三角函数图象教案.docx
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三角函数图象教案.docx
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三角函数图象教案
课题
三角函数图象与性质
课型
复习
教学目标
1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像,了解三角函数的周期性;
2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在(-π/2,π/2)上的性质(如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等);
3.掌握y=Asin(wx+φ)的图象及其变换
重点
1、三角函数图象与性质;
2、y=Asin(wx+φ)的图象及其变换
难点
三角函数图象性质的综合应用
预习案
一、基础梳理:
1、三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象?
2、三角函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)?
3、y=Asin(ωx+)的图象如何变换?
二、基础自测:
1.写出下列函数的定义域:
(1)的定义域是______________________________;
(2)的定义域是____________________.
2.函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是____________.
3.函数的最小正周期是_______.
(,0)
4.函数y=sin(2x+)的图象关于点_______________对称.
5.已知函数在(-,)内是减函数,则的取值范围是______________.
6.关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题:
①对任意的,f(x)都是非奇非偶函数;
②不存在,使f(x)既是奇函数,又是偶函数;
③存在,使f(x)是奇函数;
④对任意的,f(x)都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时,该命题的结论不成立。
解析:
(1),;
(1),;(4),等.(两个空格全填对时才能得分.其中也可以写成任何整数)
【我的疑惑】
探究案
题型一:
三角函数定义域、值域
例1:
(1).
(2)已知f(x)的定义域为[0,1],求f(cosx)的定义域;
(2)已知函数f(x)=,求f(x)的定义域、值域。
解析:
(1)即
故函数的定义域为.
(2)0≤cosx<12kπ-≤x≤2kπ+,且x≠2kπ(k∈Z)。
∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ-,2kπ+]且x≠2kπ,k∈Z}。
(3)由cos2x≠0得2x≠kπ+,解得x≠,k∈Z,所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠,k∈Z},又当x≠(k∈Z)时,
f(x)=。
所以f(x)的值域为{y|-1≤y<或 【规律总结】 【变式训练】1.求定义域: ; 解: 即, 故函数的定义域为且 题型二: 三角函数的图象 例2.试述如何由y=sinx的图象得到y=sin(2x+)的图象。 解析: y=sin(2x+) 另法答案: (1)先将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,得y=sin2x的图象; (2)再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y=sinx的图象; (3)再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y=sinx的图象。 【变式训练】2.把曲线ycosx+2y-1=0先沿x轴向右平移个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是() A.(1-y)sinx+2y-3=0B.(y-1)sinx+2y-3=0 C.(y+1)sinx+2y+1=0D.-(y+1)sinx+2y+1=0 解析: 将原方程整理为: y=,因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位,因此可得y=-1为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0. 例3: 函数y=-xcosx的部分图象是() 解析: 因为函数y=-xcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除A、C, 当x∈(0,)时,y=-xcosx<0。 答案为D。 【变式训练】3.函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是() 解析: 由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]为非奇非偶函数。 选项A、D为奇函数,B为偶函数,C为非奇非偶函数。 【规律总结】 题型三: 三角函数的性质(单调性、奇偶性、对称性) 例4: . (1)求单调区间: ; (2)判断奇偶性: f(x)=lg(sinx+)。 解: (1)因为,故原函数的单调减区间为. (2)解析: 定义域为R,又f(x)+f(-x)=lg1=0, 即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数。 【变式训练】4 (1)函数的单调递增区间是_________. (2)已知函数(、为常数,,)在处取得最小值,则对于函数,有下列结论: ①偶函数且它的图象关于点对称;②偶函数且它的图象关于点对称; ③奇函数且它的图象关于点对称; ④奇函数且它的图象关于点对称. 其中,正确结论的序号有④. 题型四: 三角函数图象与性质的应用 例5.已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,x∈R)在一个周期内的图象如图所示,求直线y=与函数f(x)图象的所有交点的坐标。 解析: 根据图象得A=2,T=π-(-)=4π, ∴ω=,∴y=2sin(+), 又由图象可得相位移为-,∴-=-,∴=.即y=2sin(x+)。 根据条件=2sin(),∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π(k∈Z), ∴x=4kπ+(k∈Z)或x=4kπ+π(k∈Z)。 ∴所有交点坐标为(4kπ+)或(4kπ+)(k∈Z)。 【变式训练】5.已知向量. ,求函数f(x)的最大值,最小正周期,并写出f(x)在[0,π]上的单调区间. 解: =. 所以,最小正周期为上单调递增,上单调递减. 【规律总结】 【高考衔接】1.[2011·山东卷]若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=( ) A.3B.2C.D. 【解析】C本题考查三角函数的单调性.因为当0≤ωx≤时,函数f(x)是增函数,当≤ωx≤π时,函数f(x)为减函数,即当0≤x≤时函数f(x)为增函数,当≤x≤时,函数f(x)为减函数,所以=,所以ω=. 2.(2012山东)函数的图像大致为(D) 3、(2012全国)已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ=() A.B.C.D. 4.(2012浙江)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是() 5.(2012山东) 已知向量,函数的最大值为6. (Ⅰ)求; (Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域. 【当堂检测】 1、[2011·课标全国卷]设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( ) A.f(x)在单调递减 B.f(x)在单调递减 C.f(x)在单调递增 D.f(x)在单调递增 【解析】A 原式可化简为f(x)=sin,因为f(x)的最小正周期T==π, 所以ω=2. 所以f(x)=sin, 又因为f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数, 所以f(x)=sin=±cos2x, 所以φ+=+kπ,k∈Z, 所以φ=+kπ,k∈Z, 又因为<,所以φ=. 所以f(x)=sin=cos2x, 所以f(x)=cos2x在区间上单调递减. 2、[2011·江苏卷]函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图1-1所示,则f(0)的值是________. 图1-1 【解析】由图象可得A=,周期为4×=π,所以ω=2,将代入得2×+φ=2kπ+π,即φ=2kπ+,所以f(0)=sinφ=sin=. 3、(2012全国)已知,函数在上单调递减。 则的取值范围是() A.B.C.D. 【学习反思】(主要是学生对本节知识点进行总结反思) 【课后强化】完成《走向高考》课后强化作业。
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