探索型问题的解法和分类Word文档格式.docx
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(3)
(1)是三种位置关系中的临界位置
说明:
在解有关判定直线与圆的位置这类问题时,一般应先求出
这一直线与圆位置相切时应满足的条件,然后再辅以图形运动,
分别考察相离,相交的条件。
解:
(1)连MC,MC=,
过M作MD丄AB于D,aRtAADMsRtAAOB,
••>
,…DM=(6-m)
若OM与AB相切,CM=DM,
(6-m)
m2+3m-4=0
m=-4或m=1,经检均是,
vm<
6,二m=1或m=-4时,直线AB与OM相切。
(2)当m=0时,MC=2,MD二,MD>
MC,AB与OM相离,
当m=3时,MC二,MD二,二MDvMC,AB与OM相交。
(3)由
(1),
(2)知,当-4<
m<
1时M与直线AB相离,
当1<
6时或m<
-4时,OM与AB相交。
判断探索性的问题:
是指几何图形的形状,大小的判定,图形与图形的位置关系判定,方程(组)解的判定等一类问题。
例2.已知a,b,c分别是△ABC的/A,ZB,/C的对边(a>
b),二次函数y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2的图象,顶点在x轴上,且sinA,sinB是关于x的方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0的两个根。
(1)判断△ABC的形状,并说明理由。
(2)求m的值
(3)若这个三角形的外接圆面积为25n,求△ABC的内接正方形(四个顶点都在三角形三边上)的边长。
(1)顶点在x轴上,判别式△=0,可得a,b,c的关系,从而得到三角形的形状;
(2)再利用同角的关系得m;
(3)需分类来求。
(1)由已知二次函数化简,整理得:
y=x2-2(a+b)x+c2+2ab
顶点在x轴上,所以:
=0,
整理得:
a2+b2=c2,二△ABC是RtA.
(2)v△ABC为Rt△,/C=90°
•••/A+ZB=90°
sinB=cosA,
sinA,cosA为已知方程的两根,
又tsin2A+cos2A=1
(sinA+cosA)2-2sinAcosA=1,
•••()2-=1
m2-24m+80=0
•••m仁20或m2=4,经检验是原方程的根。
,
但:
当m=20时,sinA+cosA>
0,sin&
cosA>
当m=4时,sinA+cosA>
0,sinacosA<
0,舍去,
•m=20.
(3)解:
外接圆的面积为25n,•R=5,则斜边c=10,
m=20时,原方程变为25x2-35x+12=0
x1=,x2=,
所以;
a=8,b=6,设正方形边长为x。
图①。
图②CH二,,
=,x=.
例3.如图,已知△ABC是等腰直角三角形,/C=90°
(1)操作并观察,如图,将三角板的45°
角的顶点与点C重合,使这个角落在/ACB的内部,两边分别与斜边AB交于E、F两点,然后将这个角绕着点C在/ACB的内部旋转,观察在点E、F的位置发生变化时,AE、EFFB中最长线段是否始终是EF?
写出观察结果
(2)探索:
AE、EFFB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形(即能否有EF2二AE2+BF)?
如果能,试加以证明。
操作、观察不是重点,探索、猜测才是整个题目的重点,是难点,也就是说,从操作中获取信息是探索问题的过程中最重要的。
(1)中只须旋转/ECF中用刻度尺量一量或观察,即可得到。
(2)要判断EF2二AE2+EF2思路是把AEEFFB搬到一个三角形中,通常用平移、翻折、旋转等方法,此题目用翻折的方法,出现和线段AE、BF相等的线段,并且和EF在一个三角形中。
(1)观察结果是:
当45°
角的顶点与点C重合,并将这个角绕着点C在重合,并将这个角绕着点C在/ACB内部旋转时,AE、EFFB中最长的线段始终是EF。
(2)AE、EFFB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形,证明如下:
如图在/ECF勺内部作/ECG2ACE
使CG=AC连结EG,FG,
•••△ACE^AGCE
•••/A=Z1,同理/B=Z2,
v/A+ZB=90°
「./1+Z2=90°
•ZEGF=90,EF为斜边。
例4.(北京朝阳区,最后一题)如图,一个圆形街心花园,有
三个出口A,B,C,每两个出口之间有一条60米长的道路,组成正三角形ABC,在中心点0处有一亭子,为使亭子与原有的道路相通,需再修三条小路OD,OE,OF,使另一出口D、E、F分别落在△ABC分成三个全等的多边形,以备种植不同品种的花草。
(1)请你按以上要求设计两种不同的方案,将你的设计方案分
别画在图1,图2中,并附简单说明。
(2)要使三条小路把△ABC分成三个全等的等腰梯形,应怎样设计?
请把方案画在图3中,并求此时三条小路的总长。
(3)请你探究出一种一般方法,使得出口D不论在什么位置,
都能准确地找到另外两个出口E、F的位置,请写明这个方法。
(4)你在(3)中探究出的一般方法适用于正五边形吗?
请结合
图5予以说明,这种方法能推广到正n边形吗?
(1)方案1:
D,E,F与A,B,C重合,连OD,OE,OF,
方案2:
OD,OE,OF分别垂直于AB,BC,AC
(2)OD//AC,OE//AB,OF//BC如图(3)
作OM丄BC于M,连OB,
v△ABC是等边△,BM=BC=3Q且/OBM=30°
•••OM=1Q,
vOE///OEM=60°
0E==2Q
又OE=OF=OD「.OE+OF+OD=3OE=60答:
略。
(3)如图(4)方法1:
在BC,CA,AB上分别截取BE=CF=AD连结OD,OE,OF
方法2:
在AB上任取一点D,连OD,逆时针旋转OD120°
两次,得E,F。
(4)设M1为A1A2上任一点,在各边上分别取
A2M2=A3M3=A4M4=A5M5=A1M1,连OM1……OM5即可,二可推广到正n边形。
例5.某房地产公司要在一块地(图中矩形ABCD)上规划建造一个小区公园(矩形GHCK,为了使文物保护区△AEF不被破坏,矩形公园的顶点G不能在文物保护区内,已知AB=200m,AD=160m,AE=60m,AF=40m
(1)求矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时,公园的面积。
(2)当G在EF上什么位置时,公园面积最大?
第一问比较容易,求出矩形GHCK勺长和宽,注意利用△AEF的条件。
第二问是个探索性的问题,求面积的最大值,常用的办法是将面积表示成长(或者宽)的函数。
延长HG交AD于H1,延长KG交AB于K1,
vABCD与GHCK都是矩形,
•••GH//AB,KG//AD,
(1)当顶点G恰在EF的中点时,
vH1G//AE,K1G//AF,
•H1G=AE=30K1G=AF=20
•GH=HH1-H1G=200-30=170
KG=KK1-K1G=160-20=140
故公园的面积为GHXKG=170X140=23800(m2).
(2)设H1G=x(m),H1A=y(m)
v△FH1G^AFAE
•,即,
•y=40-x,
•公园面积为S=(200-x)(160-40+x)
=-x2+x+24000
=-(x2-20x-36000)
=-(x2-20x+100-36100)
=-(x-10)2+
•当x=10时,Smax=,
即G在EF上,且到AD的距离为10m时公园面积最大。
对于探索某一个量最大、最小的问题,利用函数思想是首选的方法,可以设置适当的变量,所求的量用它来表示,从而用函数的最大最小来求。
例6.某校的教室A位于工地0的正西方向,且OA=200米,一部拖拉机从0点出发,以每秒5米的速度沿北偏西53°
方向行驶,设拖拉机的噪声污染半径为130米,试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内?
若不在,请说明理由;
若在,求出教室A受污染的时间
有几秒?
(已知:
sin53°
〜0.80,sin37°
〜0.60,tan37°
〜0.75)(福州)
过A作AD丄OM,
AD=200-sin37°
〜200X=120(米)
vAD=120<
130米,
二教室A在拖拉机的噪声污染范围内,设当拖拉机到达点C时,教室A受污染,即AC=130.
在RtAADC中,DC==50(米)
从C到D所用时间t=50-5=10秒,
在经过这样一段时间A才能脱离污染,共20秒。
这种问题在近几年各地的中考题目中出现较多。
要求:
1、要能准确画出辅助方位图;
2、完成从实际问题到几何模型的转化,转成解直角三角形的问题。
例7.如图的曲线表示一辆自行车离家的距离与时间的关系,骑车者九点离开家,十五点回家,根据这个曲线图,请你回答下列问题。
(1)到达离家最远的地方是什么时间?
(2)何时开始第一次休息?
休息多长时间?
(3)第一次休息时,离家多远?
(4)11:
00到12:
00,他骑了多少千米?
(5)他在9:
00〜10:
00和10:
30的平均速度各是多少?
(6)他在何时至何时停止前进并休息用午餐?
(7)他在停止前进后返回,骑了多少千米?
(8)返回时的平均速度是多少?
(9)11:
30和13:
30时,分别离家多远。
(10)何时距离家22千米?
这个曲线图,与课本上函数图象的不同点在于横轴表示的时间不是从0开始的,而是从9开始,横、纵轴上的数值代表着截然不同的实际含意。
(1)12点,30千米
(2)10点半,半小时
(3)离家17千米
(4)11:
00到12:
00,他骑了13千米
(5)9:
00的平均速度为10千米/时,10:
30的平均速度是14千米/时
(6)12点到13点
(7)返回骑了30千米
(8)2小时,15km/h.
(9)首先确定直线段DE所在直线的解析式,设其为:
S=kt+b,
将D(11,17),E(12,30代入
得到
•••S=13t-126当t=11.5时,S=23.5(km)
同理:
确定FG所在的直线,设为L=mt+n将F(13,30)、G(15,
0)代入
得到:
••L=-15t+225
当t=13.5时,L=22.5km
(10)DE所在直线:
S=13t-126,代入S=13t-126=22,得到t〜
11.4,就是11点24分距离家22千米
另外:
13点到15点的时速为15km/h,从F点到22km处走了8千米,故需小时(即32分钟)故13点32分距离家也是22千米。
例8.有一批货,如果月初售出,可获利1000元,并可得本利和再去投资,到月末获利1.5%;
如果月末售出这批货,可获利1200元,但要付50元保管费,请问这批货在月初还是月末售出好?
设这批货成本为a元,月初出售到月末可获利润
P1二1000+(a+1000X1.5%=0.015a+1015
月末出售可获利润P2=1200-50=1150元
P1-P2=0.015(a-9000)
故为a>
9000时,月初出售好;
当a=9000时,月初,月末出售相同;
当a<
9000时,月末出售好。
例9.某水库的闸板如图所示,它的形状是由一个半圆和一个矩形组合而成,为了周围封得好,周长应尽可能小,但为了使水的流量越大越好,希望面积尽可能地大,问当周长一定时半圆半径r和矩形
高度h应怎样取才好呢?
在周长一定的条件下,面积的大小即与r有关又与h有关,即S是r和h的函数,在含两个自变量的函数关系式中,通常由一个变量表示另一个,转化为含一个的再求最值。
设周长为P,面积为S,则有
由
(1)得:
h=(3)
将⑶代入
(2)得:
S=pr2+2r・,
S=(-p-2)r2+Pr
当r=时,
S最大=,
此时h==,
当r=h=时,闸板面积最大。
利用函数关系式求最值问题,在生活实际中有着广泛的应用,诸如周长最小,面积最大材料最省,效益最好等等,往往可以通过建立适当的函数关系式,通过求函数的最值来解决。
初三第一轮复习
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