配套K12八年级数学上册第一二章知识点整理.docx
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配套K12八年级数学上册第一二章知识点整理
八年级数学上册第一二章知识点整理
勾股定理
一、思维导图
二、易错题
、满足a²+b²=c²的三个正整数,称为___,比如:
5,12,___。
解:
勾股数;√5²+12²=13
2、在△ABc中,AB=15,Ac=13,高AD=12,则△ABc的周长是___。
解:
应分两种情况说明:
(1)当△ABc为锐角三角形时,在Rt△ABD中,BD=√(AB²-AD²)=√(15²-12²)=9,
在Rt△AcD中,cD=√(Ac²-AD²)=√(13²-12²)=5,∴Bc=5+9=14
∴△ABc的周长为:
15+13+14=42;
(2)当△ABc为钝角三角形时,高AD交Bc延长线于D
在Rt△ABD中,BD=√(AB²-AD²)=√(15²-12²)=9.
在Rt△AcD中,cD=√(Ac²-AD²)=√(13²-12²)=5
∴Bc=9-5=4
∴△ABc的周长为:
15+13+4=32
综上,当△ABc为锐角三角形时,△ABc的周长为42;
当△ABc为钝角三角形时,△ABc的周长为32.
3、在一个圆柱形灯罩侧面上缠绕彩带,如图(灯罩的俯视图),已知灯罩高108cm,底面周长为36cm,如果在灯罩侧面缠绕彩带4圈,最少需要彩纸多长?
那么绕n圈呢?
解:
(1)∵缠绕灯罩4圈,且高108cm
∴一圈高:
108÷4=27cm
∴一圈彩带长:
√27²+√36²=45cm
∴四圈彩带总长:
45×4=180cm
(2)∵绕n圈,且高108cm
∴一圈高:
108÷n(cm)
∴一圈彩带长:
√(108÷n)²+36²
∴彩带总长:
n×√(108÷n)²+36²=36×√n²+9
4、在正方形ABcD中,E是Bc中点,F为cD上一点,且DF=3cF,判断AE和EF的位置关系。
证:
连AF。
设DF=3x,cF=x
∴AD=AB=Dc=Bc=x+3x=4x
∴BE=Ec=2x
∵∠B=∠c=∠D=90°
∴AE²=(2x)2+(4x)2=20x²
EF²=x²+(2x)²=5x²
AF²=(3x)²+(4x)²=25²
∴AE²+EF²=AF²
∴AE⊥EF
5、如图,在△ABc中,∠B=90°,两直角边AB=7,Bc=24,在三角形内有一点P,使P到各边距离相等。
与Ac,cB,AB的交点为G,F,E。
则这个距离为___。
解:
∵∠B=90°
∴Ac=√AB²+Bc²=√7²+24²=25
连cP,PA,BP,设GA=x,则EA=x
BE=7-x=EB,cF=cG=17+x
∴17+x+x=25
x=4
∴这个距离为7-4=3
6、在△ABc中,∠B=22.5°,∠c=60°,AB的垂直平分线交Bc于D,BD²=72,AE⊥Bc于E,求Ec²。
解:
∵AB的中垂线为FD
∴∠B=22.5°=∠BAD,∴∠ADc=45°,∴DE=EA
BD²=AD²=72,∵AE⊥Dc,∴AE²+DE²=72
∴AE²=DE²=36
∵∠c=60°,∴∠EAc=30°
设Ec²=x²,则Ac²=²=4x²
X²+36=4x²
X²=12
∴Ec²=12
7、正方形ABcD的边长为8,m在AB上,Bm=2,对角线Ac上有一动点P,求Pm+PB的最小值。
解:
连接mD。
做m关于Ac的对称点E交AD于E。
∵mB=2
∴ED=2
最小值为BE。
∵∠A=90°
∴BE=√(8-2)²+8²=10
∴Pm+PB最小值为10
8、一个梯子AB长2.5m,顶端A靠在墙Ac上。
这时梯子下端B与墙角c距离为1.5m,梯子向右水平滑动0.5m停在DE位置上,求梯子顶端A向下滑动了多少米?
解∵∠c=90°,
∴AB²=Ac²+Bc²,DE²=Ec²+cD²
∴2.5²=Ac²+1.5²,2.5²=Ec²+(1.5+0.5)²,
∴Ac=2m,Ec=1.5m,
∴AE=Ac-Ec=2-1.5=0.5(m),
9、将一根长24cm的筷子置于底面直径5cm,高12cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外的长度为h(cm),则h的取值范围是___。
解:
当筷子与杯底垂直时h最大,h最大=24-12=12cm.
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小,此时,杯内筷子长=√5²+12²=13cm
∴h=24-13=11cm.
∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm
0、一张矩形纸片ABcD的长AD=9cm,宽AB=3cm,折叠后,使得点D与点B重合,c与G重合,求折叠后BE的长和折痕EF的长。
解:
∵折叠后D与B重合
∴ED=BE
cF=cG,AB=Dc=3cm
设Fc=x(cm),则BF=9-xcm,GF=x(cm)
∵∠A=∠B=∠c=∠D=∠G=90°
∴BF²=BG²+GF²
²=3²+x²
∴x=4
BF=9-4=5cm
又∠BEF=∠DEF=∠EFB
∴BE=BF=5cm
作FH⊥AD交AD于H,Fc=HD=3,EH=9-3-5=1cm
∵∠FHE=90°
∴EF=√1²+3²=√10(cm)
三、思考题
、
如图,△ABc为等腰三角形,c为直角顶点,D1,D2,D3......Dn-1是cB边上的n等分点,从c作AD1的垂线,分别交AD1,AD2,AD3........ADn-1AB于P1,P2,P3,......Pn-1,Pn点,连接PnDn-1,求证:
∠AD1c=∠BDn-1Pn。
2、如图,等边三角形ABc的边长a=25+12根号3,P是三角形ABc内的一点,若PA2+PB2=Pc2。
若Pc=5,求PA、PB的长。
3、如图大小两个半圆它们的直径在同一直线上弦AB与小半圆相切且与直径平行弦AB长12厘米图中阴影部分面积是多少?
4、已知P,Q均为质数,切满足5P2+3Q=59.则以P+3,1-P+Q,2P+Q-4为边长的三角形是什么三角形?
5、如图,△ABc中三条角平分线交于点o,已知AB<Bc<cA,求证:
oc>oA>oB。
6、将长为2n(n为自然数且n≥4)的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形,记(a,b,c)为三边长分别是a,b,c且满足a<b<c的一个三角形,就n=6的情况,分别写出所有满足题意的(a,b,c)所构成的三角形是什么三角形?
7、如图,RT△ABc中,D是Ac中点,DE⊥AB与E,求证:
BE2-AE2=Bc2
实数
一、思维导图
.无理数定义:
无限不循环小数
2.实数的分类:
分为有理数和无理数。
有理数分为:
正有理数、负有理数、零
3.算术平方根:
若一个正数x的平方等于a,即x²=a,则这个正数x为a的算术平方根。
a的算术平方根记作,读作“根号a”,a叫做被开方数。
规定:
0的算术平方根为0。
4.平方根:
如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么这个数x就叫做a的平方根。
5.二次根式的定义:
一般形如(a≥0)的代数式叫做二次根式,其中,a叫做被开方数,被开方数必须大于或等于0。
6.最简二次根式满足:
①.分母中不含根号=根号下没有分母=根号下没有分数
②.根号下不含可以开得尽方的数
7.同类二次根式:
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。
8.2=a =a
①二次根式的乘法法则:
×
两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.
②积的算术平方根的性质:
两个非负数的积的算术平方根,等于这两个因数的算术平方根的乘积.
③二次根式的除法法则:
=
两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.
④商的算术平方根的性质:
=
二、易错题
.已知:
y=x-+2,求-.
解:
∵x-2≥0,2-x≥0
∴x=2,y=×2-0+0=1
将x=2,y=1代入所求式,得
原式==3-3=0
2、下列说法:
①只有正数才有平方根;②-2是4的平方根;③5的平方根是;④±都是3的平方根;⑤的平方根是-2,其中正确的是(
)
A.①②③
B.③④⑤
c.③④
D.②④
解:
错误原因①:
0的平方根为0
③:
5的平方根为±
⑤:
的平方根是2(任何非负数的平方根为非负数)
故选D
3、若与互为相反数,求的值.
解:
∵≥0,≥0.
又∵、互为相反数
∴==0
即
a-b+2=0
b=
a+b-1=0
解得
a=-
代入原式,得
原式===-2
答:
所求式的值为-2
4、已知0
解:
原式可化为
∵01
∴x-<0
∴原式=x++x-=2x
5、先化简,再求值.-,其中x=4,y=27.
解:
原式=6
=-
6、已知,2m+1的平方根是±3,的算数平方根是2,求m+2n的平方根.
解:
由题意,得
2m+1=
=
解得,m=4,n=18
∴m+2n=40
故m+2n的平方根为.
7、使+有意义的x的取值范围是(
)
A.x≥0
B.x≠2
c.x>2
D.x≥0且x≠2
解:
使有意义的x的取值范围是x≥0,
使有意义的x的取值范围是x-2≠0,x-2>0.
综上,使+有意义的x的取值范围是x>2.
8、
已知,且,求x+y的值.
解:
∵≥0,≥0
又∵
∴=2,=1
又∵,即x-y≤0
∴或.
∴x+y=-1或2
9、
下列各式计算正确的是(
)
A、
B、
c、
D、(x>0,y≥0)
解:
错因:
A.应为
B.应为
c.应为
故选D
0、
是否存在正整数a、b(a
解:
存在.
,因为只有同类二次根式才能合并,所以
是同类二次根式.
设
所以m+n=6,又a,b,a
解得
=
即
=
可得.
三、思考题
.
设x、y为正有理数,,为无理数,求证:
+为无理数。
2.
设x,y及+为整数,证明:
,为整数。
3.
若实数x,y满足3+5︱y︱=7,求S=2-3︱y︱的取值范围。
4.
有下列三个命题:
(甲)
若a,b是不相等的无理数,则ab+a-b是无理数。
(乙)
若a,b是不相等的无理数,则是无理数。
(丙)
若a,b是不相等的无理数,则+是无理数。
其中正确命题的个数为(
)
(A)0
(B)1
(c)2
(D)3
5.2=
6.计算
7.计算
8.已知整数x,y满足,那么整数对(x,y)的个数是
9.已知a,b,c为正整数,且为有理数,证明:
为整数。
0.已知实数x,y满足(,求证:
x+y=0。
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