上海市宝山区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案).doc
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2019届宝山区高三年级一模数学试卷(教师版)2018.12
一、填空题(本题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分.
1、函数的最小正周期为_____【答案】
【解析】最小正周期
2、集合,集合,则____【答案】
【解析】
3、若复数满足(是虚数单位),则____【答案】
【解析】
4、方程的根为__________【答案】
【解析】
5、从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务,若每个班级至少有一名代表,则各班级的代表数有种不同的选法。
(用数字作答)【答案】20
【解析】分类讨论:
或直接隔板法:
6、关于的二元一次方程的增广矩阵为,则____【答案】
【解析】
7、如果无穷等比数列所有奇数项的和等于所有项和的3倍,则公比____【答案】
【解析】
8、函数与的图像关于直线对称,则__________【答案】
【解析】设点在的图像上,则关于直线对称的点在的图像上,得到
9、已知,且,,则____【答案】或
【解析】或,则或
10、将函数的图像绕着轴旋转一周所得的几何容器的容积是______【答案】
【解析】将函数图像(此为下半圆)旋转一周得到半球体,体积
11、张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清,只能看到:
在中,分别是角的对边,已知,求边,显然缺少条件,若他打算补充的大小,并使得只有一解,的可能取值是(只需填写一个适合的答案)【答案】
【解析】正弦定理,
或数形结合也行
12、如果等差数列,的公差都为,若满足对于任意,都有,其中为常数,,则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列中,首项,公差,数列为数列的“同宗”数列,若,则【答案】2
【解析】由题知,又为的“同宗”数列,所以,则.
所以
所以
当时,
,故不满足;
当时,
,故满足;
当时,
,故也不满足;
……
则当时,
若,即
则设,由
所以是递减数列,所以仅有,
故仅2时,有.
【点评】本题得出答案2,还是相对容易的,若想要验证仅满足,需要构造数列判断其单调性去验证,整体难度不高.
二、选择题(本题满分20分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
13、若等式对一切都成立,其中为实常数,则()(A)2 (B)-1(C)4 (D)1【答案】D
【解析】(赋值法)令时,,故选D.
14、“”是“”的()条件
(A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D)既非充分又非必要【答案】B
【解析】由的定义域为,所以成立的条件为,
故选B.
15、关于函数的下列判断,其中正确的是()【答案】A
(A)函数的图像是轴对称图形 (B)函数的图像是中心对称图形
(C)函数有最大值 (D)当时,是减函数
【解析】由,且定义域为,知故选择A.
16.设点M、N均在双曲线上运动,是双曲线C的左、右焦点,的最小值为()(A)(B)4 (C) (D)以上都不对
【答案】B【解析】由为的中点,则
由双曲线的性质知,所以的最小值为4.
三、解答题(本题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.
17、(满分14分)本题有2小题,第1小题6分,第2小题8分,
如图,在四棱锥中,平面ABCD,正方形ABCD的边长为2,P4=4,设E为侧棱PC的中点..
(1)求正四棱锥E-ABCD的体积V;
(2)求直线BE与平面PCD所成角的大小.
【解析】
(1)由E为侧棱PC的中点.由E为侧棱PC的中点,则正四棱锥E-ABCD的体积
.
(2)以点A为坐标原点,如图建系.则,,,,则
所以,,.设平面PCD的法向量为.
则,得,不妨.
所以.
所以直线BE与平面PCD所成角的大小为.
18.(满分14分)本题有2小题,第1小题7分,第2小题7分.
已知函数,将的图像向左移个单位的函数的图像.
(1)若,求的单调递增区间;
(2)若,的一条对称轴,求,的值域.
【解析】
(1),,
若,则,,
得,即的单调递增区间为;
(2)∵的一条对称轴,∴,从而,
得,∵,∴,于是,
∵,∴,∴,
∴.
19.(满分14分)本题有2小题,第1小题6分,第2小题8分.
某温室大棚规定:
一天中,从中午12点到第二天上午8点为保温时段,其余4小时为工人作业时段.从中午12点连续测量20小时,得出此温室大棚的温度(单位:
度)与时间(单位:
小时,)近似地满足函数关系,其中,为大棚内一天中保温时段的通风量.
(1)若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变,求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.1℃);
(2)若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17℃,求大棚一天中保温时段通风量的最小值.
【解析】
(1),
①时,,此时函数单调递减,当时,,
②时,,
令,,则,此时函数单调递增,,
综上,最低温度为℃;
(2)即对恒成立,
①时,,得,
在单调递增,∴,
②时,,得,
∴,
综上,,∴大棚一天中保温时段通风量的最小值为256.
20.(满分16分)本题有3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分.
已知椭圆的左、右焦点为、.
(1)求以为焦点,原点为顶点的抛物线方程;
(2)若椭圆上点满足,求的纵坐标;
(3)设,若椭圆上存在两不同点满足,证明直线过定点,并求该定点的坐标.
【20题解析】
(1),抛物线方程为;
(2);
(3)设,,,
,得,
∵,∴,即,
,
,
,∵,∴.
∴,∴必过定点
【说明】如右图,根据对称性可知,若存在定点,则该定点必定落在轴上.
答案可考虑特殊情况,下图中轴时,计算直线与的交点,得到,
从而可秒出定点坐标为.
21.(满分18分)本题有3小题,第1小题4分,第2小题7分,第3小题7分.
如果数列对于任意,都有,其中为常数,则称数列是“间等差数列”,为“间公差”,若数列满足,,.
(1)求证:
数列是“间等差数列”,并求间公差;
(2)设为数列的前项和,若的最小值为,求实数的取值范围;
(3)类似地:
非常数列对于任意,都有,其中为常数,则称数列是“间等比数列”,为“间公比”.已如数列中,满足,,,试问数列是否为“间等比数列”,若是,求最大整数使得对于任意,都有;若不是,说明理由.
【解析】
(1)证明:
,,则,两式相减得:
,,故数列是“间等差数列”,其间公差;
(2)(I)()时:
,易得其最小值为时,最小值为;
(II)()时:
当时最小,其最小值为;
要使其最小值为,则,解之得:
;
(3);,两式相除得:
,故为“间等比数列”,其“间公比”,,,易求出其通项公式为:
;,则数列单调递减,那么奇数项,偶数项分别单调递减,故,要使得整个数列单调递减,则只需满足
,即:
,
解得:
,那么的最大整数为.
5
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