数学物理方程23章课后部分习题答案.docx
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数学物理方程23章课后部分习题答案
数学物理方程李明奇主编电子科技大学出版社
2-3章部分习题答案
习题2.1
4.一根长为L、截面面积为1的均匀细杆,其x=0端固定,以槌水平击其x=L端,使之获得冲量I。
试写出定解问题。
解:
由Newton定律:
,其中,为杨氏模量,为均匀细杆的横截面积,为相对伸长率。
化简之后,可以得到定解问题为:
。
习题2.2
3.设物体表面的绝对温度为,它向外辐射出去的热量,按斯特凡-波尔兹曼定律正比于,即,设物体与周围介质之间,只有热辐射而无热传导,周围介质的绝对温度为已知函数,。
试写出边界条件。
解:
由Fourier热传导实验定律,其中称为热传导系数。
可得,
即可得边界条件:
。
习题2.3
4.由静电场Gauss定理,求证:
,并由此导出静电势所满足的Poisson方程。
证明:
,所以可以得到:
。
由与,可得静电势所满足的Poisson方程:
。
习题2.4
2.求下列方程的通解:
(2):
(5):
解:
(2):
特征方程:
解得:
和。
那么令:
,,
所以:
,,。
可得:
。
解之得。
(5):
特征方程:
解得:
和。
那么令:
,,
所以:
,,。
可得:
。
解之得。
习题2.5
2.试证明:
若是定解问题的解,则是定解问题的解。
解:
由题意可对进行求导,则:
,其中。
,
将代入上式中,则可得。
至于边界条件和初始条件,由于
,
。
所以,得证。
习题2.6
1.证明下列公式:
(3)
证明:
由函数定义:
即:
。
得证:
习题3.1
3.求下列边值问题的固有值和固有函数:
(4)
解:
令,则方程的通解为
。
代入边界条件:
,
则满足等式的值就是固有值,记为,则固有函数为。
7.一根长为L的杆,一端固定,另一端受力而被拉长。
求杆在去掉时的振动。
设杆的截面积为,杨氏模量为。
解:
设位移函数为,则定解问题为
用分离变量法,由边界条件,可得:
,其相对应的本征函数为。
将带入初始条件中,可得,利用本征函数系的正交性,可得:
则可以得到解为:
习题3.2
2.一根长为L的细杆侧面和两端绝热,初始时刻细杆上的温度为,求细杆上温度变化的规律。
其定解问题为:
。
解:
采用分离变量法,设,将其代入方程分离变量,同时由边界条件,可得本征值:
,其相对应的本征函数为。
且可得。
那么通解即为:
再代入初始条件,即有:
。
利用本征函数系的正交性,可得:
。
综上所述,该定解问题的解为:
,其中。
习题3.3
1.求解定解问题:
。
解:
利用Poisson公式,可以求得:
,,
那么,可以得到方程的解用级数表示为
4.求解圆域内Laplace方程Neumann问题:
。
解:
设,得:
即:
。
令其比值为常数,可得两个常微分方程:
及
解出关于的固有值问题的固有值为则固有函数
将代入关于的方程,解得,。
所以,
叠加得:
由边界条件,得:
那么可以得到各个系数值:
综上所述,定解问题的解为
其中:
为任意常数,,
习题3.4
2.一个长、宽各位a的方形膜,边界固定,膜的振动方程是
。
求方形膜振动的固有频率。
解:
令,将变量分离可得:
,则可得。
继续分离变量,可得,
从而可得固有值问题和。
分别求得固有值问题的固有值为:
,。
则。
将代入关于的常微分方程,可得通解为
。
所以,综上所述,可得方形膜振动的固有频率为
习题3.5
2.求解定解问题:
其中,是常数。
解:
令,则可以化简为定解问题:
先求解定解问题1,可以解得。
至于定解问题2,可以用分离变量法,解得固有值。
由边界条件解得:
,。
那么:
,将其带入初始条件,可以解得:
所以,原定解问题的解:
其中。
6.求解定解问题:
。
解:
先求解下面的齐次定解问题对应的固有值问题:
固有函数为:
令一般解为:
。
将一般解代入泛定方程,将自由项按固有函数系展开,
即:
,
得:
再将一般解和自由项展开代入定解问题的:
解之得:
则原定解问题的解为:
习题3.6
1.求解定解问题:
,其中和均为常数。
解:
令,代入定解问题,得:
下面进行边界条件齐次化,令,代入上面的定解问题,可得:
(1)
(2)
对定解问题
(1),利用分离变量法,可得:
固有值,,,所以通解为
。
代入初始条件中,可以得到
。
对定解问题
(2),先求解齐次问题:
,得到:
,。
从而得通解为:
。
将按展开,得:
,其中。
将与的展开式代入定解问题
(2)中,比较所得方程的两侧系数,即得确定的初始条件为:
此定解问题不难解得:
。
所以,定解问题
(2)的通解为:
。
综上所述,定解问题的解为,其中,;
;。
2.求解定解问题:
。
解:
令,代入方程,得:
为了使这个方程及边界条件同时化成齐次的,选满足:
解得:
。
那么函数满足下列定解问题:
利用分离变量法,可得满足齐次边界条件的解为:
由初始条件,得:
。
于是定解问题的解可表示为:
。
即有
由Fourier级数的系数公式可得
因此,原定解问题的解为:
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