分段线性插值函数的编程实现.docx
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分段线性插值函数的编程实现
1问题的提出
对在(-5,5)上进行分段线性插值,取不同节点个数,得到不同分段线性插值函数.
虽然MATLAB里有直接分段线性插值的函数,但为了对分段插值算法有更明确的理解,编写该程序是有必要的.
需要解决的问题:
1、由已知数据节点编写程序,实现分段线性插值函数,从而能由所编函数得到非节点的函数值.
2、比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差,从而得出节点数与插值效果的关系.
2理论基础
分段线性插值适用于计算简单、光滑性要求不高的插值问题,且其整体逼近的效果较好.
从几何意义上看,分段线性插值就是用折线近似代替曲线.
设在区间[a,b]上取n+1个点
函数在上述节点处的函数值为
于是得到n+1个点
连接相邻两点和,得一折线函数,若满足:
(1)在[a,b]上连续;
(2);
(3)在每个小区间上是线性函数,
则称折线函数为分段线性插值函数.
模型一:
由分段线性插值函数的定义可知,在每个小区间上可表为
.
是一分段函数,若用基函数表示,只需对令
显然,是分段的线性连续函数,且满足
于是
模型二:
首先确定间隔序列,使得:
第二个量是局部变量,其定义为:
最后一个量是一阶均差
则插值基函数可表示为
截断误差为:
若,令当时
从而
当时有即收敛于。
3编程过程
1、模型一:
用MATLAB分别建立m文件:
(1)原函数fd1.m
(2)分段线性插值函数fd2.m
(3)比较不同节点数所得分段线性插值函数的插值效果fd3.m
2、选取插值节点数为偶数
在MATLAB窗口中执行:
fd3n=2的数据见附录,图像如下:
n=8的图如下:
n=20的图
3、模型二:
用MATLAB分别建立m文件:
(1)分段插值函数fd22
(2)插值效果比较函数fd32(选取插值节点数为奇数)
源程序(参见附录).
在MATLAB窗口中执行:
fd32
得下图:
上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像,下图为误差图像:
3、由上所有的图可看出,由于原函数是偶函数,等距节点所得插值函数有很强对称性,下任取节点,
编写程序fd33.m,得图.
上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像,下图为误差图像:
4、比较不同节点所得插值函数与被插函数误差的平方和,程序模板为d1.m
得下图:
红星由fd32得奇数节点误差平方和,绿星加圈由fd3得偶数节点误差平方和,圈由f33得随机节点误差平方和,数据见附录.
4结果分析
1、不同插值节点数所得的分段线性插值函数,在节点处与原函数的函数值一定相同.
2、所得的分段线性插值函数在原函数斜率绝对值变化大的地方,与原函数的误差比较大.
3、由误差平方和e,插值节点个数越多,e有减小的趋势,最后趋于0.只考虑奇数或偶数个节点,则随节点数增加e严格减小.
4、随机生成的节点不如等距节点使插值效果好.
5结论
插值节点个数越多,分段线性插值函数与原函数误差平方和有减小趋势,插值效果越好.
参考文献
[1]李庆杨,王能超.数值分析.(第4版)[M].武汉:
华中科技大学出版社,2006:
13-24.
[2]肖筱南,赵来军.现代数值计算方法.[M].北京:
北京大学出版社,2003:
146-149.
[3]吴勃英,王德明.数值分析原理.[M].北京:
科学出版社,2003:
132-134.
[4]刘卫国编.MATLAB程序设计教程.[M].北京:
中国水利水电出版社,2001:
1-180.
[5]蔺小林,蒋耀林.现代数值分析.[M].北京:
国防工业出版社,2004:
184-186.
附录
程序如下:
%fd1.m线性插值原函数
functiony=fd1(x)
y=1./(1+x.^2);
%fd2.m分段线性插值函数
functionyi=fd2(x,y,xi)
n=length(x);
m=length(y);
ifn~=m
error('X和Y向量的长度必须相同');
return;
end
fork=1:
n-1
ifabs(x(k)-x(k+1)) error('数据有误'); return; end ifx(k)<=xi&xi<=x(k+1)%保证x(k) temp=x(k)-x(k+1); yi=(xi-x(k+1))/temp*y(k)+(xi-x(k))/(-temp)*y(k+1) return; end end %fd3.m比较插值效果 a=-5; b=5; n=input('请输入分端节点数: '); ifn<=0 error('你输入的数据有误! '); break; end h=(b-a)/(n-1);%求节点 x=a: h: b; y=fd1(x); xx=a: 0.1: b;%用分段线性插值函数求非节点函数值 yyi=fd1(xx); m1=length(xx); z=zeros(1,m1); fork1=1: m1 z(k1)=fd2(x,y,xx(k1)); end w=z-yyi;%计算误差 subplot(2,1,1);plot(x,y,'o',xx,yyi,'-',x,y,'k: ');%插值图像 xlabel('x'); ylabel('y'); title('原函数(实线)-插值函数(虚线)'); holdon subplot(2,1,2);plot(xx,w,'k: ');%误差的图像 xlabel('x'); ylabel('R(x)'); title('误差分析'); holdon xx=xx'; yyi=yyi'; z=z'; w=w'; %fd22.m分段线性插值函数 functionv=fd22(x,y,u) delta=diff(y)./diff(x); n=length(x); k=ones(size(u)); forj=2: n-1 k(x(j)<=u)=j; end s=u-x(k); v=y(k)+s.*delta(k); %fd32.m同时画不同节点的插值函数图像和误差图像 clear close t=[-5: 0.01: 5]; a=['k''g''r''c''m']; fori=1: 5 n=2*i+1; x=linspace(-5,5,n);%把区间[-55]分为(n-1)份,算插值节点 y=fd1(x); p=fd22(x,y,t);p=p';%计算以(x,y)为插值点的插值函数在t处的各个值 y1=fd1(t);y1=y1'; e=p-y1;%计算误差 subplot(2,1,1);plot(x,y,a(i));holdon;%画出插值函数图像及误差图像 subplot(2,1,2);plot(t,e,a(i));holdon; end subplot(2,1,1); legend('n=3','n=5','n=7','n=9','n=11') subplot(2,1,2); legend('n=3','n=5','n=7','n=9','n=11') subplot(2,1,1); fplot(@fd1,[-55],'k');%画出原函数图像 holdoff %fd33.m插值节点非等分区间获得 close t=[-5: 0.01: 5]; a=['k''g''r''c''m']; fori=1: 5 n=2*i+1; x=[-5rand(1,n-2)*10-55];%得(-5,5)上的n维随机向量 x=sort(x); y=fd1(x); p=fd22(x,y,t);p=p'; y1=fd1(t);y1=y1'; e=p-y1; subplot(2,1,1);plot(x,y,a(i));holdon; subplot(2,1,2);plot(t,e,a(i));holdon; end subplot(2,1,1); legend('n=3','n=5','n=7','n=9','n=11') subplot(2,1,2); legend('n=3','n=5','n=7','n=9','n=11') subplot(2,1,1); fplot(@fd1,[-55],'k'); holdoff %fd1.m比较不同节点数误差平方和 clear t=[-5: 0.01: 5];a=[];b=[]; fori=1: 10 n=2*i;%n=2*i+1则是奇数节点 x=linspace(-5,5,n) y=fd1(x); p=fd22(x,y,t); y1=fd1(t); e=p-y1; e=e*e'; a=[ae]; b=[bn]; end plot(b,a,'go') xlabel('n节点数') ylabel('e误差平方和') holdon n=2的数据: X Y YI(原函数) W -5.0000 0.0385 0.0385 0 -4.9000 0.0400 0.0577 -0.0177 -4.8000 0.0416 0.0769 -0.0353 -4.7000 0.0433 0.0962 -0.0528 -4.6000 0.0451 0.1154 -0.0703 -4.5000 0.0471 0.1346 -0.0876 -4.4000 0.0491 0.1538 -0.1047 -4.3000 0.0513 0.1731 -0.1218 -4.2000 0.0536 0.1923 -0.1387 -4.1000 0.0561 0.2115 -0.1554 -4.0000 0.0588 0.2308 -0.1719 -3.9000 0.0617 0.2500 -0.1883 -3.8000 0.0648 0.2692 -0.2045 -3.7000 0.0681 0.2885 -0.2204 -3.6000 0.0716 0.3077 -0.2361 -3.5000 0.0755 0.3269 -0.2515 -3.4000 0.0796 0.3462 -0.2665 -3.3000 0.0841 0.3654 -0.2813 -3.2000 0.0890 0.3846 -0.2956 -3.1000 0.0943 0.4038 -0.3096 -3.0000 0.1000 0.4231 -0.3231 -2.9000 0.1063 0.4423 -0.336 -2.8000 0.1131 0.4615 -0.3484 -2.7000 0.1206 0.4808 -0.3601 -2.6000 0.1289 0.5000 -0.3711 -2.5000 0.1379 0.5192 -0.3813 -2.4000 0.1479 0.5385 -0.3905 -2.3000 0.1590 0.5577 -0.3987 -2.2000 0.1712 0.5769 -0.4057 -2.1000 0.1848 0.596
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