高中数学213函数的单调性教学设计新人教B版必修1.docx
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高中数学213函数的单调性教学设计新人教B版必修1.docx
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高中数学213函数的单调性教学设计新人教B版必修1
必修1
教学分析
在研究函数的性质时,单调性是一个重要内容.实际上,在初中学习函数时,已经重点研究了一些函数的增减性,只是当时的研究较为粗略,未明确给出有关函数增减性的定义,对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出.而本节内容,正是初中有关内容的深化和提高.给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义,明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的,还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法,又有根据定义进行证明的较为严格的方法,最好根据图象观察得出猜想,用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.
由于函数图象是发现函数性质的直观载体,因此,在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境,以利于学生作函数图象,有更多的时间用于思考、探究函数的单调性.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程,以便加深对单调性的理解.
三维目标
1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛,学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义,掌握用定义证明函数单调性的步骤,会求函数的单调区间,提高应用知识解决问题的能力.
3.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.
重点难点
教学重点:
函数的单调性.
教学难点:
增函数、减函数形式化定义的形成.
课时安排
1课时
导入新课
思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(HermannEbbinghaus,1850~1909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.
时间间隔t
0分钟
20分钟
60分钟
8~9小时
1天
2天
6天
一个月
记忆量y(百分比)
100%
58.2%
44.2%
35.8%
33.7%
27.8%
25.4%
21.1%
观察这些数据,可以看出:
记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?
描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?
你能用数学符号来刻画吗?
通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?
(可以借助信息技术画图象)
学生:
先思考或讨论,回答:
记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为横轴,以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如下图所示.
遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.教师提示、点拨,并引出本节课题.
思路2.在第23届奥运会上,中国首次参加就获15枚金牌;在第24届奥运会上,中国获5枚金牌;在第25届奥运会上,中国获16枚金牌;在第26届奥运会上,中国获16枚金牌;在第27届奥运会上,中国获28枚金牌;在第28届奥运会上,中国获32枚金牌.按这个变化趋势,2008年,在北京举行的第29届奥运会上,请你预测一下中国能获得多少枚金牌?
学生回答(只要大于32就可以算准确),教师:
提示、点拨,并引出本节课题.
推进新课
①如下图所示的函数y=x,y=x2,y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?
这反映了相应的函数值的哪些变化规律?
②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?
③如何理解图象是上升的?
④对于函数y=x2,列出x,y的对应值表(如下表).完成下表并体会图象在y轴右侧上升.
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
f(x)=x2
…
…
⑤在数学上规定:
函数y=x2在区间0,+∞上是增函数.谁能给出增函数的定义?
⑥增函数的几何意义是什么?
⑦类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?
⑧函数y=fx在区间D上具有单调性,说明了函数y=fx在区间D上的图象有什么
变化趋势?
讨论结果:
①函数y=x的图象,从左向右看是上升的;函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.
②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:
横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.
④在区间(0,+∞)上,任取x1、x2,且x1<x2,那么就有y1<y2,也就是有f(x1)<f(x2).这样可以体会用数学符号来刻画图象上升.
⑤在函数y=f(x)的图象上任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),记Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)=y2-y1.
Δx表示自变量x的改变量,Δy表示因变量y的改变量,其中“Δ”为希腊字母,读作“delta”.
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间MA.
如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x1>0,则当Δy=f(x2)-f(x1)>0时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数.
如下图
(1)所示.
⑥从左向右看,图象是上升的.
⑦在函数y=f(x)的图象上任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),记Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)=y2-y1.
Δx表示自变量x的改变量,Δy表示因变量y的改变量,其中“Δ”为希腊字母,读作“delta”.
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间MA.
如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x1>0,则当Δy=f(x2)-f(x1)<0时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数,如下图
(2)所示.
几何意义:
从左向右看,图象是下降的.
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性.(区间M称为单调区间)
⑧函数y=f(x)在区间D上,函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小),几何意义:
从左向右看,图象是上升(下降)的.
思路1
例1说出函数f(x)=的单调区间,并指明在该区间上的单调性.
活动:
学生思考函数单调性的几何意义,由图象得单调区间.
解:
(-∞,0)和(0,+∞)都是函数的单调区间,在这两个区间上函数f(x)=都是单调递减的.
点评:
本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.
图象法求函数单调区间的步骤是:
第一步,画函数的图象;第二步,观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
变式训练
下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
活动:
教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数,图象下降则在此区间上是减函数.
解:
函数y=f(x)的单调区间是[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中函数y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.
例2证明函数f(x)=2x+1,在(-∞,+∞)上是增函数.
分析:
画出这个一次函数的图象如下图,直观上很容易看出函数值随着自变量增大而增大.下面根据定义进行证明.同学们可以根据图象理解每一步证明的几何意义.
证明:
设x1,x2是任意两个不相等的实数,且x1<x2,则
Δx=x2-x1>0,
Δy=f(x2)-f(x1)=2x2+1-(2x1+1)=2(x2-x1)=2Δx>0,
所以函数f(x)=2x+1在(-∞,+∞)上是增函数.
点评:
本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性.
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是:
第一步,在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1<x2;第二步,比较f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号;第三步,再归纳结论.定义法的步骤可以总结为:
一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”,因此简称为“去比赛”.
变式训练
证明函数f(x)=+2在区间(-∞,0)和(0,+∞)上分别是减函数.
证明:
设x1,x2是(-∞,0)内的任意两个不相等的负实数,且x1<x2,则
Δx=x2-x1>0,
Δy=f(x2)-f(x1)=+2--2=.
因为x1-x2=-Δx<0,x1x2>0,所以Δy<0.
因此f(x)=+2在区间(-∞,0)上是减函数.
同理,对区间(0,+∞)内的任意两个不相等的正实数x1,x2,且x1<x2,同样有Δy=f(x2)-f(x1)<0.
所以f(x)=+2在区间(0,+∞)上也是减函数.
思路2
例1
(1)画出函数f(x)=-x2+2x+3的图象;
(2)证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数;
(3)当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值范围.
解:
(1)函数f(x)=-x2+2x+3的图象如下图所示.
(2)设x1、x2∈(-∞,1],且x1<x2,则有
f(x1)-f(x2)=(-x+2x1+3)-(-x+2x2+3)
=(x-x)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1],且x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2<2.
∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数.
(3)函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,在对称轴的左侧是增函数,那么当区间(-∞,m]位于对称轴的左侧时满足题意,则有m≤1,即实数m的取值范围是(-∞,1].
点评:
本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时,常用数形结合的方法,结合二次函数图象的特点来分析;二次函数在对称轴两侧的单调性相反;二次函数在区间D上是单调函数,那么二次函数的对称轴不在区间D内.
判断函数单调性时,通常先画出其图象,由图象观察出单调区间,最后用单调性的定义证明.
判断函数单调性的三部曲:
第一步,画出函数的图象,观察图象,描述函数值的变化趋势;
第二步,结合图象来发现函数的单调区间;
第三步,用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.
函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性,会求函数的单调区间,能综合运用单调性解决一些问题,会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切,是高考命题的热点题型.
变式训
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