高考数学第二章 第八节.docx
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高考数学第二章第八节
第八节函数与方程
1.函数的零点
函数零点的概念
对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
方程的根与函数零点的关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点
函数零点的存在性定理
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,若f(a)·f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)内存在零点
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无
零点个数
0
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( )
(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.( )
(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )
(4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( )
(5)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)× (4)√ (5)√
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
m
-4
-6
-6
-4
n
6
可以判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是( )
A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1)
C.(-1,1)和(1,2)D.(-1,3)和(4,+∞)
解析:
选A 由表格可得二次函数f(x)的对称轴为x=,a>0.由f(-3)·f(-1)<0,f
(2)·f(4)<0,可得f(x)的零点所在区间为(-3,-1)和(2,4),即方程ax2+bx+c=0的两个根所在区间是(-3,-1)和(2,4).
3.函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2)B.(2,3)
C.和(3,4)D.(4,+∞)
解析:
选B 易知f(x)为增函数,由f
(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3->0,得f
(2)·f(3)<0,故函数f(x)的零点所在的大致区间为(2,3).
4.函数f(x)=x-x的零点个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
解析:
选B 函数f(x)=x-x的零点个数是方程x-x=0的解的个数,即方程x=x的解的个数,也就是函数y=x与y=x的图象的交点个数,在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示,可得交点个数为1.
5.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是________.
解析:
由题意知2a+b=0,即b=-2a.
令g(x)=bx2-ax=0,得x=0或x==-.
答案:
0,-
6.若函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是________.
解析:
当a=0时,函数f(x)=1在(-1,1)上没有零点,所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数,要满足题意,只需f(-1)f
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