等差数列的前n项和教案.docx
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等差数列的前n项和教案
等差数列的前n项和教案
教学设计
2.2.2等差数列的前n项和
整体设计
教学分析
本节等差数列求和共分2课时,第1课时是在学习了等差数列的概念和性质的基础上,使学生掌握等差数列求和公式,并能利用它解决数列求和的有关问题.等差数列求和公式的推导,是由计算工厂堆放的钢管数这一实例引入的,采用了倒序相加法,思路的获得得益于等差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现,通过对等差数列求和公式的推导,使学生能掌握“倒序相加”这一重要数学方法.
第2课时的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式,进一步了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题.通过本节课的教学使学生对等差数列的前n项和公式的认识更为深刻,并进一步感受数列与函数、数列与不等式等方面的联系,促进学生对本节内容认知结构的形成.通过探究一些特殊数列求和问题的思路和方法,体会数学思想方法的运用.
在本节教学中,应让学生融入问题情境中,经历知识的形成和发展,通过观察、活动、探索、交流、反思,来认识和理解等差数列的求和内容.在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆猜想,学会探究.在教法上,遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性,让学生经历知识的形成和发展过程,激发他们的学习兴趣,发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析问题的能力和积极思维、追求新颖的创新意识.
三维目标
1.通过经历等差数列求和公式的发现、探究过程,掌握等差数列前n项和公式的推导及应用,会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值.
2.学会常用的数学方法和体现出的数学思想,促进学生的思维水平的发展.通过例题及其变式例题的训练,进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
3.通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学来源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并用数学知识解决问题.
重点难点
教学重点:
掌握等差数列的前n项和公式;会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题,能用多种方法解决数列求和问题.
教学难点:
对等差数列求和公式的深刻理解及其灵活应用.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(情境导入)我们在日常生活中常常遇到这样的事情:
(可利用多媒体课件或幻灯片)有一堆钢管放置如图1,请你帮助管理人员算一算一共有钢管多少根?
求图2共有多少朵花?
当然一根根地数钢管或一朵朵地数小花能算出来,但有没有更好的方法呢?
若让你求出第100层的钢管数或让你求出第100个圆圈上的小花数,那么你怎样求呢?
这实际上就是等差数列的求和问题,由此展开新课.
图1
图2
思路2.(事例导入)关于“加薪的学问”有一报道如下:
在美国广为流传的一道数学题目是:
老板给你两个加工资的方案,一是每年年末加1000元;二是每半年结束时加300元.请选一种,一般不擅长数学的,很容易选择前者.因为一年加1000元总比两个半年共加600元要多.其实,由于加工资是累计的,时间稍长,往往第二种方案更有利.例如,在第二年的年末,依第一种方案可以加得1000+2000=3000(元);而第二种方案在第一年加得(300+600)元,第二年加得900+1200=2100(元),总数也是3000元.但到第三年,第一种方案可得1000+2000+3000=6000(元),第二种方案则为300+600+900+1200+1500+1800=6300(元),比第一种方案多了300元.第四年、第五年会更多.因此,你若在该公司干三年以上,则应选择第二种方案.
以上材料的正确解答恰是我们要研究的数列求和问题,由此导入新课.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)教师出示幻灯投影1.
印度泰姬陵(TajMahal)是世界七大建筑奇迹之一,所在地是阿格拉市.泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作,这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格,是印度伊斯兰教文化的象征.
陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(如下图),奢华之程度,可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗?
(该问题赋予了课堂人文历史的气息,缩短了数学与现实之间的距离,引领学生步入探讨高斯算法的阶段)
(2)教师出示幻灯投影2.
高斯是伟大的数学家、天文学家.高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:
“现在给大家出道题目:
1+2+…100=?
”
过了两分钟,正当大家在:
1+2=3;3+3=6;4+6=10;…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说:
“1+2+3+…+100=5050.”
你知道高斯是如何算出答案的吗?
(3)根据问题
(1)
(2)你能探究出等差数列的求和公式吗?
(4)等差数列的前n项和公式有什么结构特征?
(5)怎样运用这两个公式解决数列求和问题?
活动:
教师引导学生探究以上两个著名的历史问题,一方面展示了历史文化奇迹,如问题
(1),另一方面切身感受一下历史名人的成长足迹,激发学生的探究兴趣.高斯是18世纪德国著名的数学家,被称为历史上最伟大的三位数学家之一,他与阿基米德、牛顿齐名,是数学史上一颗光芒四射的巨星.10岁的小高斯能迅速写出1+2+3+…+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101×50=5050,将加法问题转化为乘法运算,迅速准确地得到了结果,的确思维非凡.可见作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,因此能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.今天我们重温这段历史,是想让学生从中感悟学习的真谛,站在巨人的肩膀上去学习,实际上,高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是:
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,有50个101,所以1+2+3+…+100=50×101=5050.高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.
高斯的这种算法,就是等差数列求和的方法,也就是我们将要探究的等差数列的前n项和问题.
现在,我们再来探究前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案,在图中我们取下第1层到第21层,得到下图,则下图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢?
这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题,高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.
高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和,适用于偶数个项,我们是否有简单的方法来解决这个问题呢?
我们发现用几何的方法,将这个全等三角形倒置,与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个,共21行.则三角形中的宝石个数就是1+21×212.
这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和,很有创意,用数学式子表示就是:
1+2+3+…+21,
21+20+19+…+1,
这就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.
探究了以上两个实际问题的求和,学生对数学求和问题有了一定的认识,比较以上两种探究过程学生自然会思考能否把“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢?
这种类比的联想就是思维智慧的闪现.为了降低难度,教师可先与学生一起探究1+2+3+…+n的问题,得到如下算式:
1+2+3+…+n-1+n
n+n-1+n-2+…+2+1
(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)
可知1+2+3+…+n=n+1×n2.
再进一步探究,等差数列{an}的前n项和的问题,让学生明白Sn就表示{an}的前n项和,即Sn=a1+a2+a3+…+an,根据倒序相加法可得如下算式:
Sn=a1+a2+a3+…+an,
Sn=an+an-1+an-2+…+a1,
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
根据上节课等差数列的性质有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1.
所以,2Sn=n(a1+an).由此可得等差数列{an}的前n项和公式:
Sn=na1+an2
这就是说,等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.
将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d代入上式,可得等差数列{an}前n项和的另一公式:
Sn=na1+nn-12d
以上两种推导过程都很精彩,一是用的“倒序相加法”,二是用的基本量来转化为用我们前面求得的结论,并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.
从以上探究我们可以看出这两个公式是可以转化的,从结构特征看,前一个公式反映了等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质;后一个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系,而且是关于n的“二次函数”,可以与二次函数进行比较.两个公式从不同角度反映了数列的性质.两个公式的共同点是需要知道a1和n,不同点是前者还需知an,后者还需要知道d.
从方程角度看两公式共涉及5个元素:
a1,d,n,an,Sn,教师要点拨学生注意这5个元素,其中a1,d称为基本元素.因为等差数列的首项a1,公差d已知,则此数列完全确定,因此等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a1和d的问题,这往往要根据已知条件列出关于a1,d的方程组,再解这个方程组求出a1,d.
讨论结果:
(1)~(3)略.
(4)前一个公式的结构特征是可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比,上底就是等差数列的首项a1,下底是第n项an,高是项数n;后一个公式是二次函数的形式.
(5)运用这两个公式解题时要让学生明确解方程或方程组的思路.
应用示例
例1计算:
(1)1+2+3+…+n;
(2)1+3+5+…+(2n-1);
(3)2+4+6+…+2n;
(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.
活动:
对于刚学完公式的学生来讲,直接解答课本上的例1跨度太大.因此先补充了这样一个直接运用公式的题目.目的是让学生迅速熟悉公式,用基本量观点认识公式,教学时可让学生自己去解答完成,只是对(4)需做必要的点拨:
本小题数列共有几项?
是否为等差数列?
能否直接运用Sn公式求解?
若不能,应如何解答?
引导学生观察,本小题中的数列共有2n项,不是等差数列,但把正项和负项分开,可看成两个等差数列,所以原式=1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.有的学生可能观察得很快,本小题虽然不是等差数列,但有一个规律,两项结合都为-1,故可得另一解法:
原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.
解:
(1)1+2+3+…+n=nn+12;
(2)1+3+5+…+(2n-1)=n1+2n-12=n2;
(3)2+4+6+…+2n=n2n+22=n(n+1);
(4)原式=-n.
点评:
本例前3小题直接利用等差数列求和公式,对于(4)小题给我们以启示:
在解题时我们应仔细观察,寻找规律,往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时,要看清等差数列的项数,否则会引起错解.
变式训练
已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10等于()
A.138B.135C.95D.23
答案:
C
解析:
由a2+a4=4,a3+a5=10,可解得d=3,a1=-4,∴a10=a1+9d=23,
∴S10=a1+a102×10=95.
例2(教材本节例2)
活动:
通过本例介绍由求和公式求通项公式的方法,分析求和公式与二次函数的联系.并结合边注引导学生探
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- 等差数列 教案