高等数学1B第一次作业答案西南交通大学网络教育学院.docx
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高等数学1B第一次作业答案西南交通大学网络教育学院
一、问答题(将解答输入文本框中,共41道小题)
1.
求下列函数的定义域:
(1)y=x2−4,
(2)y=14−x2,(3)设f(x)的定义域是[0,1],求f(lnx)的定义域.
[本题2分]
参考答案:
解:
(1)
D=(−∞, 2]∪[2, +∞),
(2)
D=(−2, 2),
(3)由
lnx∈[0,1]可得其定义域为
[1,e].
2.若f(t)=2t2+2t2+5t+5t,证明f(t)=f(1t).[本题2分]
参考答案:
证明:
f(1t)=21t2+2t2+5t+51t=f(t).
3.设f(x)=2x2+6x−3,求ϕ(x)=12[f(x)+f(−x)]及ψ(x)=12[f(x)−f(−x)],并指出ϕ(x)及ψ(x)中哪个是奇函数哪个是偶函数?
[本题2分]
参考答案:
解:
ϕ(x)=12[f(x)+f(−x)]=2x2−3是偶函数,
ψ(x)=12[f(x)−f(−x)]=6x是奇函数.
4.
求下列极限:
(1)limx→1x2−2x+1x2−1;
(2)limh→0(x+h)2−x2h;(3)limx→∞x2−12x2−x−1;(4)limx→∞x2+xx4−3x2+1;(5)limx→4x2−6x+8x2−5x+4;(6)limn→∞1+2+3+⋯+(n−1)n2;(7)limn→∞(n+1)(n+2)(n+3)5n3;(8)limx→1(11−x−31−x3)
参考答案:
解:
(1)
limx→1x2−2x+1x2−1=limx→1(x−1)2(x−1)(x+1)=limx→1x−1x+1=0.
(2)
limh→0(x+h)2−x2h=limh→0 (2x+h)=2x.
(3)
limx→∞x2−12x2−x−1=limx→∞1−1x22−1x−1x2=12.
(4)
limx→∞x2+xx4−3x2+1=limx→∞1x2+1x31−3x2+1x4=0.
(5)
limx→4x2−6x+8x2−5x+4=limx→4(x−2)(x−4)(x−1)(x−4)=limx→4x−2x−1=23.
(6)
limn→∞1+2+3+⋯+(n−1)n2=limn→∞n(n−1)2n2=limn→∞12(1−1n)=12.
(7)
limn→∞(n+1)(n+2)(n+3)5n3=limn→∞15(1+1n)(1+2n)(1+3n)=15.
(8)
limx→1(11−x−31−x3)=limx→1x2+x−2(1−x)(x2+x+1)=limx→1(x−1)(x+2)(1−x)(x2+x+1)=1
5.
计算下列极限:
(1)limx→0sinωxx;
(2)limx→0tan3xx;(3)limx→0sin2xsin5x;(4)limx→0xcotx;(5)limx→01−cos2xxsinx;(6)limx→+∞x(x2+1−x)
[本题2分]
参考答案:
解:
(1)根据重要极限可得
limx→0sinωxx=ω.
(2)
limx→0tan3xx=limx→0sin3xx1cos3x=3.
(3)
limx→0sin2xsin5x=limx→0sin2xxxsin5x=25.
(4)
limx→0xcotx=limx→0xsinxcosx=1.
(5)
limx→01−cos2xxsinx=limx→01−cos2xx2xsinx=limx→0[sin2xx2]211+cos2x=2.
(6)
limx→+∞x(x2+1−x)=limx→+∞xx2+1+x=limx→+∞11+1x2+1=12
6.
利用夹逼准则证明:
(1)limn→∞(nn2+π+nn2+2π+⋯+nn2+nπ)=1;
(2)limx→∞(1n2+1+1n2+2+⋯+1n2+n)=1
参考答案:
证明:
(1)因为
n2n2+nπ≤nn2+π+nn2+2π+⋯+nn2+nπ≤n2n2+π,
而
limn→∞n2n2+π=limn→∞n2n2+nπ=1,
所以
limn→∞(nn2+π+nn2+2π+⋯+nn2+nπ)=1.
(2)因为
nn2+n≤1n2+1+1n2+2+⋯+1n2+n≤nn2+1,
而
limn→∞nn2+1=limn→∞nn2+n=1,
所以
limx→∞(1n2+1+1n2+2+⋯+1n2+n)=1.
7.
研究下列函数的连续性:
(1)f(x)={x2, 0≤x≤1,2−x, 1 (2)f(x)={x,−1≤x≤1,1,x<−1或x>1. [本题2分] 参考答案: 证明: (1)仅需要讨论在 x=1点的连续性.因为 limx→1−f(x)=limx→1−x2=1, limx→1+f(x)=limx→1−(2−x)=1, 所以 f(x)在 x=1点连续. (2)仅需要讨论在 x=±1点的连续性.因为 limx→1−f(x)=limx→1−x=1, limx→1+f(x)=limx→1−1=1, 所以 f(x)在 x=1点连续.同理 limx→−1−f(x)=limx→1−1=1, limx→−1+f(x)=limx→1−x=−1, 所以 f(x)在 x=−1点不连续. 8. 证明方程x5−3x=1至少有一个根介于1和2之间. [本题2分] 参考答案: 证明: 设 f(x)=x5−3x−1, 显然是连续的,又 f (1)=1−3−1=−3<0, f (2)=25−6−1=25>0, 由零点定理知存在 c∈(1, 2), 使得 f(c)=c5−3c−1=0, 即方程 x5−3x=1至少有一个根介于1和2之间. 9. 求下列函数的导数: (1)y=x4; (2)y=x23;(3)y=x1.6;(4)y=1x;(5)y=1x2;(6)y=x3x5 [本题2分] 参考答案: 解: (1) y′=4x3, (2) y′=23x−1/3, (3) y′=1.6x0.6, (4) y′=−12xx, (5) y′=−2x3, (6) y′=165x11/5 10. 求曲线y=cosx上点(π3,12)处的切线方程和法线方程. [本题2分] 参考答案: 解: k=−sinx|x=π/3=−32, 所以切线方程和法线方程分别为: y−12=32(x−π2), y−12=−23(x−π2) 11.求曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程.[本题2分] 参考答案: 解: k=ex|x=0=1, 所以切线方程和法线方程分别为: y−1=x, y−1=−x. 12. 设函数f(x)={x2,x≤1,ax+b,x>1. 为了使函数f(x)在x=1处连续且可导,a、b应取什么值? [本题2分] 参考答案: 解: 由连续性可知 1=limx→1+f(x)=a+b, 由可导知 2=(ax+b)′|x=1=a所以 a=2, b=−1. 13. 求下列函数的导数: (1)y=5x2−2x+3ex; (2)y=2tanx+secx−1;(3)y=sinx⋅cosx;(4)y=x2lnx [本题2分] 参考答案: 解: (1) y′=10x−2xln2+3ex, (2) y′=2sec2x+secxtanx, (3) y′=cos2x−sin2x=cos2x, (4) y′=2xlnx+x 14.写出曲线y=x−1x与x轴交点处的切线方程.[本题2分] 参考答案: 解: 交点为 (±1, 0), 斜率为 k=y′=(1+1x2)|x=±1=2, 所以切线方程为: y=2(x±1) 15. 求下列函数的导数: (1)y=(2x+5)4; (2)y=cos(4−3x);(3)y=ln(1+x2);(4)y=sin2x;(5)y=sin2xx;(6)y=ln(x+a2+x2) [本题2分] 参考答案: 解: (1) y′=8(2x+5)3, (2) y′=3sin(4−3x), (3) y′=2x/(1+x2), (4) y′=sin2x, (5) y′=2xcos2x−sin2xx2, (6) y′=(x+a2+x2)−1(1+xa2+x2)=1a2+x2 16. 求下列函数的二阶导数: (1)y=2x2+lnx; (2)y=e2x−1;(3)y=xcosx [本题2分] 参考答案: 解: (1) y′=4x+1x,
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