一元二次方程单点突破.docx
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一元二次方程单点突破
一元二次方程知识框架
22.1一元二次方程
例1.将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
例2.(学生活动:
请二至三位同学上台演练)将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.
例3.求证:
关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
作业设计
一、选择题
1.在下列方程中,一元二次方程的个数是().
①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-1④3x2-
=0
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.方程2x2=3(x-6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为().
A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6
3.px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程,则().
A.p=1B.p>0C.p≠0D.p为任意实数
二、填空题
1.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________,一次项系数为_________,常数项为_________.
2.一元二次方程的一般形式是__________.
3.关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程,则a的取值范围是________.
三、综合提高题
1.a满足什么条件时,关于x的方程a(x2+x)=
x-(x+1)是一元二次方程?
2.关于x的方程(2m2+m)xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗?
为什么?
3.一块矩形铁片,面积为1m2,长比宽多3m,求铁片的长,小明在做这道题时,是这样做的:
设铁片的长为x,列出的方程为x(x-3)=1,整理得:
x2-3x-1=0.小明列出方程后,想知道铁片的长到底是多少,下面是他的探索过程:
第一步:
x
1
2
3
4
x2-3x-1
-3
-3
所以,________ 第二步: x 3.1 3.2 3.3 3.4 x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以,________ (1)请你帮小明填完空格,完成他未完成的部分; (2)通过以上探索,估计出矩形铁片的整数部分为_______,十分位为______. 22.1一元二次方程 例1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗? (1)x2-64=0 (2)3x2-6=0(3)x2-3x=0 例3.要剪一块面积为150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm,这块铁片应该怎样剪? 设长为xcm,则宽为(x-5)cm 列方程x(x-5)=150,即x2-5x-150=0 请根据列方程回答以下问题: (1)x可能小于5吗? 可能等于10吗? 说说你的理由. (2)完成下表: x 10 11 12 13 14 15 16 17 … x2-5x-150 (3)你知道铁片的长x是多少吗? 作业设计 一、选择题 1.方程x(x-1)=2的两根为(). A.x1=0,x2=1B.x1=0,x2=-1C.x1=1,x2=2D.x1=-1,x2=2 2.方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是(). A.x1=b,x2=aB.x1=b,x2= C.x1=a,x2= D.x1=a2,x2=b2 3.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根(b≠0),则 =(). A.1B.-1C.0D.2 二、填空题 1.如果x2-81=0,那么x2-81=0的两个根分别是x1=________,x2=__________. 2.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________. 3.方程(x+1)2+ x(x+1)=0,那么方程的根x1=______;x2=________. 三、综合提高题 1.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根,求(a-b)2+4ab的值. 2.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证: -1必是该方程的一个根. 3.在一次数学课外活动中,小明给全班同学演示了一个有趣的变形,即在( )2-2x +1=0,令 =y,则有y2-2y+1=0,根据上述变形数学思想(换元法),解决小明给出的问题: 在(x2-1)2+(x2-1)=0中,求出(x2-1)2+(x2-1)=0的根. 22.2.1直接开平方法 例1: 解方程: x2+4x+4=1 例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率. 例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少? 一、选择题 1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是(). A.p=4,q=2B.p=4,q=-2C.p=-4,q=2D.p=-4,q=-2 2.方程3x2+9=0的根为(). A.3B.-3C.±3D.无实数根 3.用配方法解方程x2- x+1=0正确的解法是(). A.(x- )2= ,x= ± B.(x- )2=- ,原方程无解 C.(x- )2= ,x1= + ,x2= D.(x- )2=1,x1= ,x2=- 二、填空题 1.若8x2-16=0,则x的值是_________. 2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________. 3.如果a、b为实数,满足 +b2-12b+36=0,那么ab的值是_______. 三、综合提高题 1.解关于x的方程(x+m)2=n. 2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m. (1)鸡场的面积能达到180m2吗? 能达到200m吗? (2)鸡场的面积能达到210m2吗? 3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗? 22.2.2配方法 例1.按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题. 例2.解下列关于x的方程 (1)x2+2x-35=0 (2)2x2-4x-1=0 例3.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8m,CB=6m,点P、Q同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半. 一、选择题 1.将二次三项式x2-4x+1配方后得(). A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-3 2.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是(). A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1 C.x2+8x+42=1D.x2-4x+4=-11 3.如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关于x的完全平方式,则m等于(). A.1B.-1C.1或9D.-1或9 二、填空题1.方程x2+4x-5=0的解是________. 2.代数式 的值为0,则x的值为________. 3.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,若设x+y=z,则原方程可变为_______,所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为______. 三、综合提高题 1.已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长. 2.如果x2-4x+y2+6y+ +13=0,求(xy)z的值. 3.新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元,市场调研表明: 当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降50元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元,每台冰箱的定价应为多少元? 22.2.2配方法 例1.解下列方程 (1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0 例2.用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6 一、选择题 1.配方法解方程2x2- x-2=0应把它先变形为(). A.(x- )2= B.(x- )2=0 C.(x- )2= D.(x- )2= 2.下列方程中,一定有实数解的是(). A.x2+1=0B.(2x+1)2=0 C.(2x+1)2+3=0D.( x-a)2=a 3.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是(). A.1B.2C.-1D.-2 二、填空题 1.如果x2+4x-5=0,则x=_______. 2.无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数. 3.如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x与y的关系是________. 三、综合提高题 1.用配方法解方程. (1)9y2-18y-4=0 (2)x2+3=2 x 2.已知: x2+4x+y2-6y+13=0,求 的值. 3.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多售出2件. ①若商场平均每天赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? ②每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多? 请你设计销售方案. 22.2.3公式法 例1.用公式法解下列方程. (1)2x2-4x-1=0 (2)5x+2=3x2 (3)(x-2)(3x-5)=0(4)4x2-3x+1=0 例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1) +(m-2)x-1=0提出了下列问题. (1)若使方程为一元二次方程,m是否存在? 若存在,求出m并解此方程. (2)若使方程为一元二次方程m是否存在? 若存在,请求出. 你能解决这个问题吗? 一、选择题 1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到(). A.x= B.x= C.x= D.x= 2.方程 x2+4 x+6 =0的根是(). A.x1= ,x2= B.x1=6,x2= C.x1=2 ,x2= D.x1=x2=- 3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是(). A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 二、填空题 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________,条件是________. 2.当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4. 3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____. 三、综合提高题 1.用公式法解关于x的方程: x2-2ax-b2+a2=0. 2.设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根, (1)试推导x1+x2=- ,x1·x2= ; (2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值. 3.某电厂规定: 该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时 元收费. (1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元? (用A表示) (2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况 月份 用电量(千瓦时) 交电费总金额(元) 3 80 25 4 45 10 根据上表数据,求电厂规定的A值为多少? 22.2.4判别一元二次方程根的情况 例1.不解方程,判定方程根的情况 (1)16x2+8x=-3 (2)9x2+6x+1=0 (3)2x2-9x+8=0(4)x2-7x-18=0 三、巩固练习 不解方程判定下列方程根的情况: (1)x2+10x+26=0 (2)x2-x- =0 (3)3x2+6x-5=0(4)4x2-x+ =0 (5)x2- x- =0(6)4x2-6x=0 (7)x(2x-4)=5-8x 四、应用拓展 例2.若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集(用含a的式子表示). 第五课时作业设计 一、选择题 1.以下是方程3x2-2x=-1的解的情况,其中正确的有(). A.∵b2-4ac=-8,∴方程有解 B.∵b2-4ac=-8,∴方程无解 C.∵b2-4ac=8,∴方程有解 D.∵b2-4ac=8,∴方程无解 2.一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等,则a的值为(). A.a=0B.a=2或a=-2 C.a=2D.a=2或a=0 3.已知k≠1,一元二次方程(k-1)x2+kx+1=0有根,则k的取值范围是(). A.k≠2B.k>2C.k<2且k≠1D.k为一切实数 二、填空题 1.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数,则p与q的关系是________. 2.不解方程,判定2x2-3=4x的根的情况是______(填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”). 3.已知b≠0,不解方程,试判定关于x的一元二次方程x2-(2a+b)x+(a+ab-2b2)=0的根的情况是________. 三、综合提高题 1.不解方程,试判定下列方程根的情况. (1)2+5x=3x2 (2)x2-(1+2 )x+ +4=0 2.当c<0时,判别方程x2+bx+c=0的根的情况. 3.不解方程,判别关于x的方程x2-2kx+(2k-1)=0的根的情况. 4.某集团公司为适应市场竞争,赶超世界先进水平,每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金,该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元,2002年销售总额为7.2亿元,求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率. 22.2.5因式分解法 例1.解方程 (1)4x2=11x (2)(x-2)2=2x-4 例2.已知9a2-4b2=0,求代数式 的值. 例3.我们知道x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=0就可转化为(x-a)(x-b)=0,请你用上面的方法解下列方程. (1)x2-3x-4=0 (2)x2-7x+6=0(3)x2+4x-5=0 第六课时作业设计 一、选择题 1.下面一元二次方程解法中,正确的是(). A.(x-3)(x-5)=10×2,∴x-3=10,x-5=2,∴x1=13,x2=7 B.(2-5x)+(5x-2)2=0,∴(5x-2)(5x-3)=0,∴x1= ,x2= C.(x+2)2+4x=0,∴x1=2,x2=-2 D.x2=x两边同除以x,得x=1 2.下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程;②x=1与方程x2=1是同解方程;③方程x2=x与方程x=1是同解方程;④由(x+1)(x-1)=3可得x+1=3或x-1=3,其中正确的命题有(). A.0个B.1个C.2个D.3个 3.如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根,那么m-n的值为(). A.- B.-1C. D.1 二、填空题 1.x2-5x因式分解结果为_______;2x(x-3)-5(x-3)因式分解的结果是______. 2.方程(2x-1)2=2x-1的根是________. 3.二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________;如果令x2+20x+96=0,那么它的两个根是_________. 三、综合提高题 1.用因式分解法解下列方程. (1)3y2-6y=0 (2)25y2-16=0 (3)x2-12x-28=0(4)x2-12x+35=0 2.已知(x+y)(x+y-1)=0,求x+y的值. 3.今年初,湖北武穴市发生禽流感,某养鸡专业户在禽流感后,打算改建养鸡场,建一个面积为150m2的长方形养鸡场.为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长am,另三边用竹篱围成,如果篱笆的长为35m,问鸡场长与宽各为多少? (其中a≥20m) 22.3实际问题与一元二次方程 (1) 例1.某电脑公司2001年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率. 三、巩固练习 (1)某林场现有木材a立方米,预计在今后两年内年平均增长p%,那么两年后该林场有木材多少立方米? (2)某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐年上升,第一季度共生产化工原料60万吨,设二、三月份平均增长的百分率相同,均为x,可列出方程为__________. 四、应用拓展 例2.某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率. 作业设计 一、选择题 1.2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家,后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家,设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x,依题意列出的方程是(). A.100(1+x)2=250B.100(1+x)+100(1+x)2=250 C.100(1-x)2=250D.100(1+x)2 2.一台电视机成本价为a元,销售价比成本价增加25%,因库存积压,所以就按销售价的70%出售,那么每台售价为(). A.(1+25%)(1+70%)a元B.70%(1+25%)a元 C.(1+25%)(1-70%)a元D.(1+25%+70%)a元 3.某商场的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降低的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为(). A. B.pC. D. 二、填空题 1.某农户的粮食产量,平均每年的增长率为x,第一年的产量为6万kg,第二年的产量为_______kg,第三年的产量为_______,三年总产量为_______. 2.某糖厂2002年食糖产量为at,如果在以后两年平均增长的百分率为x,那么预计2004年的产量将是________. 3.我国政府为了解决老百姓看病难的问题,决定下调药品价格,某种药品在1999年涨价30%后,2001年降价70%至a元,则这种药品在1999年涨价前价格是__________. 三、综合提高题 1.为了响应国家“退耕还林”,改变我省水土流失的严重现状,2000年我省某地退耕还林1600亩,计划到2002年一年退耕还林1936亩,问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2.洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机,其中乙型16台,从二月份起,甲型每月增产10台,乙型每月按相同的增长率逐年递增,又知二月份甲、乙两型的产量之比是3: 2,三月份甲、乙两型产量之和为65台,求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量. 3.某商场于第一年初投入50万元进行商品经营,以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金,作为下一年年初投入的资金继续进行经营. (1)如果第一年的年获利率为p,那么第一年年终的总资金是多少万元? (用代数式来表示)(注: 年获利率= ×100%) (2)如果第二年的年获利率多10个百分点(即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和),第二年年终的总资金为66万元,求第一年的年获利率. 22.3实际问题与一元二次方程 (2) 例1.某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡,甲种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,乙种贺年卡平均每天可售出200张,每张盈利0.75元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元,那么商场平均每天可多售出100张;如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元,那么商场平均每天可多售出34张.如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元,那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大. 三、巩固练习 新华商场销售甲、乙两种冰箱,甲种冰箱每台进货价为2500元,市场调研表明: 当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.乙种冰箱每台进货价为2000元,市场调研表明: 当销售价为2500元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低45元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,那么两种冰箱的定价应各是多少? 四、应用拓展 例3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若每千克50元销售,一个月能售出500kg,销售单价每涨1元,月销售量就减少10kg,针对这种水产品情况,请解答以下问题: (1)当销售单价定为每千克55元时,计算销售量和月销售利润. (2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x的关系式. (3)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应为多少? 一、选择题 1.一个小组若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,则这个小组共(). A.12人B.18人C.9人D.10人 2.某一商人进货价便宜8%,而售价不变,那么他的利润(按进货价而定)可由目前x增加到(x+10%),则x是(). A.12%B.15%C.30%D.50% 3.育才中学为迎接香港回归,从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵,已知该校1994年植树342棵,1995年植树500棵,如果1996年和1997年植树的年增长率相同,那么该校1997年植树的棵数为(). A.600B.604C.595D.
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