人教版初中数学九年级上册第21章 一元二次方程综合测试题.docx
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人教版初中数学九年级上册第21章一元二次方程综合测试题
人教版初中数学九年级上册一元二次方程综合测试题
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求)
1.如果方程2+bx+1=0的一个根是1,则另一根是()
A.-1B.1C.D.-
2.方程+4x=1的根是()
A.2±B.-2±C.±2+D.±2-
3.如果关于x的一元二次方程a+bx+c=0没有实数根,则方程cbx+a=0根的情况是()
A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根C.不能确定
4.设a、b、c是△ABC的三边,关于x的方程(a+b)-2cx+(a-b)=0有相等的实数根,则△ABC是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形
5.如果关于x的方程+(m-1)x+-3=0的两根互为倒数,则m的值是()
A.2或-2B.2C.-2D.0
6.如果一元二次方程+bx+c=0有两根正实根,则( )
A.b>0,c>0B.b>0,c<0C.b<0,c<0D.b<0,c>0
7.已知方程a+bx+c=0的两根为,,则方程a+b(x-1)+c=0的两根是()
A.-1,-1B.+1,+1C.-1,+1D.+1,-1
8.设方程-4x+1=0的两根为、,则+等于()
A.B.C.D.
9.已知关于x的一元二次方程+2x+m=0的两根,满足-=4,则a的值是()
A.-5B.-4C.-3D.-2
10.如果方程+3x+c=0的两根,满足(+2+2c)(+2+2c)=c,则c的值是()
A.3B.-3C.0或3D.0或-3
二、填空题(本大题6小题,每题4分,共24分)
11.若关于x的方程a-2ax+(a-1)=0没有实数根,则a的取值范围是.
12.如果关于x的方程-x+m=0有两个负实根,则m的取值范围是.
13.一件商品的原价是100元,经过两次降价价后的价格为81元,如果每次降价的百分率相同,则这个百分率是.
14.如果关于x的方程(k-1)-x+=0有两个实数根,则k的取值范围是.
15.设,是方程+3x-1=0的两根,则-3的值等于.
16.已知a+b+c=0(a≠0),且方程a+bx+c=0有两个相等的实数根,则的值等于.
三、解答题(本大题9小题,共86分)
17(8分)解方程:
(x-+1)(x-+3)+1=0.
18(8分).如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,求这9个数的和.
19(8分).关于x的一元二次方程-mx+5(m-5)=0的两个正实数根分别为,,且2+=7,求m的值.
20(8分)设方程-3x+1=0的两根为,,求下列代数式的值:
(1)+;
(2)+3+1.
21(8分)已知实数a、x满足+x+(a-2)=0,求a的最大值与最小值.
22(10分)阅读:
所谓勾股数就是满足方程x2+y2=z2的正整数解,即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数.我国古代数学专著《九章算术》一书,在世界上第一次给出该方程的解为:
x=(-),y=mn,z=(+),z=mn,其中m>n>0,m、n是互质的奇数.
应用:
当n=5时,求一边长为12的直角三角形另两边的长.
23(10).已知关于的一元二次方程+x+-m+1=0.
(1)当m=0时,判断方程的根的情况;
(2)如果该方程有实数根,求该方程的根.
24(13分)阅读:
小明在研究一元二次方程a+bx+c=0的两个实数根、的符号时发现如下三个结论:
①若△≥0,+>0,>0,则>0,>0;反之也成立.②若△≥0,+<0,>0,则<0,<0;反之也成立.③若<0,则>0(或>0),<0(或<0)(即、一正一负);反之也成立.
应用:
已知关于x的方程(x-1)(x-b+1)=1.
(1)求证:
不论b为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两根都是正数,求b的取值范围;
(3)求证:
方程一根大于1,另一根小于1.
25.(13分)若,是关于x的方程+bx+c=0的两个实数根,且||+||=2|k|(k是整数),则称方程+bx+c=0为“偶系二次方程”,如方程-6x-27=0,-2x-8=0,+3x-,+6x-27=0,+4x+4=0,都是“偶系二次方程”.
(1)判断方程+x-12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由;
(2)对于任意一个整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程+bx+c=0是“偶系二次方程”,并说明理由.
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
A
C
D
B
D
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
C
D
a≤0
0 10% k≥-且k≠1 10 -1 17.解: 设x-+1=y,则方程可化为y(y+2)+1=0,即+2y+1=0,解得==-1, 所以==-1+-1=-2+. 18.解: 由图表可知,圈出的9个数,最大数比最小数大16,设最小数为x,则最大数为x+16,根据题意,得x(x+16)=192,解得x1=8,x2=﹣24(不合题意舍去),故这9个数的和为: 8+9+10+15+16+17+22+23+24=144. 19.解: 由+=m和2+=7,解得,代入=5(m-5),得 (7-m)(2m-7)=5(m-5),解之,得m1=2,m2=6, 当m=2时,两根分别为5和-3,与已知两正实根相矛盾; 当m=6时,两根为1和5,符合条件要求,所以m=6. 20.解: +=3,=1. (1)原式===3; (2)因为-3+1=0,所以=3-1, 所以+3+1=(3-1)+3+1=3(+)=9. 21.解: 因为x为实数,所以△=-4×(a-2)≥0,即a-1-2(a-2)≥0,解得a≤3, 又a-1≥0,a≥1,所以1≤a≤3, 所以a的最大值为3,最小值为1. 22.解: ∵n=5,直角三角形一边长为12,∴有三种情况: (1)当x=12时,(-)=12,解得m1=7,m2=-7(舍去), ∴y=mn=35,z=(+)=(49+25)=37; (2)当y=12时,5m=12,m=,∵m为奇数,∴m=舍去; (3)当z=12时,(+)=12,即(+)=12,=-1,此方程无实数解. 综上所述: 当n=5时,一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35,37. 23. (1)当m=0时,方程为+x+1=0,因为△=3-4=-1<0,所以方程没有实数根; (2)因为方程有实数根,所以△=3-4(-m+1) =-4+4m-1=-(4-4m+1)=-≥0,所以≤0, 又≥0,所以=0,所以m=, 所以方程为+x+=0,解得==. 24. (1)方程化为-bx+b-2=0,△=-4(b-2)=-4b+8=+4, 因为≥0,所以△>0,所以方程总有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为,,则+=b,=b-2,故由上述结论①,得 ,解得b>2; (3)因为(-1)(-1)=-(+)+1=b-2-b+1=-1, 所以(-1)(-1)<0,所以在-1、-1中,一个大于0,另一个小于0, 所以、中一个大于1,另一个小于1. 25.解: (1)解方程+x-12=0,得=3,=-4,所以||+||=7,因为7不是偶数,所以该方程不是“偶系二次方程”; (2)对于任意一个整数b,假设存在实数c,使得关于x的方程+bx+c=0是“偶系二次方程”,则||+||=2|k|(k是整数),两边平方,得++2||=4,整理,化为-2+2||=4,因为+=-b,=c,所以-2c+2|c|=4,整理,得2|c|-2c=4-. 当b为偶数时,总存在整数k,使得4-=0,此时2|c|-2c=0,|c|=c,c为非负数,c只要再满足△=-4c≥0,即c≤; 当b为奇数时,4-≠0,此时c只需要满足2|c|-2c≠0,|c|≠c,即c为负数,而当c为负数时,总有△=-4c>0,此时-2c-2c=4-,c=. 综上可知,对于任意一个整数b,存在实数c,使得关于x的方程+bx+c=0是“偶系二次方程”.
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