数理统计茆诗松第二章自测题.docx
- 文档编号:2189728
- 上传时间:2022-10-27
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:262.46KB
数理统计茆诗松第二章自测题.docx
《数理统计茆诗松第二章自测题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数理统计茆诗松第二章自测题.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数理统计茆诗松第二章自测题
LELEwasfinallyrevisedonthemorningofDecember16,2020
数理统计茆诗松第二章自测题
《数理统计》第二章自测题
时间:
120分钟,卷面分值:
100分
一、填空题:
(每题2分,共10分)得分
1.设总体X服从参数为的泊松分布,X1,X2,…,Xn是取自X的随机样本,其均值和方差
分别为和,如果是的无偏估计,则a=。
2.设总体X的密度函数为,为来自该总体的一
个简单随机样本,则参数的矩估计量为。
3.已知,为未知参数的两个无偏估计,且与不相关,。
如果
也是的无偏估计,且是,的所有同类型线性组合中方差最小的,则
a=,b=。
4.设X是在一次随机试验中事件A发生的次数,进行了n次试验得一组样本X1,X2,…,Xn,
其中事件A发生了k次,则事件A发生的概率为p,的最大似然估计为;p(1-p)的矩估计为。
5.设总体均为未知参数,为来自总体X的一个样本,当用作为的估计时,最有效的是。
二、选择题:
(每题3分,共24分)得分
1.设总体X服从[a,b](a
(A)(B)
(C)(D)
2.设总体X的概率分布为
X
0123
P
P
其中(0<<1/2)是未知参数,从总体X中抽取容量为8的一组样本,其样本值为3,1,3,0,3,1,2,3,则参数的矩估计值为()。
(A)1/3;(B)1/4;(C)1/2;(D)1/8。
3.设和是总体参数的两个估计量,说比更有效,是指()。
(A);(B);
(C);(D)。
4.设是来自总体X的样本,D(X)=σ2,和,分别为样本均值和样本方差,则()。
(A)S是的无偏估计(B)S是的最大似然估计
(C)S是的相合估计(D)S与相互独立
5.设同时满足则下列结论正确的是
(A)(B)
(C)(D)A和C同时正确
6.设是来自总体X的样本,E(X)=μ,D(X)=σ2,则可以作为σ2的无偏估计量
的是()。
(A)当μ为已知时,;(B)当μ为已知时,;
(C)当μ为未知时,;(D)当μ为未知时,。
7.设是参数的无偏估计量,且,则|()是的无偏估计量。
(A)一定;(B)不一定;
(C)一定不;(D)可能。
8.设用普通的最小二乘方法去估计线性模型,E[X]=M,要使得参数估计为最好线性无偏估计需要满足()
(A)M列满秩,Var(X)=V(V对称的正定阵)(B)Var(X)=(I单位矩阵)
(C)M列满秩,Var(X)=(I单位矩阵)(D)(A)和(C)都对
三、判断题:
(每题分,共15分)得分
1.()设总体X~N(μ,σ2),μ,σ2均未知,X1,X2,…,Xn是来自X的样本,则
是σ2的UMVUE。
2.()未知参数的矩估计量和最大似然估计量都是无偏估计量。
3.()对C-R正则族,一致最小方差无偏估计一定是有效估计。
4.()用最大似然估计法求出的估计量是不唯一的。
5.()用矩估计法和最大似然估计法求出的估计量一定不同。
6.()未知参数的无偏估计为相合估计。
7.()费希尔信息量总是存在的。
8.()对C-R正则族,无偏估计的方差下界可以任意小。
9.()参数的一致最小方差无偏估计必然为完备充分统计量的函数。
10.()在贝叶斯统计中,对给定的总体,参数是随机的;参数估计由先验信息决定。
四、计算题(共51分)
1.(8分)设总体X的概率密度函数为其中参数>0未
知,设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,求的矩估计量,计算的方差,并讨论的无偏性。
得分
2.(12分)设总体X的概率密度为其中参数θ>0为未知,从总体中抽取样本X1,X2,…,Xn,其样本观察值为x1,x2,…,xn,
(1)求参数θ的最大似然估计;
(2)讨论是否具有无偏性;
(3)若不是θ的无偏估计量,修正它,并由此指出θ的一个无偏量估计*。
(4)讨论是否具有相合性;得分
3.(6分)一个人重复的向同一目标射击,设他每次击中目标的概率为p,射击直至命中目标为止。
此人进行了n(n≥1)轮这样的射击,各轮射击的次数分别为x1,x2,…,xn,试求命中率p的矩估计值和最大似然估计值。
得分
4.(11)设X1,X2,…,Xn是来自
试求参数的UMVUE,并判断是否为有效估计。
5.(8)设总体为均匀分布U(),的先验分布为均匀分布U(10,16),现有三个观测值:
,12.
(1)求的后验分布
(2)求贝叶斯估计以及方差。
6.(6)对线性模型,其中M为列满秩阵,I为单位矩阵,使用普通最小二乘方法计算参数的估计以及方差,并判断最小二乘估计是否是无偏的
《数理统计》第二章自测题参考答案
一、填空题:
1.;2.;3.a=,b=;4.,;5.
【提示】
1.因为,故,又,即
,解得。
3.由题意,应使得且达到最小。
已知,
,,,
令,求f(a)的最小值点为a=,则b=。
4.因为X服从两点分布,则E(X)=p,矩估计值,代入p(1-p)可得其矩估计。
设(x1,x2,…,xn)是X的一组样本观察值,则p的似然函数为
,
两边取自然对数为,令,得似然估计值为
,由最大似然估计的不变性,可得的最大似然估计为
5.
二、选择题:
1.(B);2.(B);3.(D);4.(C);5.(C)6.(A);7.(C);8.(C)
【提示】
1.易得a和b的最大似然估计分别为,再由最大似然估计的不变性可得。
2.E(X)=3-4,故。
代入样本均值的观察值,得。
4.S2是的无偏估计,但S不是的无偏估计;
(n-1)/nS2是的最大似然估计,所以是的最大似然估计;
只有当总体是正态分布时,才有S与相互独立。
6.。
7.。
三、判断题:
1.⨯;2.⨯;3.⨯;4.√;5.⨯;6.⨯;7.⨯;8.√;9.√;10.⨯;
【提示】
3.对C-R正则族,有效估计一定是一致最小方差无偏估计,但反过来,由于UMVUE的方差不一定能达到C-R下界,所以UMVUE不一定是有效估计。
4.设X1,X2,…,Xn为来自总体的一个样本,其中参数未知,似然函数为
要使,须满足,所以,,
即满足的统计量都是的最大
似然估计量。
10.贝叶斯统计中,参数确实是随机的,但是参数值也是由先验信息和样本信息同时决定的。
四、计算题
1.【解】因为所以,的矩估计量为。
。
因为,所以,
,又,所以是无偏的。
2.【解】
(1)似然函数为
当x1>θ,x2>θ,…,xn>θ时,L(θ)>0,取对数,得
因为,以L(θ)单调增加,因此θ越大,L(θ)越大,但θ 。 (2)设总体X的分布函数为 因为,所以不是θ的无偏估计量。 (3)取,则,于是即*是θ的无偏估计量。 (4)由于所以 由习题节题目7的结论可知是的相合估计。 3.【解】设X为直到命中目标为止所进行的射击次数,则X服从参数为p的几何分布,即 ,。 X为总体,p未知,x1,x2,…,xn是来自总体的一组样本值,由,, 由矩估计法有为p的矩估计值。 似然函数, , 令,解得。 4.【解】 (1)求解参数的UMVUE。 易判断它为指数分布族,并且 当为充分统计量,又指数分布族的充分统计量为完备统计量,所以是充分完备统计量。 又所以从而是参数的无偏估计,又是完备充分统计量的函数,所以为UMVUE。 (2)判断它是否为有效估计。 先计算的方差: 下一步计算参数的C-R下界。 由伽玛分布的密度函数得到 ; 所以的费希尔信息量为由C-R下界公式知的无偏估计下界为: 由于UMVUE达到了C-R下界,所以为有效估计。 5.【解】 (1)当即样本和的联合分布为: 基于三个观测值有: 故后验密度为: 即的后验分布为均匀分布U[,]. (2)由于在均方误差标准下贝叶斯估计为后验均值,所以的贝叶斯估计为=, 贝叶斯估计的方差为 6.可用类似课本P132页证明,惟一的区别是没有权重。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数理统计 茆诗松 第二 自测