人教版本初中九年级的数学上册的学习知识点总结计划docx.docx
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人教版九年级数学上册知识点总结
21.1一元二次方程
知识点一一元二次方程的定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
注意一下几点:
①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式
一般形式:
ax2+bx+c=0(a≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
知识点三一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
典型例题:
m21
1、已知关于x的方程(m+3)x
+(m-3)-1=0是一元二次方程,求m的值。
21.2降次——解一元二次方程
21.2.1配方法
知识点一直接开平方法解一元二次方程
(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方
另一边是非负数,可以
直接开平方。
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得
x=
x
=
a
.
1a
2
(2)直接开平方法适用于解形如
x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,
就可以利用直接开平方法。
(3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的
平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:
①移项;
②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:
一移、二除、三配、四开。
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)方程两边都除以二次项系数;
(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;(4)若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
21.2.2公式法
1/22
知识点一公式法解一元二次方程
(1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两
bb
2
4ac
个根为x=
这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根
2a
公式,我们可以由一元二方程的系数
a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方
程的方法叫做公式法。
(2)一元二次方程求根公式的推导过程
就是用配方法解一般形式的一元二次方
程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
(3)公式法解一元二次方程的具体步骤:
①方程化为一般形式:
ax2+bx+c=0(a≠0),一般a化为正值②确定公式中a,b,c的值,注意符号;
③求出b2-4ac的值;
④若b2-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac<0,则方程无实数根。
知识点二一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它,
即△=b2-4ac.
△>0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
一元二次方程△=0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根根的判别式
△<0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
21.2.3因式分解法
知识点一因式分解法解一元二次方程
(1)把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化
为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。
(2)因式分解法的详细步骤:
①移项,将所有的项都移到左边,右边化为0;
②把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公
式和完全平方公式;
③令每一个因式分别为零,得到一元一次方程;
④解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二用合适的方法解一元一次方程
方法名称理论依据适用范围
2/22
x)2=b。
b,平均增长率或平均降低率为
直接开平方法平方根的意义形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
配方法
所有一元二次方程
因式分解法
当ab=0,则a=0或b=0
一边为0,另一边易于分解成两个一次
因式的积的一元二次方程。
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=b,x1x2=c
aa
22.3实际问题与一元二次方程
知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)审:
是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之
间的等量关系。
(2)设:
是指设元,也就是设出未知数。
(3)列:
列方程是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含
义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程。
(4)解:
就是解方程,求出未知数的值。
(5)验:
是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。
(6)答:
写出答案。
知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型
(1)数字问题
三个连续整数:
若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1。
三个连续偶数(奇数):
若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法:
设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是
100a+10b+c.
(2)增长率问题
设初始量为a,终止量为x,则经过两次的增长或降低
后的等量关系为a(1(3)利润问题
利润问题常用的相等关系式有:
①总利润=总销售价-总成本;
②总利润=单位利润×总销售量;
3/22
③利润=成本×利润率
(4)图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来,建立一元二次方程。
中考回顾
1.(2017
四川绵阳中考)关于x的方程
2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为(
C
)
A.-8
B.8
C.16
D.-16
2.(2017
新疆中考)已知关于x的方程x2+x-a=0
的一个根为2,则另一个根是(A)
A.-3
B.-2
C.3
D.6
3.(2017
河南中考)一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是(
B)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
4.(2017
1
2
2
2
1
的值是15.
青海西宁中考)若x,x是一元二次方程
x+3x-5=0的两个根
则x+x
5.(2017
内蒙古赤峰中考)如果关于
x的方程
x2-4x+2m=0
有两个不相等的实数根
那么m的取值范围是
m<2.
21
6.(2017
四川成都中考)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-5x+a=
0的两个实数根,且
=10,则a=
4
模拟预测
1.方程x2+x-12=0的两个根为(
D)
A.x=-2,x=6
B.x=-6,x=2
1
2
1
2
C.x1=-3,x2=4
D.x1=-4,x2=3
2.对形如(x+m)2=n的方程,下列说法正确的是(C
)
A.都可以用直接开平方得
x=-m±
B.都可以用直接开平方得
x=-n±
C.当n≥0时,直接开平方得
x=-m±
D.当n≥0时,直接开平方得x=-n±
3.三角形的两边长分别为
2和6,第三边是方程x2-10x+21=0
的解,则第三边的长为(
A)
A.7
B.3
C.7或3
D.无法确定
4.为解决群众看病贵的问题
有关部门决定降低药价
对某种原价为
289元的药品进行连续两次降价后为
256元,
设平均每次降价的百分率为
x,则下面所列方程正确的是
(A)
A.289(1-x)2=256
B.256(1-x)2=289
C.289(1-2x)=256
D.256(1-2x)=289
5.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m的值等于(
)
A.1
B.2
C.1或2
D.0
解析:
由常数项为零,知m2
1
2
-3m+2=0,解之,得m=1,m
=2.又二次项系数m-1≠0,所以m≠1.综上可知,m=2.故选B.
6.若关于x的一元二次方程
x2-3x-2a=0有两个实数根,则a可取的最大负整数为
.
解析:
由题意可知Δ=9+8a≥0,故a≥-
所以a可取的最大负整数为-1.
7.已知x1,x2是关于x的一元二次方程
x2-(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足x1+x2=m2,则m的值
是
.
解析:
因为一元二次方程有两个不相等的实数根
所以[-(2m+3)]2-4m2>0,即m>-
;由根与系数的关系可知
x+x
2
=2m+3,所以2m+3=m
2
得m
=-1,m=3,故m=3.
1
1
2
8.某地特产专卖店销售核桃
其进价为
40元/千克,如果按60元/千克出售,那么平均每天可售出
100kg.后来经过
市场调查发现,单价每降低
2元,则平均每天的销售量可增加
20kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利
2240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元
?
(2)在平均每天获利不变的情况下
为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售
?
(1)设每千克核桃应降价x元,根据题意,得
(60-x-40)=2240.
4/22
化简,得x2-10x+24=0.
解得x1=4,x2=6.
答:
每千克核桃应降价
4元或6元.
(2)由
(1)可知每千克核桃可降价
4元或6元,因为要尽可能让利于顾客
所以每千克核桃应降价
6元.此时,
售价为60-6=54(元),所以
100%=90%.
答:
该店应按原售价的九折出售.
5/22
第22章二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分基础知识
1.定义:
一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数.
2.二次函数yax2的性质
(1)抛物线y
ax2的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.
(2)函数y
ax2的图像与a的符号关系.
①当a
0时
抛物线开口向上
顶点为其最低点;
②当a
0时
抛物线开口向下
顶点为其最高点.
(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为
yax
2(
a
)
0.
3.二次函数
y
ax2
bx
c的图像是对称轴平行于(包括重合)
y轴的抛物线.
4.二次函数yax2
bx
c用配方法可化成:
yax
h2
k的形式,其中h
b,k
4acb2
.
2a
4a
5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①yax2;②yax2k;③yaxh2;④yaxh2k;⑤yax2bxc.
6.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向:
当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;
a越大,抛物线的开口越小;a越小,抛物线的开口越大。
②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地,y轴记作直线x0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
2
2
(1)公式法:
yax2
bx
c
ax
b
4acb
2a
4a
∴顶点是(
b
4ac
b2
),对称轴是直线
x
b
.
2a
,
2a
4a
(2)配方法:
运用配方的方法
将抛物线的解析式化为
yaxh2
k的形式,得
到顶点为(h,k),对称轴是直线x
h.
6/22
(3)抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称点的
连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
9.抛物线yax2bxc中,a,b,c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小,这与yax2中的a完全一样.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直
线
xb,故:
①b0时,对称轴为y轴;②b0(即a、b同号)时,对称轴在
2aa
y轴左侧;③b0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧,“左同右异”.
a
(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.
当x0时,yc,∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0,c):
①c0,抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴;③c0,与y轴交于负
半轴.
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
yax2
当a
0时
(y轴)x0
(0,0)
yax2
k
开口向上
x0(y轴)
(0,
k)
yax
h2
xh
(h,0)
yaxh2
k
当a
0时
xh
(h,k)
yax2
bx
c
开口向下
b
(
b
4ac
b
2
x
2a
,
)
2a
4a
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:
y
ax2
bx
c.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:
y
ax
h2
k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:
已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:
yaxx1xx2.
7/22
12.直线与抛物线的交点
(1)y轴与抛物线y
ax2
bx
c得交点为(0,c).
(2)与y轴平行的直线x
h与抛物线yax2
bxc有且只有一个交点
(h,ah2
bh
c).
(3)抛物线与x轴的交点
二次函数y
ax2
bx
c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元
二次方程ax2
bx
c
0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应
的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点
0
抛物线与x轴相交;
②有一个交点(顶点在x轴上)
0抛物线与x轴相切;
③没有交点
0
抛物线与x轴相离.
(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有
0个交点、1
个交点、2个交点.当有2个交点时,两交
点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax2
bx
c
k的两个实数根.
(5)一次函数y
kx
nk
0
的图像l与二次函数y
ax2
bx
ca0的图像G的
交点,由方程组
y
kx
n
y
ax2
的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的
bxc
解时
l与G有两个交点;
②方程组只有一组解时
l与G只有一个交点;
③方程组无解时
l与G没有交点.
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:
若抛物线
yax2
bx
c与x轴两交点为
Ax,,Bx,
由于x1、x2
是方程ax
2
bxc
0
的两个根,故
10
20
x1x2
b,x1x2
c
a
a
b
2
b2
4ac
ABx1
x2
x1
2
x1
2
4x1x2
4c
x2
x2
a
a
a
a
中考回顾
1.(2017天津中考)已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M
平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为(A)
A.y=x2+2x+1B.y=x2+2x-1C.y=x2-2x+1D.y=x2-2x-1
2.(2017四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,
8/22
下列说法正确的是(B)
A.abc<0,b2-4ac>0
B.abc>0,b2-4ac>0
C.abc<0,b2-4ac<0
D.abc>0,b2-4ac<0
3.(2017
内蒙古赤峰中考
)如果关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根
那么m的取值范围是
m<2
.
4.(2017
内蒙古赤峰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标
为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).
备用图
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;
(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x
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