁为危险? 解: 如图: 在厶蚯卩中「"4―缈上= <55(H分) PZ)=5Psin45^=2075+20 故继续航行有触礁危险. 3辽宁08)在^ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=— 3 (I)若△ABC的面积等于J3,求a,b; (n)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积. 53 4△ABC中,cosA=——,cosB=—.黑龙江2008 135 (I)求sinC的值; (n)设BC=5,求△ABC的面积. 解: 512 (I)由cosA=——,得sinA=—, 1313 亠34 由cosB=—,得sinB=—. 55 16所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=一 65 匚4 —・—5X— (n)由正弦定理得AC=BCynB=—5 sinA12 13 11__ 所以△ABC的面积S=-xBCxACxsinC=-x5x—x一 22 13 13168 =—.10分 3653 (2008重庆)设^ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 b2+c2=a2■^/3bc求: (I)A的大小; (n)2sinBcosC—sin(B-C)的值. 解: (I)由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA, 故cosA」*-a2血 2bc2bc 所以A=- 6 -逅 -~2~ n)2sinBcosC-sin(B-C) =2sinBcosC-(sinBcosC-cosBsinC) =sinBcosC+cosBsinC =sin(B+C) =sin(兀-A) =sinA= 2 5.(江西17)(本小题满分12分) C在MBC中,角A、B、C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin—. 2 (1)求sinC的值; (2)若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值. CCCC 【解析】 (1)由已知得2sin—cos—+1-2sin2—=1-sin—,即 222
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