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和三角板ABC如图所示放置,E,A,C三点在一条ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.(等
③(2006邵阳T8.)将一副三角板按图
(一)叠放,则△AOB与△DOC的面积之比等于
(1:
3)
④(2005年浙江绍兴T18.)(以下两小题选做一题,第
(1)小题满分5分,第
(2)小题
满分为3分。
若两小题都做,以第
(1)小题计分)
选做第________小题,答案为________
(1)将一副三角板如图叠放,则左右阴影部分面积S1:
S2之比等于________
(2)将一副三角板如图放置,则上下两块三角板面积A1:
A2之比等于________
⑤(2006年武汉市T24.10分)已知:
将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放,
点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点。
将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋
转角α(0°
<α<90°
),在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M,直线DF、BC相
交于点N,分别过点M、N作直线AB的垂线,垂足为G、H。
(1)当α=30°
时(如图②),求证:
AG=DH;
(2)当α=60°
时(如图③),
(1)中的结论是否成立?
请写出你的结论,并说明理由;
(3)当0°
时,
(1)中的结论是否成立?
请写出你的结论,并根据图④说明理由。
F
45°
C
C(N)
E
M
EA
60°
D
BAGDHB
图①
图②
第24题图
N
A
GD
HB
图③
图④
⑥一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成,利用这副三角板构成
一个含有150角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标注,
不写作法.
⑦将一副三角尺如图摆放一起,连接AD,则∠ADB的余切值为.
⑧如图,ABC中,ACB90,B30,AC1,过点C作CD1AB于D1,
过
D1
作
D1D2BC
于
D2
,过
D2D3
AB
D3
,这样继续作下去,⋯⋯,线段
DnDn1能等于(n为正整数)
3
n
1
n1
(A)
2
(B)
(C)
(D)
D4
D6
⑨已知∠AOB=90°
,OM是∠AOB的平分线,按以下要求解答问题:
(1)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与边①在图甲中,证明:
PC=PD;
D5
B
D1D3
(第⑧题图)OA,OB交于点C,D..
②在图乙中,点G是CD与OP的交点,且PG=2PD,求△POD与△PDG的面积之比.
(2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,一直角边与边OB交于点D,OD=1,另一直角边与直线OA,直线OB分别交于点C,E,使以P,D,E为顶点的三角形与△OCD相似,在图丙中作出图形,试求OP的长.
P
O
图甲
图乙
图丙
⑩如图,客轮沿折线
A-B-C从A出发经B再到C匀速航行,货轮从
AC的中点D出发沿某
一方向匀速直线航行,
将一批物品送达客轮。
两船同时起航,并同时到达折线
A-B-C的某
点E处,已知AB=BC=200海里,∠ABC=90°
,客轮速度是货轮速度的
2倍。
(1)选择:
两船相遇之处
E点(
)。
A、在线段AB上B
、在线段BC上
C、可以在线段
AB上,也可以在线段
BC上
(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里
?
(结果保留根号)。
CB
⒒将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,
直角的另一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q。
设A、P两点间的距离为x,
(1)当点Q在CD上时,线段PQ、PB之间有怎样的大小关系?
试证明你观察到的结论。
(2)当点Q在CD上时,求四边形PBCQ的面积y与x的函数解析式,并求出X的取值范围;
(3)当点P在线段AC上滑动时,三角形PCQ是否能为等腰三角形?
如果可能,
指出所有可
能使三角形PCQ成为等腰三角形的点
Q的位置,并求出相应
的X的值;
如果不能说明理由(以下三个图的形状,大小相
同,以供操与解题时备用)
Q
解:
(1)PQ=PB
证明:
连接BD交AC于点O,连接PD,如图
(1)
四边形ABCD是正方形
OCD450
ODC
AC垂直平分BD,
PB=PD,
900
12
图
(1)
PBPD
34900
13
23
PDQ
2ODC
2450
PQD
OCD
3450
PD
PQ
PB
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..4分
(2)连接BD交AC于点O,作QE
AC于点E(如图2)
PQ,
PBO
QPE,POB
QEP
POB
QE
OP
OA
AP
x
SPBCQ
SPBC
SPCQ
1PC(BO
QE)
1(2x)(2x)
y
1x2
1(1
2)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4
分
(3)可能
当P与A重合时,Q与D重合,有PQ=QC,X=0
当PC=CQ时,且Q在DC的延长线上时,(图形
3),连接BD交AC于点O,连接
CQ=PC=2x,BQ2
BC2
CQ2
1(2
x)2
由
(1)证得,PB=PQ,
BQ,则
PB2
(2BQ)2
11(2x)2
BO
OP2
11(
2x)2
(2)2
(x
2)2
由x
⋯⋯⋯⋯⋯.3分
12.如图,操作:
将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使
它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一
边与边DC或射线DC相交于点Q。
当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?
试证明你观察得到的结论;
②当点Q在边CD运动上时,设四边形PBCQ的面积为S时,试用含有x的代数式表示S:
③当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?
如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;
如果不可能,试说明理由。
①过点P作PE
AB交AB于E,过点P作PF
CD交BC于F-----1
PE=AE,BE=1-AE,PF=1-PE=1-AE
∴BE=PF
------2
EPB
FPQ
EBP900
∴EBP
FPQ------3
∴
PEB
PFQ
------4
∴PB=PQ
--------5
设PM=x,BM=1-x,QC=1-x-x=1-2x
SSPBCSVPCQ
AD
BC
BC
PM
1CQPF
1x
1)x
(2x
x2
-----------8
③有可能成为等腰三角形,求出x值-------11
13.(12分)用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°
角的三
角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°
角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,(如图13—1),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论?
并证明你的结论;
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图13—2),
你在
(1)中得到的结论还成立吗?
简要说明理由.
(1)BE=CF.⋯⋯2分
在△ABE和△ACF中,∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°
,∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC,∠B=∠ACF=60°
,∴△ABE≌△ACF(ASA).⋯⋯4分∴BE=CF.⋯⋯6分
(2)BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理,同样可以证明△
ABE和△ACF全等,BE
和CF是它们的对应边.所以BE=CF仍然成立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
27(.8分)等腰△ABC,AB=AC=8,∠BAC=120°
,P为BC的中点,小慧拿着含
30°
角的透明三角板,使30°
角的顶点落在点P,三角板绕P点旋转.
(1)如图1,当三角板的两边分别交
AB、AC于点E、F时.问△BPE与△CFP是否相似;
(2)操作:
将三角板绕点P旋转到图
2情形时,三角板的两边分别交
BA的延长线、边AC
于点E、F.
①探究1:
△BPE与△CFP还相似吗?
(只需写出结论)
②探究2:
连结EF,△BPE与△PFE是否相似?
请说明理由;
③设EF=m,△EPF的面积为S,试用m的代数式表示S.
(1)
(2)
(1)如图,由题意得∠FPC+∠BPE=150,∠BEP+∠BPE=150
∴∠BEP=∠FPC
又∵∠B=∠C=30∴△BPE~△CFP⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
(2)①△BPE与△CFP还相似
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
②△BPE与△PFE相似,
4分
BE
PE
由△BPE与△CFP相似,得
FP
,又∵BP=CP∴
BEBP
CP
BP
即
,又∵∠B=∠EPF=30
∴△BPE~△PFE⋯⋯⋯⋯⋯
6分
PEFP
③如图,∵△BPE~△PFE,∴∠PEB=∠PEF作
PH⊥BE于点H,PG⊥EG于点G,则PH=PG⋯⋯⋯7分
在Rt△BPH中,PH
BPsinPBH=23
∴S=3m
⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
H
G
BPC
模型4知二求四
在上图中隐含有以下重要性质:
⑴两对相等的锐角;
∠A=∠BCD,∠B=∠ACD
222
⑵三对相似三角形:
⊿ACD∽⊿CBD∽⊿ABC,AC=AD·
ABBC=BD·
ABCD=BD·
AD⑶边之比的推广
⑷面积:
AC·
BC=AB·
CD
⑸勾股定理
⑹AB是ABC外接圆的直径
①
②③④⑤
∽
模型5增长率
①②③④⑤⑧增长率与百分数问题
i
ii某商品降价20%后出售,一段时间后恢复原价,则应在售价的基础上提高的百分数是
()A、20%B、25%C、30%D、35%
某商品经过两次降价,由每件100元降至81元,则平均每次降价的百分率为()
A、8.5%B、9%C、
9.5%D、10%
iii
模型6垂径定理
①如图:
一个残破的圆钢轮,为了再铸做一个同样大小的圆轮,请用圆规、直尺作出它的圆
心(不用写作法,保留作图痕迹)。
②
③
在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后,
截面如图所示,如果油面宽
AB=8m,那么油的最
大深度是______m.
模型7
配方法
用配方法解关于
x2+px+q=0时,此方程可变为(
A)
p2p2
4q
p
24qp2
(x
2p2
4qp2
B.
A.
C.
D.
模型8
三个非负量
初中阶段学过三个非负量:
平方数
,绝对值
,算术平方根
。
它们具有
以下性质:
①非负性;
②n个非负量之和仍为非负量;
③若
n个非负量之和为
0,则每个非
负量必须同时为
0;
④当a=0时,
都有最小值,相反
都
有最大值。
①如图所示,化简
(a
b)2
a
b
(
)A、2a
B、2b
C、-2b
D、-2a
④
⑤
模型9
全等三角形模型
①i(2006年安徽T13,3分)如图,直线
L过正方形
ABCD的顶点B,点A、C到直线
L的距离分别是
1和
2,则正方形的边长是
S4
S
S2
S3
l
ii(2005
年温州T18,3
分)在直线l上依次摆放着七个正方形
(如图所示)。
已知斜放置的
三个正方形的面积分别是
1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是
S1、S2、S3、S4,则
S+S+S+S=_______。
②(2004年临沂T21,7分)如图△ABC中,∠B=2∠A,AB=2BC。
求证:
∠C=90°
模型10方程模型①(2004年河北
T20,4分.)、扑克牌游戏
小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作:
第一步分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同;
第二步从左边一堆拿出两张,放入中间一堆;
第三步从右边一堆拿出一张,放入中间一堆;
第四步左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿几张牌放入
左边一堆。
这时,小明准确说出了中间一堆牌现有的张数,你认为中
间一堆的张数是。
②(200年山东枣庄
T,分.)如图所示,若将正方形分成
k个全等的矩形,
其中上、下各横排两个,中间竖排若干个,则
k的值为
;
③i(2006年山东枣庄T18,4分.).右图是由9个等边三角形拼成的六
边形,若已知中间的小等边三角形的边长是a,则六边形的周长
是.
ii(200年T,分.)如图,一个长方形被划分成大小不等的6个
正方形,已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米,则这个长方形的
面积为.
友情提醒:
北师大版年级册P阅读材料
右边给出的是2004年3月份的日历表,任意圈出一竖列上相邻的三个数,请你运用方程思想来研究,发现这三个数的和不可能是()
(A)69(B)54(C)27(D)40
模型11不等式模型
①(2004年临沂T11,3分)点P(x+1,x-1)不可能在第()象限
A:
一B:
二C:
三D:
四
②(2004年临沂T10,3分)如图,直线y=kx+b与坐标轴的两个交点
分别为A(2,0)和B(0,-3),则不等式kx+b+3≥0的解集是()
x≥0B:
x≤0C:
x≥2D:
x≤2
模型12函数模型
o
Ax
①飞机着陆后滑行的距离S(单位:
m)与滑行的时间(t单位:
s)的函数关系式是S=60t-1.5t2.
飞机着陆后滑行多远才能停下来?
(新人教版九年级下册P
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