江苏专用高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第22课同角三角函数的基本关系及诱导公式教师用书.docx
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江苏专用高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第22课同角三角函数的基本关系及诱导公式教师用书
第22课同角三角函数的基本关系及诱导公式
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
同角三角函数的基本关系
√
三角函数的诱导公式
√
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系
sin2α+cos2α=1;
(2)商数关系
tanα=.
2.诱导公式
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cos_α
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cos_α
sinα
-sinα
正切
tanα
tanα
-tanα
-tan_α
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变符号看象限
记忆规律
奇变偶不变,符号看象限
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( )
(2)若α∈R,则tanα=恒成立.( )
(3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.( )
(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍、偶数倍,变与不变指函数名称是否变化.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.(教材改编)已知α是第二象限角,sinα=,则cosα等于________.
- [∵sinα=,α是第二象限角,
∴cosα=-=-.]
3.若tanα=,则sin4α-cos4α的值为________.
- [sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)(sin2α+cos2α)===-.]
4.(2016·四川高考)sin750°=________.
[sin750°=sin(750°-360°×2)=sin30°=.]
5.已知sin=,α∈,则sin(π+α)=________.
- [因为sin=cosα=,α∈,所以sinα==,所以sin(π+α)=-sinα=-.]
同角三角函数基本关系式的应用
(1)已知sinαcosα=,且<α<,则cosα-sinα的值为________.
(2)(2016·全国卷Ⅲ改编)若tanα=,则cos2α+2sin2α=________.
(1)
(2) [
(1)∵<α<,
∴cosα<0,sinα<0且cosα>sinα,
∴cosα-sinα>0.
又(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×=,
∴cosα-sinα=.
(2)∵tanα=,则cos2α+2sin2α====.]
[规律方法] 1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可以实现角α的弦切互化.
2.应用公式时要注意方程思想的应用:
对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.
3.注意公式逆用及变形应用:
1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
[变式训练1]
(1)已知sinα-cosα=,α∈(0,π),则tanα等于________.
-1 [由
消去sinα得:
2cos2α+2cosα+1=0,
即(cosα+1)2=0,
∴cosα=-.
又α∈(0,π),∴α=,
∴tanα=tan=-1.]
(2)设θ为第二象限角,若tan=,则sinθ+cosθ=________.
- [∵tan=,∴=,解得tanθ=-.
∴(sinθ+cosθ)2=
===.
∵θ为第二象限角,tanθ=-,
∴2kπ+<θ<2kπ+π,∴sinθ+cosθ<0,
∴sinθ+cosθ=-.]
诱导公式的应用
(1)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是________.
(2)(2017·南通一模)已知sin=,则sin+sin2的值是________.
(1){-2,2}
(2) [
(1)当k为偶数时,A=+=2;
k为奇数时,A=-=-2.
(2)sin+sin2=sin+sin2=-sin+1-sin2=.]
[规律方法] 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系,尤其是角之间的互余、互补关系,选择恰当的公式,向所求角和三角函数进行化归.
2.诱导公式的应用原则:
负化正、大化小、小化锐、锐求值.
[变式训练2] 已知cos=,则cos-sin2的值为- [∵cos=cos
=-cos=-,
sin2=sin2=sin2
=1-cos2=1-2=,
∴cos-sin2=--=-.]
同角关系式与诱导公式的综合应用
(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=________.
(2)(2017·南京模拟)已知cos=2sin,则的值为________.
(1)-
(2) [
(1)由题意知sin=,θ是第四象限角,所以cos>0,所以cos==.
tan=tan=-
=-=-=-.
(2)∵cos=2sin,
∴-sinα=-2cosα,则sinα=2cosα,
代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=.
=
==cos2α-=.]
[规律方法] 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求:
(1)基本思路:
①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成单角三角函数;③整理得最简形式.
(2)化简要求:
①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
[变式训练3] 已知sinα=,α是第二象限角,则tan(π-α)=________.
[∵sinα=,α是第二象限角,
∴cosα=-,
∴tanα=-,故tan(π-α)=-tanα=.]
[思想与方法]
三角函数求值与化简的常用方法
(1)弦切互化法:
主要利用公式tanα=进行弦、切互化.
(2)和积转换法:
利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化.
(3)巧用“1”的变换:
1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan等.
(4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤.
[易错与防范]
1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:
去负—脱周—化锐.应特别注意函数名称和符号的确定.
2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
课时分层训练(二十二)
A组 基础达标
(建议用时:
30分钟)
一、填空题
1.若cosα=,α∈,则tanα等于________.
-2 [∵α∈,
∴sinα=-=-=-,
∴tanα==-2.]
2.已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,则θ等于________.
[∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ),
∴-sinθ=-cosθ,∴tanθ=.∵|θ|<,∴θ=.]
3.(2017·苏州期中)已知sinα=,且α∈,则tanα=________.
- [∵α∈,sinα=,∴cosα=-=-.
∴tanα==-.]
4.若sin=,则cos=________.
[cos=cos
=sin=.]
5.已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=,则tanα=________.
- [由
消去cosα整理,得
25sin2α-5sinα-12=0,
解得sinα=或sinα=-.
因为α是三角形的内角,
所以sinα=.
又由sinα+cosα=,得cosα=-,
所以tanα=-.]
6.已知α为第二象限角,则cosα+sinα·=________.
0 [原式=cosα+sinα
=cosα+sinα
=cosα+sinα
=0.]
7.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=________.
44.5 [因为sin(90°-α)=cosα,所以当α+β=90°时,sin2α+sin2β=sin2α+cos2α=1,
设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°,
则S=sin289°+sin288°+sin287°+…+sin21°
两个式子相加得2S=1+1+1+…+1=89,S=44.5.]
8.(2017·苏北四市调研)=________.
[原式==
=
=.]
9.已知sinθ+cosθ=,则sinθ-cosθ的值为________.
- [∵sinθ+cosθ=,
∴1+2sinθcosθ=,
∴2sinθcosθ=.又0<θ<,
故sinθ-cosθ=-=
-=-.]
10.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线2x-y=0上,则=________.
2 [由题意可得tanθ=2,
原式===2.]
二、解答题
11.求值:
sin(-1200°)·cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)+tan945°.
[解] 原式=-sin1200°·cos1290°+cos1020°·(-sin1050°)+tan945°
=-sin120°·cos210°+cos300°·(-sin330°)+tan225°
=(-sin60°)·(-cos30°)+cos60°·sin30°+tan45°
=×+×+1=2.
12.已知sin(3π+α)=2sin,求下列各式的值:
(1);
(2)sin2α+sin2α.
[解] 由已知得sinα=2cosα.
(1)原式==-.
(2)原式=
==.
B组 能力提升
(建议用时:
15分钟)
1.已知tanx=sin,则sinx=________.
[因为tanx=sin,所以tanx=cosx,所以sinx=cos2x,sin2x+sinx-1=0,解得sinx=,
因为-1≤sinx≤1,所以sinx=.]
2.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx,当0≤x<π时,f(x)=0,则f=________.
[由f(x+π)=f(x)+sinx,得
f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)
=f(x)+sinx-sinx=f(x),
所以f=f
=f=f
=f+sinπ.
因为当0≤x<π时,f(x)=0,
所以f=0+=.]
3.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限角,且cos=,求f(α)的值.
[解]
(1)f(α)=
=
=-cosα.
(2)∵cos=-sinα=,
∴sinα=-,
又α是第三象限角,∴cosα=-=-,
故f(α)=.
4.已知f(x)=(n∈Z).
(1)化简f(x)的表达式;
(2)求f+f的值.
[解]
(1)当n为偶数,即n=2k(k∈Z)时,
f
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