高考文数热点题型和提分秘籍 专题13 三角函数的图象和性质含答案解析.docx
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高考文数热点题型和提分秘籍专题13三角函数的图象和性质含答案解析
【高频考点解读】
1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.
【热点题型】
题型一三角函数的定义域、值域
【例1】
(1)函数y=的定义域为____________.
(2)函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A.2-B.0C.-1D.-1-
解析
(1)要使函数有意义,必须有
即
故函数的定义域为{x|x≠+kπ且x≠+kπ,k∈Z}.
(2)∵0≤x≤9,∴-≤x-≤,
∴sin∈.
∴y∈,∴ymax+ymin=2-.
答案
(1){x|x≠+kπ且x≠+kπ,k∈Z}
(2)A
【提分秘籍】
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型:
①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).
【举一反三】
(1)函数y=的定义域为________.
(2)函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为________.
解析
(1)法一 要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.
在[0,2π]内,满足sinx=cosx的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为
.
法二 利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).
∴定义域为
.
法三 sinx-cosx=sin≥0,将x-视为一个整体,由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kπ≤x-≤π+2kπ,k∈Z,
解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
所以定义域为.
(2)设t=sinx-cosx,则t2=sin2x+cos2x-
2sinxcosx,sinxcosx=,且-≤t≤.
∴y=-+t+=-(t-1)2+1.
当t=1时,ymax=1;当t=-时,ymin=--.
∴函数的值域为.
答案
(1)
(2)
题型二三角函数的奇偶性、周期性、对称性
【例2】
(1)已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )
A.B.
C.D.
(2)函数y=2cos2-1是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
【提分秘籍】
(1)求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x;求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)即可.
(2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos( ωx+φ)的形式,则最小正周期为T=;奇偶性的判断关键是解析式是否为y=Asinωx或y=Acosωx+b的形式.
【举一反三】
(1)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( )
A.B.C.D.
(2)(2014·杭州模拟)若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=( )
A.B.C.D.
题型三三角函数的单调性
【例3】
(1)已知f(x)=sin,x∈[0,π],则f(x)的单调递增区间为________.
(2)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.B.
C.D.(0,2]
解析
(1)由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.又x∈[0,π],
所以f(x)的单调递增区间为.
(2)由<x<π得ω+<ωx+<πω+,
由题意知⊆,
∴∴≤ω≤,故选A.
答案
(1)
(2)A
【提分秘籍】
(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数.
(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
【举一反三】
(1)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω等于( )
A.B.C.2D.3
(2)函数f(x)=sin的单调减区间为______.
(2)由已知函数为y=-sin,欲求函数的单调减区间,
只需求y=sin的单调增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所给函数的单调减区间为(k∈Z).
答案
(1)B
(2)(k∈Z)
【高考风向标】
【2015高考浙江,文11】函数的最小正周期是,最小值是.
【答案】
【解析】
,所以;.
【2015高考陕西,文14】如图,某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+Φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:
m)的最大值为____________.
【答案】8
【解析】由图像得,当时,求得,
当时,,故答案为8.
【2015高考湖南,文15】已知>0,在函数y=2sinx与y=2cosx的图像的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则=_____.
【答案】
【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为
距离最短的两个交点一定在同一个周期内,.
【2015高考天津,文14】已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为.
【答案】
【2015高考福建,文21】已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)将函数的图象向右平移个单位长度,再向下平移()个单位长度后得到函数的图象,且函数的最大值为2.
(ⅰ)求函数的解析式;
(ⅱ)证明:
存在无穷多个互不相同的正整数,使得.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(ⅰ);(ⅱ)详见解析.
【解析】(I)因为
.
所以函数的最小正周期.
(II)(i)将的图象向右平移个单位长度后得到的图象,再向下平移()个单位长度后得到的图象.
又已知函数的最大值为,所以,解得.
所以.
【2015高考重庆,文18】已知函数f(x)=sin2x-.
(Ⅰ)求f(x)的最小周期和最小值,
(Ⅱ)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图像.当x时,求g(x)的值域.
【答案】(Ⅰ)的最小正周期为,最小值为,(Ⅱ).
【解析】
(1)
因此的最小正周期为,最小值为.
(2)由条件可知:
.
当时,有,
从而的值域为,
那么的值域为.
故在区间上的值域是.
(2014·安徽卷)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,△ABC的面积为.求cosA与a的值.
【解析】由三角形面积公式,得
×3×1·sinA=,故sinA=.
因为sin2A+cos2A=1,
所以cosA=±=±=±.
①当cosA=时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×1×3×=8,
所以a=2.
②当cosA=-时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×1×3×=12,所以a=2.
(2014·福建卷)将函数y=sinx的图像向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图像,则下列说法正确的是( )
A.y=f(x)是奇函数
B.y=f(x)的周期为π
C.y=f(x)的图像关于直线x=对称
D.y=f(x)的图像关于点对称
【答案】D
【解析】将函数y=sinx的图像向左平移个单位后,得到函数y=f(x)=sin的图像,即f(x)=cosx.由余弦函数的图像与性质知,f(x)是偶函数,其最小正周期为2π,且图像关于直线x=kπ(k∈Z)对称,关于点(k∈Z)对称,故选D.
图12
(2014·江苏卷)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图像有一个横坐标为的交点,则φ的值是________.
【答案】
(2014·全国新课标卷Ⅰ]在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为( )
A.①②③B.①③④
C.②④D.①③
【答案】A
【解析】函数y=cos|2x|=cos2x,其最小正周期为π,①正确;将函数y=cosx的图像中位于x轴上方的图像不变,位于x轴下方的图像对称地翻转至x轴上方,即可得到y=|cosx|的图像,所以其最小天正周期也为π,②正确;函数y=cos的最小正周期为π,③正确;函数y=tan的最小正周期为,④不正确.
(2013·江苏卷)函数y=3sin的最小正周期为________.
【答案】π 【解析】周期为T==π.
(2013·辽宁卷)设向量a=(sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈0,.
(1)若|a|=|b|,求x的值;
(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.
(2013·山东卷)函数y=xcosx+sinx的图像大致为( )
图1-3
【答案】D
【解析】∵f(-x)=-xcos(-x)+sin(-x)=-(xcosx+sinx)=-f(x),∴y=xcosx+sinx为奇函数,图像关于原点对称,排除选项B,当x=,y=1>0,x=π,y=-π<0,故选D.
(2013·新课标全国卷Ⅰ]设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=________.
【答案】-
【解析】f(x)=sinx-2cosx=
,令cosα=,sinα=,
则f(x)=sin(x-α).当θ-α=2kπ+,
即θ=2kπ++α(上述k为整数)时,
f(x)取得最大值,此时cosθ=-sinα=-.
【高考押题】
1.函数f(x)=tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
2.在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为( )
A.①②③B.①③④
C.②④D.①③
解析 ①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为π;
②由图象知y=|cosx|的最小正周期为π;
③y=cos的最小正周期T==π;
④y=tan的最小正周期T=,因此选A.
答案 A
3.已知函数f(x)=cos23x-,则f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于(
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