高考北京版高考数学 28 函数模型及函数的综合应用.docx
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高考北京版高考数学28函数模型及函数的综合应用
2.8 函数模型及函数的综合应用
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.函数的模型及实际应用
了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义
2015北京,8
2015北京文,8
函数的实际应用
函数的图象
★☆☆
2011北京文,7
基本不等式
2.函数的综合应用问题
了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,了解函数与方程、不等式之间的联系,并能解决一些具体的实际问题
★☆☆
分析解读 为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在如下方面考查:
1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.
2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等.
破考点
【考点集训】
考点一 函数的模型及实际应用
1.去年某地的月平均气温y(℃)与月份x(月)近似地满足函数y=a+bsinx+φ.其中三个月份的月平均气温如下表:
x
5
8
11
y
13
31
13
则该地2月份的月平均气温约为 ℃,φ= .
答案 -5;
考点二 函数的综合应用问题
2.动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示,则动点P所走的图形可能是( )
答案 D
3.若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为( )
A.5或8 B.-1或5 C.-1或-4 D.-4或8
答案 D
4.(2017课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则( )
A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 C
5.单位圆的内接正n(n≥3)边形的面积记为f(n),则f(3)= .
下面是关于f(n)的描述:
①f(n)=sin;②f(n)的最大值为π;③f(n) 其中正确结论的序号为 .(请写出所有正确结论的序号) 答案 ;①③④ 炼技法 【方法集训】 方法 函数模型的实际应用问题 (2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位: 小时)与储藏温度x(单位: ℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 小时. 答案 24 过专题 【五年高考】 A组 自主命题·北京卷题组 1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( ) A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D 2.(2015北京文,8,5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日 48 35600 注: “累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升 B.8升 C.10升 D.12升 答案 B B组 统一命题、省(区、市)卷题组 考点一 函数的模型及实际应用 1.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. B. C. D.-1 答案 D 2.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题: “今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何? ”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则当z=81时,x= ,y= . 答案 8;11 考点二 函数的综合应用问题 (2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足: 对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是 . 答案 (2,+∞) C组 教师专用题组 考点一 函数的模型及实际应用 (2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型. (1)求a,b的值; (2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; ②当t为何值时,公路l的长度最短? 求出最短长度. 解析 (1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5). 将其分别代入y=,得解得 (2)①由 (1)知,y=(5≤x≤20),则点P的坐标为, 设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y'=-, 则l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B. 故f(t)==,t∈[5,20]. ②设g(t)=t2+,则g'(t)=2t-. 令g'(t)=0,解得t=10. 当t∈(5,10)时,g'(t)<0,g(t)是减函数; 当t∈(10,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数; 从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15. ∴当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米. 评析本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力. 考点二 函数的综合应用问题 1.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是( ) A. B. C.[-2,2] D. 答案 A 2.(2017浙江,17,5分)已知a∈R,函数f(x)=+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是 . 答案 3.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数. (1)当f(x)= (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数; (2)当f(x)= (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 答案 (1) (2)x 4.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合: 对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”; ②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值; ③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B; ④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B. 其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号) 答案 ①③④ 5.(2010北京,14,5分)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y=f(x),则f(x)的最小正周期为 ;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为 . 说明: “正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动. 答案 4;π+1 6.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}= (1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围; (2)(i)求F(x)的最小值m(a); (ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a). 解析 (1)由于a≥3,故 当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0, 当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a). 所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a]. (2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则 f(x)min=f (1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2, 所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f (1),g(a)},即 m(a)= (ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f (2)}=2=F (2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g (2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F (2),F(6)}. 所以,M(a)= 思路分析 (1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解; (2)分段函数求最值的方法是分别求出各段上的最值,较大(小)的值就是这个函数的最大(小)值. 评析本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力. 7.(2013江西,21,14分)设函数f(x)=a为常数且a∈(0,1). (1)当a=时,求f; (2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x
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