作业mapleWord格式.docx
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=0:
#初速度
A:
=sqrt(x[0]^2+v[0]^2/omega[0]^2):
#振幅
beta:
=-Pi/2:
#初相角
delta[st]:
=0.04:
g:
=9.8:
#已知条件
=eval(omega[0]):
=eval(A):
#振幅数值
=evalf(X,4);
#系统振动规律
答:
此弹簧质量系统的振动规律x=-0.04cos(15.65t)。
2.一个质量为m的物体在一根抗弯刚度为EJ﹑长为l的简支梁上作自由振动。
若此物体在梁未变形的位置无初速度释放,求系统自由振动的频率。
图2
●建模
mg,F。
物体作直线运动。
=m*diff(x(t),t$2)=m*g-#
k*(delta[st]+x):
=subs(diff(x(t),t$2)=DDx,#代换delta[st]=m*g/k,eq):
=subs(k=m*omega[0]^2,eq);
#系统的通解
#梁的刚度系数
=subs(delta[st]=(mgl^3)
/(48*E*J),omega[0]);
系统自由振动的频率为
。
3.如图3所示一质量为m、半径为r的圆柱铁桶,在半径为R的圆弧上作无滑动的滚动。
求圆柱铁桶在平衡位置附近作微小振动的固有频率。
系统受主动力:
mg,F1,F2。
圆桶运动为定轴转动。
图3
resart:
J[O1]:
=1/2*m*r^2:
#圆桶的转动惯量
v[O1]:
=(R-r)*Dtheta:
#圆桶中心O1线的速度vo1
omega:
=(R-r)*Dtheta/r:
#作纯滚动角速度ω
T:
=1/2*m*v[O1]^2+1/2*J[O1]*omega^2:
#系统的动能
V:
=m*g*(R-r)*(1-cos(theta)):
#系统的势能
=subs(cos(theta)=1-1/2*theta^2,V):
#微动时,势能
theta:
=A*sin(omega0*t+beta):
#θ的变化规律
Dtheta:
=diff(theta,t):
#θ的导数
Tmax:
=subs(cos(omega0*t+beta)=1,T):
#系统的最大动能
Vmax:
=subs(sin(omega0*t+beta)=1,V):
#系统的最大势能
=Tmax=Vmax:
#机械能守恒
solve({eq},{omega0});
#解方程
圆桶在平衡位置附近作微小振动的固有频率为
4.如图4所示弹簧质量系统,作水平方向的自由振动,求小车的固有频率。
图4
系统受回复力:
Kx。
小车作自由振动。
x:
#小车运动的变化规律
Dx:
=diff(x,t):
#x的导数
=1/2*m*(Dx)^2:
=1/2*K*x^2:
#系统的最大势能
eq1:
solve({eq1},{omega0});
小车在作往复运动的固有频率为
5.某精密设备用橡胶隔振器隔振,如图5所示。
已知系统的固有频率为3.8Hz。
橡胶隔振器的相对阻尼系数ζ=0.125。
如地面振动的垂直分量是正弦振动,振幅为0.002mm,最大振动速度为0.1256m/s。
试求设备的振幅。
●建模图5
设备受力:
mg,Fe。
设备作曲线运动。
B:
=a*sqrt(((1+(2*zeta*lambda)^2)#振幅
/9(1-lambda^2)^2+(2*lambda*zeta)^2)):
=v/a:
#地面振动频率
p:
=2*Pi*f:
#系统振动频率
lambda:
=omega/p:
#频率比
v:
=0.1256:
a:
=0.002:
f:
=3.8:
zeta:
=0.125:
B:
=evalf(B,4);
#垂直振幅数值
此设备的振幅为1.342mm.
6.一汽车在波形路面上行驶,其模型可以简化为如图6所示的图形。
路面的波形可以用函数
表示,其中振幅
波长
汽车的质量
,弹簧的刚度系数为
忽略阻尼,求汽车以15m/s匀速前进时,车体的垂直振幅?
汽车受主动力:
汽车作曲线运动。
图6
=y*t:
#汽车匀速行驶位移
y[1]:
=d*sin(2*Pi*x/l):
#路面波形方程
=subs(v=(omaga*l)/(2*Pi),y[1]):
=(2*Pi*v)/l:
#位移激振频率
omega0:
#系统的固有频率
s:
=omega/omega0:
etal:
=sqrt(1/(1-s^2)^2):
#位移传递率
b:
=etal*d:
#车体垂直振幅
=300000:
m:
=2500:
l:
=8:
d:
=0.050:
v:
=15:
=evalf(b,4);
车体的垂直振幅为31.84cm。
7.龙门起重机设计中,为避免在连续启动制动过程中引起的振动,要求每一次由于启动过程中或制动过程中引起的振动的衰减时间不得过长。
有如下规定:
起重质量不大于50吨的龙门起重机,在纵向水平振动时,振幅衰减到最大振幅的5%所需的时间应在25~30秒的范围。
如图7所示为一15吨的龙门起重机的示意图,在作纵向水平振动时,等效质量m=27.9kg.s2/cm。
水平方向刚度K=2000kg/cm.有实测得到对数减幅=0.10.试计算衰减时间,问是否符合要求。
●建模图7
mg,Fd。
#清零
T[d]:
=((1/f*delta)*Lambda):
#衰减时间
Lambda:
=ln(A[1]/A[j+1]):
#对数缩减
=subs((A[1]#代换
/A[j+1]=y,Lambda)):
f:
=(1/(2*Pi))*sqrt(K/m):
K:
=2000:
=27.9:
delta:
=0.10:
y:
=100/5:
=evalf(f,4);
#固有频率数值
=evalf(T[d],4);
所求的时间为22.24s在所求区间内满足要求,所以是符合要求的。
8.一个均质的细杆质量为m,长为l,如图所示,两个刚度系数皆为k的弹簧对称的作用在
轻质细杆上。
试求该系统的固有频率和固有振型。
●建模图8
已平衡位置为原点,只考虑沿铅垂方向的位移,分别以弹簧的两个支点的位移X1,X2为系统
的两个坐标。
细杆受力mg,Fe1和Fe2。
细杆作平面运动。
J[C]:
=m*l^2/12:
#均值细杆绕质心的转动惯量
F[1]:
=k*x[1]:
#弹簧恢复力Fe1
F[2]:
=k*x[2]:
#弹簧恢复力Fe2
x[C]:
=(x[1]+x[2])/2:
#细杆质心的坐标
phi:
=(x[1]-x[2])/d:
#细杆绕质心的微小转动
DDx[C]:
=(DDx[1]+DDx[2])/2:
#细杆质心加速度
DDphi:
=(DDx[1]-DDx[2])/d:
#细杆绕质心微小角加速度
=m*DDx[C]=-F[1]-F[2]:
#细杆的平面运动微分方程一
eq2:
=J[C]*DDphi=-F[1]#细杆的平面运动微分方程二
*d/2+F[2]*d/2:
=lhs(eq1)-rhs(eq1)=0:
=lhs(eq2)-rhs(eq2)=0:
=expand(2*eq1/m):
=expand(d*eq2/J[C]):
=subs(k=m*b/2,eq1):
=subs(k=c*(m*l^2)/(6*d^2),eq2):
x[1]:
=A*sin(omega*t+theta):
#设解
x[2]:
=B*sin(omega*t+theta):
DDx[1]:
=diff(x[1],t$2):
#X1对t的二阶导
DDx[2]:
=diff(x[2],t$2):
#X2对t的二阶导
eq3:
=simplify(eq1/sin(omega*t+theta)):
#化简
eq4:
=simplify(eq2/sin(omega*t+theta)):
=subs(B=A*nu,eq3):
=subs(B=A*nu,eq4):
=expand(eq3/A):
=expand(eq4/A):
=2*k/m:
#方程系数
c:
=(6*k*d^2)/(m*l^2):
solve({eq3,eq4},{nu,omega^2});
系统的固有频率
,
,对称主振型
和反对称主振型
9.已知:
,求如图10摆的运动方程。
●建模图9
小球作平面运动自由度f=1
取广义坐标φ
x[rho]:
=l:
#初始状态
x[phi]:
=l*phi:
#角度为φ时的位移
=subs(l=l(t),x[rho]):
=subs(phi=phi(t),x[phi]):
v[rho]:
=diff(x[rho],t):
#关于t的导数
v[phi]:
=diff(x[phi],t):
=vector([v[rho],v[phi]]):
#表示为矢量
v[A]:
=sqrt(v[rho]^2+v[phi]^2):
#任意点A速度大小
=1/2*m*v[A]^2:
#A点动能
=subs(diff(phi(t),t)=Dphi,#代换
phi(t)=phi,T):
=collect(T,Dphi):
#整理
T[Dphi]:
=diff(T,Dphi):
#φ的导数对T求导
T[phi]:
=diff(T,Dphi):
=subs(l=l[0]-v*t,#代换
Dphi=Dphi(t),T[Dphi]):
=-m*g*(l[0]-v*t)*cos(phi):
#速度表达式
Q[phi]:
=-diff(V,phi):
#φ对V的导数
=diff(T[Dphi],t)-T[phi]-Q[phi]=0:
#微分表达式一般式
=subs(diff(Dphi(t),t)=DDphi,#代换后的表达式
Dphi(t)=Dphi,eq):
=(l[0]-v*t)*DDphi-2*v*Dphi
+g*sin(phi)=0;
#最终形式
摆的运动方程为
10.吸引子的仿真。
以杜芬方程为例,杜芬方程表示如下:
把杜芬方程写成标准形式,令
求解微分方程
绘制杜芬方程相图
with(plots):
#加载绘图库
de1:
=diff(x(t),t)=y(t):
#杜芬方程标准方程一
de2:
=diff(y(t),t)=-a*x(t)#杜芬方程标准方程二
-b*x(t)^3-c*y(t)+A*cos(Omega*t):
a:
=-1:
b:
=1:
c:
=0.15:
#给定参数
A:
=0.3:
Omega:
duffing:
=dsolve({de1,de2,
y(0)=-0.5,x(0)=-1},{x(t),y(t)},type=numeric,method=lsode):
#求解微分方程
duffplot:
=odeplot(duffing,#微分方程求解结果绘图
[x(t),y(t)],0..200,numpoints=4000):
duffplot;
#绘制杜芬方程相图
二、学习Maple后的心得与体会
Maple是一门非常优秀的计算机数学软件,它在我们的工程学习中用途十分的广泛,特别对于我们学振动的学生来说作用是十分的明显。
它涉及到我们的单、双以及多自由度,有阻尼,无阻尼的振动分析,计算中的效果是显著地。
通过学习Maple,我不仅学到了一些编程的思想,以及一些模型的建设,而且还更一步加固了理论力学的学习,同时,Maple中的一些英语,还使我学到了许多英语单词。
虽然现在我刚刚学到了Maple的一点皮毛,但已经对我的学习提供了很大的便利。
我相信有Maple结合理论力学这条路是正确的而且是光明的,我一定要坚持下去,利用Maple更好的学习理论力学,而我相信Maple的作用远不止于此,我还要努力学习它的其他的功能,使其能够更好的为我今后的学习工作生活服务。
因而,在此应感谢李老师在这半学年对我们的悉心教诲。
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