北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试题及答案.docx
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北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试题及答案
第二章二次函数
一.选择题(共20小题)
1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )
A.y=3x﹣1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2﹣2t+1D.y=x2+
2.已知x是实数,且满足(x﹣2)(x﹣3)
=0,则相应的函数y=x2+x+1的值为( )
A.13或3B.7或3C.3D.13或7或3
3.函数y=
与y=﹣kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
4.在同一坐标系中,一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图,Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的( )
A.
B.
C.
D.
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,下列结论:
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4;
②4a+2b+c<0;
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1;
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.
其中正确的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.二次函数y=
(x﹣4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是( )
A.向上,直线x=4,(4,5)B.向上,直线x=﹣4,(﹣4,5)
C.向上,直线x=4,(4,﹣5)D.向下,直线x=﹣4,(﹣4,5)
8.关于抛物线y=x2﹣2x﹣1,下列说法中错误的是( )
A.开口方向向上
B.对称轴是直线x=1
C.当x>1时,y随x的增大而减小
D.顶点坐标为(1,﹣2)
9.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:
①abc>0
②4a+2b+c>0
③4ac﹣b2<8a
④
<a<
⑤b>c.
其中含所有正确结论的选项是( )
A.①③B.①③④C.②④⑤D.①③④⑤
10.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下四个结论:
①abc=0,②a+b+c>0,③a>b,④4ac﹣b2<0;其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:
①a>0②2a+b=0③a+b+c>0④当﹣1<x<3时,y>0
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
12.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3
⑤当x<0时,y随x增大而增大
其中结论正确的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
13.点P1(﹣1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y3>y2>y1B.y3>y1=y2C.y1>y2>y3D.y1=y2>y3
14.将抛物线y=
x2﹣6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为( )
A.y=
(x﹣8)2+5B.y=
(x﹣4)2+5
C.y=
(x﹣8)2+3D.y=
(x﹣4)2+3
15.将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后,所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是( )
A.(0,3)或(﹣2,3)B.(﹣3,0)或(1,0)
C.(3,3)或(﹣1,3)D.(﹣3,3)或(1,3)
16.在二次函数y=x2﹣2x﹣3中,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( )
A.0,﹣4B.0,﹣3C.﹣3,﹣4D.0,0
17.根据下列表格中的对应值,判断y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)与x轴的交点的横坐标的取值范围是( )
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=ax2+bx+c
﹣0.69
﹣0.02
0.03
0.36
A.0<x<3.23B.3.23<x<3.24
C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26
18.二次函数y=x2+bx的图象如图,对称轴为直线x=1,若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)在﹣1<x<4的范围内有解,则t的取值范围是( )
A.t≥﹣1B.﹣1≤t<3C.﹣1≤t<8D.3<t<8
19.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映,如果调整商品售价,每降价1元,每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后,每星期售出商品的总销售额为y元,则y与x的关系式为( )
A.y=60(300+20x)B.y=(60﹣x)(300+20x)
C.y=300(60﹣20x)D.y=(60﹣x)(300﹣20x)
20.如图,正方形ABCD的边长为1,E、F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合),不管E、F怎样动,始终保持AE⊥EF.设BE=x,DF=y,则y是x的函数,函数关系式是( )
A.y=x+1B.y=x﹣1C.y=x2﹣x+1D.y=x2﹣x﹣1
二.填空题(共6小题)
21.如果函数y=(k﹣3)
+kx+1是二次函数,那么k的值一定是 .
22.如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(2,0),若抛物线y=
x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,则实数k的取值范围是 .
23.已知点A(4,y1),B(
,y2),C(﹣2,y3)都在二次函数y=(x﹣2)2﹣1的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是 .
24.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连结BD,则对角线BD的最小值为 .
25.如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(﹣1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是 .
26.如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣
(x﹣6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 .
三.解答题(共4小题)
27.已知函数y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值;
(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?
28.如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
29.如图,抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
30.已知二次函数y=﹣x2+2x+m.
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围;
(2)如图,二次函数的图象过点A(3,0),与y轴交于点B,直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P,求点P的坐标.
参考答案与试题解析
一.选择题(共20小题)
1.【解答】解:
A、y=3x﹣1是一次函数,故A错误;
B、y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,故B错误;
C、s=2t2﹣2t+1是二次函数,故C正确;
D、y=x2+
不是二次函数,故D错误;
故选:
C.
2.【解答】解:
∵(x﹣2)(x﹣3)
=0,
∴x≤1,
∴x=1,
当x=1,y=x2+x+1=1+1+1=3.
故选:
C.
3.【解答】解:
解法一:
由解析式y=﹣kx2+k可得:
抛物线对称轴x=0;
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限,可得k<0,则﹣k>0,抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上;本图象与k的取值相矛盾,故A错误;
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象符合题意,故B正确;
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故C错误;
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故D错误.
解法二:
①k>0,双曲线在一、三象限,﹣k<0,抛物线开口向下,顶点在y轴正半轴上,选项B符合题意;
②K<0时,双曲线在二、四象限,﹣k>0,抛物线开口向上,顶点在y轴负半轴上,选项B符合题意;
故选:
B.
4.【解答】解:
当a<0时,二次函数顶点在y轴负半轴,一次函数经过一、二、四象限;
当a>0时,二次函数顶点在y轴正半轴,一次函数经过一、二、三象限.
故选:
C.
5.【解答】解:
∵Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,
∴∠AOB=∠A=45°,
∵CD⊥OB,
∴CD∥AB,
∴∠OCD=∠A,
∴∠AOD=∠OCD=45°,
∴OD=CD=t,
∴S△OCD=
×OD×CD
=
t2(0≤t≤3),即S=
t2(0≤t≤3).
故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0,3]、开口向上的二次函数图象;
故选:
D.
6.【解答】解:
∵抛物线的顶点坐标为(﹣1,4),∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4,①正确;
∵x=2时,y<0,∴4a+2b+c<0,②正确;
根据抛物线的对称性可知,一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2,③错误;
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2,④错误,
故选:
B.
7.【解答】解:
二次函数y=
(x﹣4)2+5的图象的开口向上、对称轴为直线x=4、顶点坐标为(4,5),
故选:
A.
8.【解答】解:
抛物线y=x2﹣2x﹣1,
∵a=1>0,
∴开口方向向上,故选项A不合题意;
对称轴是直线x=﹣
=﹣
=1,故选项B不合题意;
当x>1时,y随x的增大而增大,故选项C符合题意;
y=x2﹣2x﹣1=(x﹣1)2﹣2,顶点坐标为(1,﹣2),故选项D不合题意.
故选:
C.
9.【解答】解:
①∵函数开口方向向上,
∴a>0;
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号,
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴,
∴c<0,
∴abc>0,
故①正确;
②∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=1,
∴图象与x轴的另一个交点为(3,0),
∴当x=2时,y<0,
∴4a+2b+c<0,
故②错误;
③∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),
∴当x=﹣1时,y=(﹣1)2a+b×(﹣1)+c=0,
∴a﹣b+c=0,即a=b﹣c,c=b﹣a,
∵对称轴为直线x=1
∴
=1,即b=﹣2a,
∴c=b﹣a=(﹣2a)﹣a=﹣3a,
∴4ac﹣b2=4•a•(﹣3a)﹣(﹣2a)2=﹣16a2<0
∵8a>0
∴4ac﹣b2<8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间,
∴﹣2<c<﹣1
∴﹣2<﹣3a<﹣1,
∴
>a>
;
故④正确
⑤∵a>0,
∴b﹣c>0,即b>c;
故⑤正确;
故选:
D.
10.【解答】解:
∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点,
∴c=0,
∴abc=0
∴①正确;
∵x=1时,y<0,
∴a+b+c<0,
∴②不正确;
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线的对称轴是x=﹣
,
∴﹣
,b<0,
∴b=3a,
又∵a<0,b<0,
∴a>b,
∴③正确;
∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点,
∴△>0,
∴b2﹣4ac>0,4ac﹣b2<0,
∴④正确;
综上,可得
正确结论有3个:
①③④.
故选:
C.
11.【解答】解:
①图象开口向下,能得到a<0;
②对称轴在y轴右侧,x=
=1,则有﹣
=1,即2a+b=0;
③当x=1时,y>0,则a+b+c>0;
④由图可知,当﹣1<x<3时,y>0.
故选:
C.
12.【解答】解:
∵抛物线与x轴有2个交点,
∴b2﹣4ac>0,所以①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
而点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,所以②正确;
∵x=﹣
=1,即b=﹣2a,
而x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,
∴a+2a+c=0,所以③错误;
∵抛物线与x轴的两点坐标为(﹣1,0),(3,0),
∴当﹣1<x<3时,y>0,所以④错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x增大而增大,所以⑤正确.
故选:
B.
13.【解答】解:
∵y=﹣x2+2x+c,
∴对称轴为x=1,
P2(3,y2),P3(5,y3)在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,
∵3<5,
∴y2>y3,
根据二次函数图象的对称性可知,P1(﹣1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称,
故y1=y2>y3,
故选:
D.
14.【解答】解:
y=
x2﹣6x+21
=
(x2﹣12x)+21
=
[(x﹣6)2﹣36]+21
=
(x﹣6)2+3,
故y=
(x﹣6)2+3,向左平移2个单位后,
得到新抛物线的解析式为:
y=
(x﹣4)2+3.
故选:
D.
15.【解答】解:
将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后,所得到的抛物线为y=x2+2x
当该抛物线与直线y=3相交时,
x2+2x=3
解得:
x1=﹣3,x2=1
则交点坐标为:
(﹣3,3)(1,3)
故选:
D.
16.【解答】解:
抛物线的对称轴是x=1,
则当x=1时,y=1﹣2﹣3=﹣4,是最小值;
当x=3时,y=9﹣6﹣3=0是最大值.
故选:
A.
17.【解答】解:
∵x=3.24时,y=﹣0.02<0;x=3.25时,y=0.03>0,
∴抛物线与x轴的一个交点在点(3.24,0)与点(3.25,0)之间.
故选:
C.
18.【解答】解:
对称轴为直线x=﹣
=1,
解得b=﹣2,
所以二次函数解析式为y=x2﹣2x,
y=(x﹣1)2﹣1,
x=1时,y=﹣1,
x=4时,y=16﹣2×4=8,
∵x2+bx﹣t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标,
∴当﹣1≤t<8时,在﹣1<x<4的范围内有解.
故选:
C.
19.【解答】解:
降价x元,则售价为(60﹣x)元,销售量为(300+20x)件,
根据题意得,y=(60﹣x)(300+20x),
故选:
B.
20.【解答】解:
∵∠BAE和∠EFC都是∠AEB的余角.
∴∠BAE=∠FEC.
∴△ABE∽△ECF
那么AB:
EC=BE:
CF,
∵AB=1,BE=x,EC=1﹣x,CF=1﹣y.
∴AB•CF=EC•BE,
即1×(1﹣y)=(1﹣x)x.
化简得:
y=x2﹣x+1.
故选:
C.
二.填空题(共6小题)
21.【解答】解:
根据二次函数的定义,得:
k2﹣3k+2=2,
解得k=0或k=3;
又∵k﹣3≠0,
∴k≠3.
∴当k=0时,这个函数是二次函数.
22.【解答】解:
由图可知,∠AOB=45°,
∴直线OA的解析式为y=x,
联立
消掉y得,
x2﹣2x+2k=0,
△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×2k=0,
即k=
时,抛物线与OA有一个交点,
此交点的横坐标为1,
∵点B的坐标为(2,0),
∴OA=2,
∴点A的坐标为(
,
),
∴交点在线段AO上;
当抛物线经过点B(2,0)时,
×4+k=0,
解得k=﹣2,
∴要使抛物线y=
x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,实数k的取值范围是﹣2<k<
.
故答案为:
﹣2<k<
.
23.【解答】解:
把A(4,y1),B(
,y2),C(﹣2,y3)分别代入y=(x﹣2)2﹣1得:
y1=(x﹣2)2﹣1=3,y2=(x﹣2)2﹣1=5﹣4
,y3=(x﹣2)2﹣1=15,
∵5﹣4
<3<15,
所以y3>y1>y2.
故答案为y3>y1>y2.
24.【解答】解:
∵y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,
∴抛物线的顶点坐标为(1,1),
∵四边形ABCD为矩形,
∴BD=AC,
而AC⊥x轴,
∴AC的长等于点A的纵坐标,
当点A在抛物线的顶点时,点A到x轴的距离最小,最小值为1,
∴对角线BD的最小值为1.
故答案为1.
25.【解答】解:
观察函数图象可知:
当x<﹣1或x>4时,直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方,
∴不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为x<﹣1或x>4.
故答案为:
x<﹣1或x>4.
26.【解答】解:
由题意可得出:
y=a(x+6)2+4,
将(﹣12,0)代入得出,0=a(﹣12+6)2+4,
解得:
a=﹣
,
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是:
y=﹣
(x+6)2+4.
故答案为:
y=﹣
(x+6)2+4.
三.解答题(共4小题)
27.【解答】解:
(1)根据一次函数的定义,得:
m2﹣m=0
解得m=0或m=1
又∵m﹣1≠0即m≠1;
∴当m=0时,这个函数是一次函数;
(2)根据二次函数的定义,得:
m2﹣m≠0
解得m1≠0,m2≠1
∴当m1≠0,m2≠1时,这个函数是二次函数.
28.【解答】解:
(1)把点B的坐标为(3,0)代入抛物线y=﹣x2+mx+3得:
0=﹣32+3m+3,
解得:
m=2,
∴y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点坐标为:
(1,4).
(2)连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小,
设直线BC的解析式为:
y=kx+b,
∵点C(0,3),点B(3,0),
∴
,
解得:
,
∴直线BC的解析式为:
y=﹣x+3,
当x=1时,y=﹣1+3=2,
∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为:
(1,2).
29.【解答】解:
(1)由题意得,
,
解得b=4,c=3,
∴抛物线的解析式为.y=x2﹣4x+3;
(2)∵点A与点C关于x=2对称,
∴连接BC与x=2交于点P,则点P即为所求,
根据抛物线的对称性可知,点C的坐标为(3,0),
y=x2﹣4x+3与y轴的交点为(0,3),
∴设直线BC的解析式为:
y=kx+b,
,
解得,k=﹣1,b=3,
∴直线BC的解析式为:
y=﹣x+3,
则直线BC与x=2的交点坐标为:
(2,1)
∴点P的坐标为:
(2,1).
30.【解答】解:
(1)∵二次函数的图象与x轴有两个交点,
∴△=22+4m>0
∴m>﹣1;
(2)∵二次函数的图象过点A(3,0),
∴0=﹣9+6+m
∴m=3,
∴二次函数的解析式为:
y=﹣x2+2x+3,
令x=0,则y=3,
∴B(0,3),
设直线AB的解析式为:
y=kx+b,
∴
,
解得:
,
∴直线AB的解析式为:
y=﹣x+3,
∵抛物线y=﹣x2+2x+3,的对称轴为:
x=1,
∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2,
∴P(1,2).
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