新题型研究 应用性问题.docx
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新题型研究应用性问题
新题型研究之应用性问题(课标版-原创)
【考点知晓】
情景应用性问题是中考重要考点之一,是具有实际意义或实用背景的数学问题.由于它来自于生活,生产实践,因此它反映时代气息,关注着社会热点,涉及现实生活各个方面.解决应用性问题的关键是正确理解题意,排除一切非数学因素的干扰,努力读懂题目中的图形、表格及数量之间的关系,然后捕捉每一个有效的信息,将生活中的语言转换成数学语言,实际问题转化为数学问题,并构造出相应数学模型,从而求得问题的正确答案.
【考题漫步】
例1小杰到学校食堂买饭,看到A、B两窗口前面排队的人一样多(设为a人,a>8),就站到A窗口队伍的后面.过了2分钟,他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍,B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加5人.
(1)此时,若小杰继续在A窗口排队,则他到达窗口所花的时间是多少(用含a的代数式表示)?
(2)此时,若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队,且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少,求a的取值范围(不考虑其他因素).
思路分析:
由于小杰从2分钟后到达A窗口所花的时间并不包括小杰
买好饭的时间,2分钟后,小杰前面只有a-4×2=(a-8)人,
而1分钟就有4人离开,因此(a-8)人要分钟才会离开,
小杰才能到达A窗口;若在2分钟后小杰从A窗口队伍中到达
B窗口的队伍中去,B队伍同样有人离开,且2分钟期间有12人
离开,有5×2=10人加入B队伍,于是当小杰到达B队之前,
已有人,每分钟有6人离开,故当小杰到达B窗口时,所花时间为分钟,若到达B窗口所花时间比到达A窗口所花时间少,则有.
解:
(1)他继续在A窗口排队所花的时间为
(分)
(2)由题意,得
.解得a>20.
所以,a的取值范围为a>20.
重要提醒:
此题的情境学生并不陌生,且立意新颖难度不大,考生在日常生活中经常会遇到卖东西排队的时候,为了节约时间也往往会挑一条速度较快的队伍去排,如果题中的字母a是一个具体的数字,则这个问题就相当容易了,而此题主要就是为了考查考生用字母表示数的问题,能够用含字母的代数式表达所要表达的式子.
触类旁通:
有一个只许单向通过的窄道口,通常情况下,每分钟可以通过9人.一天,王老师到达道口时,发现由于拥挤,每分钟只能3人通过道口,此时,自己前面还有36个人等待通过(假定先到的先过,王老师过道口的时间忽略不计),通过道口后,还需7分钟到达学校.
(1)此时,若绕道而行,要15分钟到达学校,从节省时考虑,王老师应选择绕道去学校,还是选择通过拥挤的道口去学校?
(2)若在王老师等人的维持下,几分钟后,秩序恢复正常(维持秩序期间,每分钟仍有3人通过道口),结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口,问维持秩序的时间是多少?
解:
(1)∵ +7=19>15,
∴ 王老师应选择绕道而行去学校.
(2)设维持秩序时间为t
则-(t+)=6,
解之得t=3(分).
答:
维持好秩序的时间是3分钟.
例2马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目.跷跷板支柱AB的高度为1.2米.
(1)若吊环高度为2米,支点A为跷跷板PQ的中点,狮子能否将公鸡送到吊环上?
为什么?
(2)若吊环高度为3.6米,在不改变其他条件的前提下移动支柱,当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时,狮子刚好能将公鸡送到吊环上?
思路分析:
(1)由三角形的中位线性质可知,狮子能将公鸡送到吊环上;
(2)由相似三角形性质,通过对应边成比例,问题得解.
解:
(1)狮子能将公鸡送到吊环上.
如图1,当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ,
∵AB为△PHQ的中位线,AB=1.2(米)
∴QH=2.4>2(米).
(2)支点A移到跷跷板PQ的三分之一处(PA=PQ),
狮子刚好能将公鸡送到吊环上
如图2,△PAB∽△PQH,
∴QH=3AH=3.6(米)
重要提醒:
构造三角形,利用三角形的性质解决应用形问题,是中考的命题热点之一.
触类旁通:
如图,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内,
与地面的夹角∠BPC为30°,窗户的一部分在教室地面
A
D
B
F
C
E
P
30°
所形成的影长PE为3.5米,窗户的高度AF为2.5米.
求窗外遮阳蓬外端一点D到窗户上椽的距离AD.
(结果精确到0.1米)
思路分析:
从第二个饭碗开始,每增加一个饭碗,增加的高度不变,是很典型的一次函数关系.
重要提醒:
代定系数法是常用的数学思想方法,常用来求函数表达式.
触类旁通:
商店里把塑料凳整齐地叠放在一起,据图3的信息,当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是50.
例4近年来,由于受国际石油市场的影响,汽油价格不断上涨.请你根据下面的信息,帮小明计算今年5月份汽油的价格.
思路分析:
从对话内容中找出量与量之间的相等关系(即:
同样的钱加的油量不同),是列方程解应用题的关键.
解:
设今年5月份汽油价格为x元/升,则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升.根据题
意,得
整理,得x2-l.8x-14.4=0
解这个方程,得x1=4.8,x2=-3分
经检验两根都为原方程的根,但x2=-3不符合实际意义,故舍去.分
答:
今年5月份的汽油价格为4.8元/升.
重要提醒:
列分式方程解应用题应注意两点,一是要验根;二是要看结果是否符合题意.
例5在暑期社会实践活动中,小明所在小组的同学与一家玩具生产厂家联系,给该厂组装玩具,该厂同意他们组装240套玩具.这些玩具分为A、B、C三种型号,它们的数量比例以及每人每小时组装各种型号玩具的数量如图所示:
若每人组装同一种型号玩具的速度都相同,根据以上信息,完成下列填空:
(1)从上述统计图可知,A型玩具有套,B型玩具有套,C型玩具有套.
(2)若每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所画的时间相同,那么的值为,每人每小时能组装C型玩具套.
思路分析:
由扇形统计图可知,B型玩具占20%,C型玩具占25%,再由条形统计图中C型玩具每人每小时组装(2a-2)套,可求出a的值.
解:
(1)132,48,60,
(2)4,6,
重要提醒:
正确理解条形统计图和扇形统计图的特点是解题关键.
触类旁通:
如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图.教练组规定:
体能测试成绩70分以上(包括70分)为合格.
⑴请根据图11中所提供的信息填写右表:
⑵请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断:
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙,的体能测试成绩较好;
②依据平均数与中位数比较甲和乙,的体能测试成绩较好.
⑶依据折线统计图和成绩合格的次数,分析哪位运动员体能训练的效果较好.
平均数
中位数
体能测试成
绩合格次数
甲
65
乙
60
解:
⑴
平均数
中位数
体能测试成绩合格次数
甲
60
65
2
乙
60
57.5
4
⑵①乙;②甲
⑶从折线图上看,两名运动员体能测试成绩都呈上升趋势,但是,乙的增长速度比甲快,并且后一阶段乙的成绩合格次数比甲多,所以乙训练的效果较好.
【轻松演练】
1.右图是由9个等边三角形拼成的六边形,若已知中间的小
等边三角形的边长是a,则六边形的周长是3oa.
2.某品牌电饭锅成本价为70元,销售商对其销售量与定价的关系
进行了调查,结果如下:
定价(元)
100
110
120
130
140
150
销量(个)
80
100
110
100
80
60
为获最大利润,销售商应该将该品牌电饭锅定价为130元.
3.一个篮球需要m元,买一人排球需要n元,则买3个篮球和5个排球共需要_______元.
3m+5n
4.如图为了测量某建筑物AB的高度,在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°,沿CB方向前进12m到达D处,在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°,则建筑物AB的高度等于
A.6(+1)mB.6(—1)m
C.12(+1)mD.12(-1)m
5.如图是测量一物体体积的过程:
步骤一,将的水装进一个容量为的杯子中.
步骤二,将三个相同的玻璃球放入水中,结果水没有满.
步骤三,同样的玻璃球再加一个放入水中,结果水满溢出.
根据以上过程,推测一颗玻璃球的体积在下列哪一范围内?
A.以上,以下B.以上,以下
C.以上,以下D.以上,以下
A
E
C
B
D
甲
乙
第6题
6.如图,小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的点A和点E.C,E,A三点在同一条直线上,点B,E分别在点E,A的正下方且D,B,C三点在
同一条直线上.B,C相距20米,D,C相距40米,
乙楼高BE为15米,甲楼高AD为()米
(小明身高忽略不计).
A、40B、20C、15D、30
7.如示意图,小华家(点A处)和公路()之间竖立着一块
35m长且平行于公路的巨型广告牌(DE).广告牌挡住了
小华的视线,请在图中画出视点A的盲区,并将盲区
内的那段公路计为BC.一辆以60km/h匀速行驶的汽车
经过公路段的时间是3s,已知广告牌和公路的距离
是40m,求小华家到公路的距离(精确到1m).
133m
8.如图,“五一”期间在某商贸大厦上从点A到点B悬挂了
一条宣传条幅,小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上.
小明在四楼D点测得条幅端点A的仰角为30o,测得条幅端点B的俯角为45o;小雯在三楼C点测得条幅端点A的仰角为45o,测得条幅端点B的俯角为30o.若设楼层高度CD为3米,请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB的长.(结果精确到个位,参考数据=1.732)
解:
过D作DM⊥AE于M,过C作CN⊥AE于N,
则:
MN=CD=3米,设AM=x,则AN=x+3,
由题意:
∠ADM=30o,∠ACN=45o,
在Rt△ADM中,DM=AM·cot30o=x,
在Rt△ANC中,CN=AN=x+3,
又DM=CN=MB,
∴x=x+3,解之得,x=(+1),·
∴AB=AM+MB=x+x+3=2×(+1)+3=3+6≈11(米)
9.小明与小华在玩一个掷飞镖游戏,如图甲是一个把两个同心圆平均分成8份的靶,当飞镖掷中阴影部分时,小明胜,否则小华胜(没有掷中靶或掷到边界线时重掷).
(1)不考虑其他因素,你认为这个游戏公平吗?
说明理由.
(2)请你在图乙中,设计一个不同于图甲的方案,使游戏双方公平.
图甲
图乙
解:
(1)这个游戏公平.
根据图甲的对称性,阴影部分的面积等于圆面积的一半,
∴这个游戏公平.
(2)把图乙中的同心圆平均分成偶数等分,再把其中的一半作为阴影部分即可.
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