高三数学一轮复习第1讲椭圆教案.docx
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高三数学一轮复习第1讲椭圆教案
第一讲椭圆
一、考情分析
解析几何是用代数的方法解决几何问题,体现了形数结合的思想,因而这一部分的题目的综合性比较强,它要求学生既能分析图形,又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形,这对学生能力的要求较高.
“圆锥曲线”是解析几何的重点内容,特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用.本讲主要是调动学生学习的主动性,注意交代知识的来龙去脉,教给学生解决问题的思路,帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力,掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想,培养良好的个性品质,以及勇于探索、敢于创新的精神.
二、知识归纳
(一)椭圆的定义
(1)第一定义:
平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
特征式:
.
注:
①若,则点的轨迹是线段的垂直平分线;
②若,则这样的点不存在.
(2)第二定义:
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距
离的比是常数,那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫
做焦点,定直线叫做准线,常数就是离心率.
特征式:
.
(二)椭圆的方程
(1)椭圆的标准式方程:
①;(焦点在轴的平行线上,中心在的椭圆方程)
②.(焦点在轴的平行线上,中心在的椭圆方程)
(2)椭圆的参数方程:
①;
注:
角不是.
②.
(3)椭圆的向量式方程:
.
(三)性质:
对于椭圆而言,
①范围:
,,椭圆落在组成的矩形中.
②对称性:
图象既关于轴对称,又关于轴对称,也关于原点对称.原点叫椭圆的对称中心,简称中心.轴、轴叫椭圆的对称轴.
③顶点:
椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点.,;加两焦点共有六个特殊点.叫椭圆的长轴,叫椭圆的短轴,长分别为.分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.
④离心率:
椭圆焦距与长轴长之比.
注:
椭圆形状与的关系:
,椭圆变圆,直至成为极限位置的圆,此时也可认为圆为椭圆在时的特例;,椭圆变扁,直至成为极限位置线段,此时也可认为圆为椭圆在时的特例.
⑤椭圆的准线方程:
对于,左准线;右准线;
对于,下准线;上准线.
⑥焦准距:
焦点到准线的距离(焦参数).
⑦通径:
经过焦点且垂直于长轴的弦称之为通径,长度为.
⑧焦半径公式:
焦点在x轴上的椭圆的焦半径公式:
(左焦半径);(右焦半径);
焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式:
(下焦半径);(上焦半径);
(规律:
左加右减,上减下加.)
⑨焦点三角形:
曲线上的点与焦点连线构成的三角形
称焦点三角形;.(如何证明?
)
(四)椭圆系方程(焦点在轴的上,中心在原点)
(1)共焦点的椭圆系:
注:
若,则表示共焦点的双曲线系.
(2)离心率相同的椭圆系:
.
注:
若,则表示共渐进线的双曲线系.
三、精典例析
(一)活用定义
例1:
椭圆上有一点P它到椭圆的左准线距离为10,求点P到椭圆的右焦点的距离.
解析:
椭圆的离心率为,
根据椭圆的第二定义得,点P到椭圆的左焦点距离为:
;
再根据椭圆的第一定义得,点P到椭圆的右焦点的距离为20-8=12.
例2:
方程表示什么曲线?
解析:
设,则原方程等价于:
,
即:
到定点的距离与它到定直线的距离之比为,
故原方程表示以定点为焦点,以定直线为准线的椭圆.
例3:
定点是的焦点,P是曲线C上的动点.
(1)求的范围;
(2)求的最小值.
解析:
∵是的焦点,
∴.
(1).
(2).
引申:
也适用于双曲线、抛物线.
例4:
求过定点,以轴为准线、离心率为的椭圆的左顶点P的轨迹方程.
解析:
设,则:
,
,且,
故椭圆的左顶点P的轨迹方程是.
(二)焦半径公式
例5:
椭圆,其上一点到两焦点的距离分别是6.5和3.5,求椭圆方程.
解析:
由椭圆的焦半径公式,得:
,解得:
.
故所求椭圆方程为:
.
例6:
已知P为椭圆上的点,且P与的连线互相垂直,求P.
解析:
由题意,得:
=64,,
∴P的坐标为.
例7:
椭圆上能否找到一点,使得到左准线的距离是它到两个焦点的距离的等比中项?
解析:
椭圆的左准线是,若存在,设,则:
或,
∵,故不存在符合条件的点.
例8:
设P是以O为中心的椭圆上任意一点,为右焦点,求证:
以线段为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
解析:
设椭圆方程为,焦半径是圆的直径,则:
,
∴两圆半径之差等于圆心距.
故以线段为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
(三)焦点三角形
曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形,与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理,借助比例性质进行处理.
例9:
证明:
椭圆的焦点三角形中,
.
解析:
在中,
,
∴,
∴;
在中,,
∴.
例10:
已知椭圆的焦点是,P为椭圆上一点,且是和的等差中项.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点P在第三象限,且,求.
解析:
(1)∵是和的等差中项.
∴,
∴,∴.∴椭圆的方程为.
(2)设,则,
∵,
∴.
∴
∴,故,.
(四)对称问题
例11:
在直线任取一点,过M且以的焦点为焦点作椭圆,问M在何处时,所作椭圆的长轴长最短?
并求出此椭圆.
解析:
法1:
待求椭圆的,其焦点在直线的同侧,关于直线的对称点为,则待求椭圆的长轴长为:
,
∴M为直线与的
焦点时,所作椭圆的长轴长最短;
,此时,,
故待求椭圆为:
.
法2:
设待求椭圆为:
,则与椭圆相切于M点时,椭圆的长轴长最短,
,
∵与椭圆相切,
∴,
又∵,∴,
故待求椭圆为:
,此时,,即.
例12:
已知椭圆上有两个不同的点关于直线对称,求m的取值范围.
解析:
法1:
∵点关于直线对称,
∴,设,则:
,
,,
∴;
∵的中点在直线上,
∴;
∴.
故m的取值范围是.
法2:
设,的中点,则:
,
∴的中点在上,则:
,
∵的中点在椭圆内,
∴.
故m的取值范围是.
(五)范围(最值)问题
例13:
已知椭圆与轴的正半轴交于A,O是原点,若椭圆上存在一点M,使,求椭圆离心率的取值范围.
解析:
,设,
∵,
∴,
∴.
故.
例14:
已知B是椭圆的上顶点,P是椭圆上的动点,求的最大值.
解析:
设,则:
(1)若时,;
(2)若时,.
综上,若时,;若时,.
(六)直线与椭圆相交问题
例15:
椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,相应于焦点的准线与轴相交于点A,,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)若,求直线PQ的方程;
(3)设,过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M,证明:
.
解析:
(1)设椭圆的方程为,则:
,
故椭圆的方程为,离心率.
(2)解:
,设直线PQ的方程为,,则:
,
∴;
又,
∵,
∴,
∵,∴,
∴.
故直线PQ的方程为或.
(3)证明:
由已知得方程组
,
∵,
∴,
,
∴.
例16:
椭圆E的中心在原点O,焦点在轴上,离心率,过点的直线交椭圆于A、B两点,且满足.
(1)若为常数,试用直线的斜率表示三角形的面积;
(2)若为常数,当三角形的面积取得最大值时,求椭圆E的方程.
解析:
设椭圆方程为:
,
∵,,∴,
故椭圆方程为:
.
(1)直线交椭圆于,则:
,
∴,且;①;②
∵,∴;③
∴,
由①③知:
,∴.
(2),
当且仅当时,即时,S取得最大值.
当时,代入①②中,得:
,
故所求为.
(七)定点(值)问题
例17:
已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与直线相交于A、B两点,且满足(O为坐标原点).证明:
满足上述条件的椭圆过定点.
解析:
设椭圆的方程为:
,则:
,
∴,且,
∵,∴,
∴.
故椭圆过定点.
(八)综合应用
例18:
过椭圆的中心的弦AB与轴所夹的锐角为,将坐标平面沿轴折成直二面角,求AB连线与轴成角.
解析:
作交椭圆于C,则关于轴对称,
关于轴对称;翻折后,,据三垂线定理,
知:
,则AB连线与轴成角就等于;
∵,,
∴,
故AB连线与轴成角为.
四、课后反思
.
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