数学建模之微分方程建模与平衡点理论.docx
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数学建模之微分方程建模与平衡点理论
微分方程
列微分方程常用的方法:
(1)根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。
(2)微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式,与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
(3)模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中,许多现象的规律性不很清楚,即使有所了解也是极其复杂的,建模时在不同的假设下去模拟实际的现象,建立能近似反映问题的微分方程,然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质,再去同实际情况对比,检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
一、模型的建立与求解
传染病模型
(1)基础模型
假设:
t时刻病人人数连续可微。
每天每个病人有效接触(使病人治病的接触)的人数为,时有个病人。
建模:
t到病人人数增加
(1)
(2)
解得:
(3)
所以,病人人数会随着t的增加而无限增长,结论不符合实际。
(2)SI模型
假设:
1.疾病传播时期,总人数N保持不变。
人群分为两类,健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触人,为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
依据:
患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)*s(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数)
建模:
(4)
由于
(5)
设t=0时刻病人所占的比例为,则可建立Logistic模型
(6)
解得:
(7)
用Matlab绘制图1,图2图形如下,
结论:
在不考虑治愈情况下
①当时达到最大值,这时
②时人类全被感染。
未考虑治愈情况。
(3)SIS模型
假设:
1.疾病传播时期,总人数N保持不变。
人群分为两类,健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触人,为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
3.在所有病人中,每天有比例的人能被治愈,治愈后看作可被感染的健康者,传染病的平均传染期为。
依据:
患病人数的变化率=(患病人数的变化率)-(治愈率)
建模:
(8)
(9)
令为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数,。
则有
(10)
用Matlab绘制出(图3,图5)和i~t(图4,图6)。
结论:
为一个阈值。
①,极限值为增函数,的增减性由的大小确定。
②,病人比例越来越小,最终趋于0。
(4)SIR模型(某些疾病患者治愈后获得了很强的免疫力,不会再次被感染)
假设:
①总人数N不变,将人群分为健康者,病人,和病愈免疫的移除者,他们在总人数中所占的比例依次为,,。
②为病人的日接触率,μ为日治愈率,为传染期接触数。
建模:
由假设1得
(11)
(12)
令t=0时健康者与病人所占比例分别为,则有
(13)
利用Matlab绘制出,(图7),(图8)图形,图形称为相轨线。
相轨线分析:
利用相轨线讨论解,的性质。
平面称为相平面,相轨线在其上的定义域为为
(14)
消去方程中的,并由得到
(15)
解得:
(16)
在定义域内,相轨线是上式所表示的曲线,如图9所示,其中箭头表示随着时间的增加和的变化趋势。
下面分析、和的变化情况(时它们的极限值分别记做和)
①不论初始条件如何,病人最终会消失,,证明:
首先,由式(13),,而,所以存在;由式(11),,而,所以存在;由式(11)得存在。
其次,若,则由式(11),对于充分大的有,导致,与存在相矛盾。
从图形来看,无论相轨线从何点出发,最终都将与轴相交。
②令式(16)中,则最终未被感染的健康者的比例是,为方程
(17)
在内的根,在图形上表示为相轨线与s轴在内交点的横坐标。
③若,则先增加,当时,达到最大值
(18)
然后减小且趋于0,单调减小至,如图中由出发的相轨线。
④若,则单调减小至0,单调减小至,如图中由出发的相轨线。
结论:
①若病人比例有一段时间增长即认为传染病在蔓延,则为一个阈值,时蔓延。
可以通过减小使,使传染病不蔓延。
②,减小时,增加,也能控制蔓延程度。
捕鱼模型
考察一个渔场,其中鱼量在天然环境下按一定规律增长、如果捕捞量恰好等于增长量,那么渔场鱼量将保持不变,这个捕捞量就可以持续.
①产量模型
假设:
为渔场中鱼量。
1.无捕捞时,鱼的的增长服从logistic规律,即
(19)其中:
表示固有增长率,表示环境容许的最大鱼量,表示单位时间的增长量。
2.用E表示单位时间捕捞率,单位时间捕捞量和渔场鱼量成正比,则有单位时间捕捞量为
(20)
建模:
捕捞情况下渔场鱼量满足
(21)
其中:
。
判断的稳定条件,求式(21)的平衡点,分析其稳定性。
令式(21)为0,得两个平衡点:
(22)
稳定性判断
当时,则点稳定,点不稳定。
当时,则点稳定,点不稳定。
分析:
用表示捕捞率,r表示固有增长率。
①当时,可使鱼量稳定在,获得稳定产量。
②当时,稳定,渔场干枯。
根据(19),(20)式分别绘制曲线及,使用Matlab绘制图形如下所示,
得两曲线交点为P,则P横坐标为稳定平衡点,纵坐标为稳定条件下单位时间的产量,当交点位于抛物线顶点时获得最大的持续产量,此时的稳定平衡点为,单位时间的最大持续产量为,捕捞率。
结论:
将捕捞率控制在固有增长率的一半,即使渔场鱼量保持在最大鱼量的一半时,能够获得最大的持续产量。
②效益模型(经济效益=总收入收入-成本)
假设:
鱼销售单价,单位捕捞率费用是,单位时间收入为,成本为,单位利润为,则有
(23)
建模:
在稳定条件下,将式(22)代入式(23)得
(24)
求出使利润最大的捕捞强度为
(25)
最大利润下的渔场稳定鱼量和单位时间的持续产量
(26)
(27)
结论:
当有最大效益时,捕捞率和持续产量都减小,渔场应保持的稳定鱼量增加,捕捞成本越大或销售价格越低所需减少增大的部分越大。
③捕捞过度:
封闭式捕捞追求利益最大,开放式捕捞只追求利润。
令式(24)中,解,则
(28)
当时,利润经营者加大捕捞强度,当,经营者减小捕捞强度,为盲目捕捞下的临界强度。
或利用Matlab绘制曲线如图(12),则交点横坐标即为。
二、微分方程与平衡点理论
一阶微分方程
设一阶微分方程为
(1)
求解方程即可出平衡点。
再判断平衡点是否稳定。
判断平衡点的常用方法有以下两种
(1)直接法
将在点作泰勒展开,仅取一次项,则得方程
(1)的近似线性方程为
(2)
所以,也是方程
(2)的平衡点。
令,则方程
(2)的一般解为
对于点的稳定性有如下结论:
如果,则对于方程
(2)和
(1)都是稳定的;
如果,则对于方程
(2)和
(1)都是不稳定的;
(2)间接法
如果存在某个邻域内的任意值,使方程
(1)的解满足
(3)
那么是稳定的,否则是不稳定的。
二阶微分方程
设二阶微分方程为
(4)
求出方程的解,即为二阶微分方程的平衡点记作
利用直接法判断平衡点的稳定性,由线性常系数微分方程组
(5)
得系数矩阵记
(6)
为求出方程(5)的惟一平衡点的稳定性,令A的行列式为
(7)
的稳定性可由方程(5)的特征方程的根决定。
即
(8)
方程(8)可以写为
(9)
用表示特征根,则。
方程(5)的一般解形式为
则当是负数或者有负实部时,为稳定平衡点;当有一个正数或者有正实部时,为不稳定平衡点。
在(7)的约束下不可能为0。
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- 数学 建模 微分方程 平衡点 理论