高中数学必修二第二章点线面位置关系课后作业含答案.docx
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高中数学必修二第二章点线面位置关系课后作业含答案
必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
§2.1.1 平 面
一、基础过关
1.下列命题:
①书桌面是平面;
②有一个平面的长是50m,宽是20m;
③平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.
其中正确命题的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.0个
2.下列图形中,不一定是平面图形的是( )
A.三角形B.菱形C.梯形D.四边相等的四边形
3.空间中,可以确定一个平面的条件是( )
A.两条直线B.一点和一条直线C.一个三角形D.三个点
4.已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有( )
A.1条或2条B.2条或3条C.1条或3条D.1条或2条或3条
5.给出以下命题:
①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是________.
6.已知α∩β=m,a⊂α,b⊂β,a∩b=A,则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________.
7.如图,梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.
8.空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明此三条直线必相交于一点.
二、能力提升
9.空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( )
A.0B.1C.1或4D.无法确定
10.已知α、β为平面,A、B、M、N为点,a为直线,下列推理错误的是( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN
C.A∈α,A∈β⇒α∩β=AD.A、B、M∈α,A、B、M∈β,且A、B、M不共线⇒α、β重合
11.下列四个命题:
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点;②经过空间任意三点有且只有一个平面;
③过两平行直线有且只有一个平面;④在空间两两相交的三条直线必共面.
其中正确命题的序号是________.
12.如图所示,四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与平面α相交于E,F,G,H,求证:
E,F,G,H必在同一直线上.
三、探究与拓展
13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC、BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.
求证:
(1)C1、O、M三点共线;
(2)E、C、D1、F四点共面.
§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
一、基础过关
1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能
2.若AB∥A′B′,AC∥A′C′,则有( )
A.∠BAC=∠B′A′C′B.∠BAC+∠B′A′C′=180°
C.∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180°D.∠BAC>∠B′A′C′
3.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A.空间四边形B.矩形C.菱形D.正方形
4.“a、b为异面直线”是指:
①a∩b=∅,且aD\∥b;②a⊂面α,b⊂面β,且a∩b=∅;③a⊂面α,b⊂面β,且α∩β=∅;④a⊂面α,b⊄面α;⑤不存在面α,使a⊂面α,b⊂面α成立.
上述结论中,正确的是( )
A.①④⑤B.①③④C.②④D.①⑤
5.如果两条直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是________.
6.已知正方体ABCD—A′B′C′D′中:
(1)BC′与CD′所成的角为________;
(2)AD与BC′所成的角为________.
7.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC
AD,
BE
FA,G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明:
四边形BCHG是平行四边形;
(2)C、D、F、E四点是否共面?
为什么?
8.如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:
(1)BE与CG所成的角;
(2)FO与BD所成的角.
二、能力提升
9.如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M、N分别为AB、CD的中点,则下列结论正确的是
( )
A.MN≥(AC+BD)B.MN≤(AC+BD)C.MN=(AC+BD)D.MN<(AC+BD)
10.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )
A.12对B.24对C.36对D.48对
11.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
以上结论中正确的序号为________.
12.已知A是△BCD平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点,
(1)求证:
直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
三、探究与拓展
13.已知三棱锥A—BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M、N分别是BC、AD的中点,求直线AB和MN所成的角.
§2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
§2.1.4 平面与平面之间的位置关系
一、基础过关
1.已知直线a∥平面α,直线b⊂α,则a与b的位置关系是( )
A.相交B.平行C.异面D.平行或异面
2.直线l与平面α不平行,则( )
A.l与α相交B.l⊂αC.l与α相交或l⊂αD.以上结论都不对
3.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( )
A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交
4.如果平面α外有两点A、B,它们到平面α的距离都是a,则直线AB和平面α的位置关系一定是( )
A.平行B.相交C.平行或相交D.AB⊂α
5.直线a⊂平面α,直线b⊄平面α,则a,b的位置关系是________.
6.若a、b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是________.
7.平面α内有无数条直线与平面β平行,那么α∥β是否正确?
说明理由.
8.如图,直线a∥平面α,a⊂β,α∩β=b,求证:
a∥b.
二、能力提升
9.下列命题正确的是( )
A.若直线a在平面α外,则直线a∥α
B.若直线a与平面α有公共点,则a与α相交
C.若平面α内存在直线与平面β无交点,则α∥β
D.若平面α内的任意直线与平面β均无交点,则α∥β
10.教室内有一根直尺,无论怎样放置,在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线( )
A.异面B.相交C.平行D.垂直
11.若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等,且A、B、CD/∈α,则面ABC与面α的位置关系为________.
12.如图,平面α、β、γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.
三、探究与拓展
13.正方体ABCD—A1B1C1D1中,点Q是棱DD1上的动点,判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状.
§2.2 直线、平面平行的判定及其性质
§2.2.1 直线与平面平行的判定
一、基础过关
1.直线m∥平面α,直线n∥m,则( )
A.n∥αB.n与α相交C.n⊂αD.n∥α或n⊂α
2.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是( )
A.平行B.相交C.平行或相交D.不相交
3.已知a,b是两条相交直线,a∥α,则b与α的位置关系是( )
A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.b∥α或b与α相交
4.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( )
A.l∥αB.l⊥αC.l与α相交但不垂直D.l∥α或l⊂α
5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的面中:
(1)与直线AB平行的平面是______;
(2)与直线AA1平行的平面是______;
(3)与直线AD平行的平面是______.
6.已知不重合的直线a,b和平面α.
①若a∥α,b⊂α,则a∥b;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b⊂α,则a∥α;④若a∥b,a∥α,则b∥α或b⊂α,其中正确命题的个数是________.
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,求证:
BD1∥平面AEC.
8.如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点.求证:
AB∥平面DCF.
二、能力提升
9.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=EF∶FB=1∶3,则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A.平行B.相交C.在内D.不能确定
10.过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面( )
A.不存在B.只能作出一个C.能作出无数个D.以上都有可能
11.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条.
12.如图,在平行四边形ABCD中,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,F为线段A′C的中点.求证:
BF∥平面A′DE.
三、探究与拓展
13.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,BD上各有一点P,Q,且AP=DQ.求证:
PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)
§2.2.2 平面与平面平行的判定
一、基础过关
1.直线l∥平面α,直线m∥平面α,直线l与m相交于点P,且l与m确定的平面为β,则α与β的位置关系是( )
A.相交B.平行C.异面D.不确定
2.平面α与平面β平行的条件可以是( )
A.α内的一条直线与β平行B.α内的两条直线与β平行
C.α内的无数条直线与β平行D.α内的两条相交直线分别与β平行
3.给出下列结论,正确的有( )
①平行于同一条直线的两个平面平行;②平行于同一平面的两个平面平行;
③过平面外两点,不能作一个平面与已知平面平行;
④若a,b为异面直线,则过a与b平行的平面只有一个.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.若正n边形的两条对角线分别与面α平行,则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α,那么n的取值可能是( )
A.12B.8C.6D.5
5.已知平面α、β和直线a、b、c,且a∥b∥c,a⊂α,b、c⊂β,则α与β的关系是________.
6.有下列几个命题:
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等,则α∥β;
②α∩γ=a,α∩β=b,且a∥b(α,β,γ分别表示平面,a,b表示直线),则γ∥β;
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边,则α∥β;
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行,则α∥β.
其中正确的有________.(填序号)
7.如图所示,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF,求证:
AE∥平面DCF.
8.在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、E1、F1分别是AB、CD、
A1B1、C1D1的中点.
求证:
平面A1EFD1∥平面BCF1E1.
二、能力提升
9.α、β是两个不重合的平面,a、b是两条不同的直线,在下列条件下,可判定α∥β的是( )
A.α,β都平行于直线a、b
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.a,b是α内两条直线,且a∥β,b∥β
D.a、b是两条异面直线,且a∥α,b∥α,a∥β,b∥β
10.正方体EFGH—E1F1G1H1中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是( )
A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G
11.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足________时,有MN∥平面B1BDD1.
12.已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的
中点.
求证:
(1)E、F、D、B四点共面;
(2)平面AMN∥平面EFDB.
三、探究与拓展
13.如图所示,B为△ACD所在平面外一点,M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心.
(1)求证:
平面MNG∥平面ACD;
(2)求S△MNG∶S△ADC.
§2.2.3 直线与平面平行的性质
一、基础过关
1.a,b是两条异面直线,P是空间一点,过P作平面与a,b都平行,这样的平面( )
A.只有一个B.至多有两个C.不一定有D.有无数个
2.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为( )
A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°
3.如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H,则HG与AB的位置关系是( )
A.平行B.相交C.异面D.平行和异面
4.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.没有
5.设m、n是平面α外的两条直线,给出三个论断:
①m∥n;②m∥α;③n∥α.以其中的两个为条件,余下的一个为结论,构造三个命题,写出你认为正确的一个命题:
______________.(用序号表示)
6.如图所示,ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=________.
7.ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:
AP∥GH.
8.如图所示,三棱锥A—BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH.
求证:
CD∥平面EFGH.
二、能力提升
9.如图所示,平面α∩β=l1,α∩γ=l2,β∩γ=l3,l1∥l2,下列说法正确的是( )
A.l1平行于l3,且l2平行于l3B.l1平行于l3,且l2不平行于l3
C.l1不平行于l3,且l2不平行于l3D.l1不平行于l3,但l2平行于l3
10.如图所示,已知A、B、C、D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG的形状是________.
10题图 11题图
11.如图所示,在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是四边上的点,它们共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB=________.
12.如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别为AB、PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
(1)求证:
BC∥l;
(2)MN与平面PAD是否平行?
试证明你的结论.
三、探究与拓展
13.如图所示,三棱柱ABC—A1B1C1,D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点,求证:
平面A1BD1∥平面AC1D.
§2.2.4 平面与平面平行的性质
一、基础过关
1.已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交线为直线b,则a、b的位置关系是( )
A.平行B.相交C.异面D.不确定
2.已知a、b表示直线,α、β表示平面,下列推理正确的是( )
A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥bB.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且b∥β
C.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥β
D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b
3.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′,若PA′∶AA′=2∶3,则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A.2∶25B.4∶25C.2∶5D.4∶5
4.α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不同的直线,则有下列命题,不正确的是( )
①⇒a∥b;②⇒a∥b;③⇒α∥β;
④⇒α∥β;⑤⇒α∥a;⑥⇒a∥α.
A.④⑥B.②③⑥C.②③⑤⑥D.②③
5.分别在两个平行平面的两个三角形.(填“相似”“全等”)
(1)若对应顶点的连线共点,那么这两个三角形具有______关系;
(2)若对应顶点的连线互相平行,那么这两个三角形具有________关系.
6.已知平面α∥β∥γ,两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB=6,=,则AC=______.
7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.
求证:
N为AC的中点.
8.如图所示,在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?
并证明你的结论.
二、能力提升
9.设α∥β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A、B分别在平面α、β内运动时,得到无数个AB的中点C,那么所有的动点C( )
A.不共面
B.当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C.当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D.不论A、B如何移动,都共面
10.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为( )
A.16B.24或C.14D.20
11.对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件:
①存在平面γ,使得α、β都垂直于γ;②存在平面γ,使α、β都平行于γ;③α内有不共线的三点到β的距离相等;④存在异面直线l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个.
12.如图所示,平面α∥平面β,△ABC、△A′B′C′分别在α、β内,线段AA′、BB′、CC′共点于O,O在α、β之间,若AB=2,AC=1,∠BAC=90°,OA∶OA′=3∶2.
求△A′B′C′的面积.
三、探究与拓展
13.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,能否确定截面的形状?
如果能,求出截面的面积.
§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
§2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、基础过关
1.已知直线a∥b,平面α∥β,a⊥α,则b与β的位置关系是( )
A.b⊥βB.b∥βC.b⊂βD.b⊂β或b∥β
2.直线a⊥直线b,b⊥平面β,则a与β的关系是( )
A.a⊥βB.a∥βC.a⊂βD.a⊂β或a∥β
3.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交
4.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.无法确定
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________;
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________;
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______.
6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN=______.
7.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是棱B1C1、B1B的中点.
求证:
CF⊥平面EAB.
8.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点,PA=AD.
求证:
(1)CD⊥PD;
(2)EF⊥平面PCD.
二、能力提升
9.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
10.已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( )
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
11.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件________时,有AB1⊥BC1(注:
填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).
12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,O为ABCD的中心,求证:
B1O⊥平面PAC.
三、探究与拓展
13.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2,A、B两点在α内的射影之间距离为,求直线AB和平面α所成的角.
§2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、基础过关
1.过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A.有且只有一个B.有无数个C.一个或无数个D.可能不存在
2.不能肯定两个平面一定垂直的情况是( )
A.两个平面相交,所成二面角是直二面角
B.一个平面经过另一个平面的一条垂线
C.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
D.平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的
3.设有直线m、n和平面α、β,则下列结论中正确的是(
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