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与名师对话理曲线与方程
第十节 曲线与方程
高考概览:
1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系;2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质;3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
[知识梳理]
1.曲线与方程的定义
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:
那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.
2.求动点的轨迹方程的基本步骤
[辨识巧记]
1.“曲线C是方程f(x,y)=0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”的充分不必要条件.
2.曲线的交点与方程组的关系
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解,即两个曲线方程组成的方程组的实数解;
(2)方程组有几组解,两条曲线就有几个交点;方程组无解,两条曲线就没有交点.
[双基自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.( )
(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.( )
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( )
(4)方程y=与x=y2表示同一曲线.( )
[答案]
(1)√
(2)× (3)× (4)×
2.方程(x-y)2+(xy-1)2=0的曲线是( )
A.一条直线和一条双曲线
B.两条双曲线
C.两个点
D.以上答案都不对
[解析] 由(x-y)2+(xy-1)2=0得
∴或故选C.
[答案] C
3.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )
A.圆B.椭圆
C.双曲线D.抛物线
[解析] ∵|PA|=|PN|,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|MA|=6>|MN|.故动点P的轨迹是椭圆.故选B.
[答案] B
4.已知点A(1,0),直线l:
y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=,则点P的轨迹方程为( )
A.y=-2xB.y=2x
C.y=2x-8D.y=2x+4
[解析] 设P(x,y),R(x1,y1),由=知,点A是线段RP的中点,∴即
∵点R(x1,y1)在直线y=2x-4上,
∴y1=2x1-4,∴-y=2(2-x)-4,即y=2x.故选B.
[答案] B
5.平面上有三点A(-2,y),B,C(x,y),若⊥,则动点C的轨迹方程为____________________.
[解析] =,=.∵⊥,
∴·=0,得2·x-·=0.得y2=8x.
[答案] y2=8x
考点一 直接法
【例1】 已知点F(0,1),直线l:
y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,求动点P的轨迹C的方程.
[思路引导] →→
[解] 设点P(x,y),则Q(x,-1).
因为·=·,
所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2)
即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,
所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.
直接法求轨迹方程的关键点和注意点
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程,然后进行化简.
(2)在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的点,这是应该注意的.
[对点训练]
1.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,求Q点的轨迹方程.
[解] 由题意知,M为PQ中点,设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0,即为点Q的轨迹方程.
2.设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,求P点的轨迹方程.
[解] 如图,设P(x,y),圆心为M(1,0).连接MA,PM,
则MA⊥PA,且|MA|=1,
又因为|PA|=1,
所以|PM|==,
即|PM|2=2,所以(x-1)2+y2=2.
即(x-1)2+y2=2为点P的轨迹方程.
考点二 定义法
【例2】 已知圆M:
(x+1)2+y2=1,圆N:
(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,求动圆圆心P的轨迹方程.
[思路引导] →→
→
[解] 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以
|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>|MN|=2.
由椭圆的定义可知,动圆圆心P的轨迹是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).
[拓展探究]
(1)将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”,则圆心P的轨迹方程为__________________.
(2)把本例中圆M的方程换为:
(x+3)2+y2=1,圆N的方程换为:
(x-3)2+y2=1,则圆心P的轨迹方程为__________________.
(3)在本例中,若动圆P过圆N的圆心,并且与直线x=-1相切,则圆心P的轨迹方程为____________________________________.
[解析]
(1)由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R,因为圆P与圆M,N都外切,所以|PM|-|PN|=(R+r1)-(R+r2)=r1-r2=-2,即|PN|-|PM|=2,又|MN|=2,所以点P的轨迹方程为y=0(x<-2).
(2)由已知条件可知圆M和N外离,所以|PM|=1+R,|PN|=R-1,故|PM|-|PN|=(1+R)-(R-1)=2<|MN|=6.由双曲线的定义知点P的轨迹是双曲线的右支,其方程为x2-=1(x>1).
(3)由于点P到定点N(1,0)和定直线x=-1的距离相等,所以根据抛物线的定义可知,点P的轨迹是以N(1,0)为焦点,以x轴为对称轴、开口向右的抛物线,故其方程为y2=4x.
[答案]
(1)y=0(x<-2)
(2)x2-=1(x>1)
(3)y2=4x
定义法求曲线方程的两种策略
(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程.
(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解.
[对点训练]
(2019·山西吕梁二模改编)如图,已知圆N:
x2+(y+)2=36,P是圆N上的点,点Q在线段NP上,且有点D(0,)和DP上的点M,满足=2,·=0.当P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程.
[解] 连接QD,由题意知,MQ是线段DP的中垂线,所以|NP|=|NQ|+|QP|=|QN|+|QD|=6>|DN|=2.
由椭圆的定义可知,点Q的轨迹是以D,N为焦点的椭圆,依题意设椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=,a=3,b=2,
所以点Q的轨迹方程是+=1.
考点三 相关点(代入)法
【例3】 已知F1、F2分别为椭圆C:
+=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )
A.+=1(y≠0)B.+y2=1(y≠0)
C.+3y2=1(y≠0)D.x2+=1(y≠0)
[思路引导] →→→
[解析] 依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),由三角形重心坐标关系可得
即代入+=1,
得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y≠0).故选C.
[答案] C
相关点(代入)法求轨迹方程的要点和步骤
(1)相关点(代入)法求曲线方程时一般有两个动点,一个是主动的,另一个是被动的.
(2)当题目中的条件同时具有以下特征时,一般可以用相关点(代入)法求其轨迹方程:
①某个动点P在已知方程的曲线上移动;
②另一个动点M随P的变化而变化;
③在变化过程中P和M满足一定的规律.
(3)“相关点(代入)法”求轨迹方程的基本步骤
①设点:
设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1).
②求关系式:
求出两个动点坐标之间的关系式
③代换:
将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.
[对点训练]
自抛物线y2=2x上任意一点P向其准线l引垂线,垂足为Q,连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R点,求R点的轨迹方程.
[解] 设P(x1,y1),R(x,y),
则Q,F.
OP的方程为y=x.
FQ的方程为y=-y1.
联立得x1=,y1=代入抛物线方程可得y2=-2x2+x.
考点四 参数法
【例4】 若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1,l2分别与x轴、y轴交于A,B两点,求AB的中点M的轨迹方程.
[思路引导] →→→→→→
[解] 当直线l1的斜率存在且不为0时,l2的斜率也存在,设直线l1的方程是y-1=k(x-1),则直线l2的方程是y-1=-(x-1),所以直线l1与x轴的交点为A,直线l2与y轴的交点为B,设AB的中点M的坐标为(x,y),则有,
y=1+,两式相加消去k,得x+y=1(x≠),即x+y-1=0(x≠),所以AB中点M的轨迹方程为x+y-1=0(x≠).
当直线l1(l2)的斜率不存在时,点M的坐标为,此点在直线x+y-1=0上.
综上,AB的中点M的轨迹方程为x+y-1=0.
参数法求轨迹方程的适用条件和步骤
(1)动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式,也没有明显的相关点,但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关.
(2)参数法求轨迹方程的一般步骤:
选参数→列方程→消参数→定结论.
[对点训练]
设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,⊥,当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.
[解] 设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),
因为⊥,=(x0,-y0),
=(1,-y0),
所以(x0,-y0)·(1,-y0)=0,所以x0+y=0.
由=2得(x-x0,y)=2(-x0,y0),
所以
即所以-x+=0,即y2=4x.
故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.
课后跟踪训练(六十三)
基础巩固练
一、选择题
1.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )
A.x2+y2=2B.x2+y2=4
C.x2+y2=2(x≠±2)D.x2+y2=4(x≠±2)
[解析] MN的中点为原点O,易知|OP|=|MN|=2,
∴P的轨迹是以原点O为圆心,以r=2为半径的圆,除去与x轴的两个交点.故选D.
[答案] D
2.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足||·||+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为( )
A.y2=8xB.y2=-8x
C.y2=4xD.y2=-4x
[解析] 设点P的坐标为(x,y),则=(4,0),=(x+2,y),=(x-2,y).
∴||=4,||=,·=4(x-2).根据已知条件得4=4(2-x).
整理得y2=-8x,∴点P的轨迹方程为y2=-8x.故选B.
[答案] B
3.(2019·浙江杭州七校质量检测)F1,F2是双曲线的两个焦点,Q是双曲线上任意一点,从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹为( )
A.直线B.圆
C.椭圆D.双曲线
[解析] 当点Q在双曲线右支上时,延长F1P交直线QF2于点S,∵QP是∠F1QF2的角平分线,且QP⊥F1S,∴P是F1S的中点.∵O是F1F2的中点,PO是△F1SF2的中位线,∴|PO|=|F2S|=(|QS|-|QF2|)=(|QF1|-|QF2|)=a,∴点P的轨迹为圆.同理当点Q在双曲线左支时,点P的轨迹仍是圆.故选B.
[答案] B
4.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1+λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是( )
A.直线B.椭圆
C.圆D.双曲线
[解析] 设C(x,y),因为=λ1+λ2,所以(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1,3),即
解得又λ1+λ2=1,
所以+=1,即x+2y=5,
所以点C的轨迹为直线,故选A.
[答案] A
5.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是( )
A.x2=2y-1B.x2=2y-
C.x2=y-D.x2=2y-2
[解析] 把抛物线方程y=x2化成标准形式x2=4y,可得焦点F(0,1),
设P(x0,y0),PF的中点M(x,y).
由中点坐标公式得∴
又∵P(x0,y0)在抛物线y=x2上,
∴2y-1=(2x)2,即x2=2y-1.故选A.
[答案] A
二、填空题
6.一条线段AB的长为2,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点的轨迹是__________.
[解析] 解法一:
设A(a,0),B(0,b),AB中点为M(x,y),则a=2x,b=2y,由|AB|=2,得
=2,即x2+y2=1.故AB中点的轨迹为单位圆.
解法二:
当A,B分别在x轴,y轴上时,由直角三角形AOB斜边上的中线等于斜边的一半可知,中点到原点的距离为1.当点A或B与原点重合时,中点到原点的距离也是1,故中点轨迹为单位圆.
[答案] 圆
7.在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,A(-2,0),B(2,0),点P为动点,且直线AP与直线BP的斜率之积为-,则动点P的轨迹C的方程为__________.
[解析] 设P点的坐标为(x,y).
∵A(-2,0),B(2,0),直线AP与直线BP的斜率之积为-,
∴·=-(x≠±2).
化简整理得P点的轨迹C的方程为+=1(x≠±2).
[答案] +=1(x≠±2)
8.(2019·江西红色七校二模)已知动圆C过点A(-2,0),且与圆M:
(x-2)2+y2=64相内切,则动圆C的圆心的轨迹方程为__________________________.
[解析] 圆M:
(x-2)2+y2=64,圆心M的坐标为(2,0),半径R=8.因为|AM|=4
所以圆心C的轨迹是中心在原点,焦点为A,M,长轴长为8的椭圆,设其方程为+=1(a>b>0),则a=4,c=2.所以b2=a2-c2=12.
所以动圆C的圆心的轨迹方程为+=1.
[答案] +=1
三、解答题
9.在直角坐标系xOy上取两个定点A1(-2,0),A2(2,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=3,求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程.
[解] 依题意知直线A1N1的方程为y=(x+2)①
直线A2N2的方程为y=-(x-2)②
设Q(x,y)是直线A1N1与A2N2交点,①×②得
y2=-(x2-4).
由mn=3,整理得+=1.
∵N1,N2不与原点重合,
∴点A1(-2,0),A2(2,0)不在轨迹M上,
∴轨迹M的方程为+=1(x≠±2).
10.如图,从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.
[解] 设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1),则N点的坐标为(2x-x1,2y-y1).
∵N在直线x+y=2上,
∴2x-x1+2y-y1=2.①
又∵PQ垂直于直线x+y=2,
∴=1,即x-y+y1-x1=0,②
①、②联立解得③
又点Q在双曲线x2-y2=1上,
∴x-y=1.④
③代入④,得动点P的轨迹方程是
2x2-2y2-2x+2y-1=0.
能力提升练
11.在直角坐标平面内,已知两点A(-2,0),B(2,0),动点Q到点A的距离为6,线段BQ的垂直平分线交AQ于点P,则点P的轨迹方程是( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
[解析] 连接PB,因为线段BQ的垂直平分线交AQ于点P,所以|PB|=|PQ|,又|AQ|=6,所以|PA|+|PB|=|AQ|=6,又|PA|+|PB|>|AB|,从而点P的轨迹是中心在原点,以A,B为焦点的椭圆,其中2a=6,2c=4,所以b2=9-4=5,所以椭圆方程为+=1.故选B.
[答案] B
12.(2018·安徽六安一中第四次月考)平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则动点C的轨迹是( )
A.一条直线B.一个圆
C.一个椭圆D.双曲线的一支
[解析] 过定点A与AB垂直的动直线l组成一个平面,该平面与平面α交于一条直线,故动点C的轨迹是一条直线.故选A.
[答案] A
13.P是椭圆+=1上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,有一动点Q满足=+,则动点Q的轨迹方程是__________.
[解析] 由=+,
又+==2=
-2,
设Q(x,y),P(x0,y0),
由=-,
则(x0,y0)=-,-,∴
又P在椭圆上,则有+=1,
即+=1.
[答案] +=1
14.如图,P是圆x2+y2=4上的动点,P点在x轴上的射影是D,点M满足=.
(1)求动点M的轨迹C的方程,并说明轨迹是什么图形.
(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以OA,OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.
[解]
(1)设M(x,y),则D(x,0),
由=知P(x,2y),
∵点P在圆x2+y2=4上,
∴x2+4y2=4,故动点M的轨迹C的方程为+y2=1,且轨迹C为椭圆.
(2)设E(x,y),由题意知l的斜率存在,设l:
y=k(x-3),代入+y2=1,得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
∴y1+y2=k(x1-3)+k(x2-3)
=k(x1+x2)-6k=-6k=.
∵四边形OAEB为平行四边形,
∴=+=(x1+x2,y1+y2)
=,
又=(x,y),∴
消去k得,x2+4y2-6x=0,
由Δ=(-24k2)2-4(1+4k2)(36k2-4)>0得,
k2<,∴0 ∴顶点E的轨迹方程为x2+4y2-6x=0. 拓展延伸练 15.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N.若M2=λ·N,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是( ) A.圆B.椭圆 C.抛物线D.双曲线 [解析] 以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立坐标系,设M(x,y),A(-a,0),B(a,0),则N(x,0). 因为M2=λ·N, 所以y2=λ(x+a)(a-x),即λx2+y2=λa2, 当λ=1时,轨迹是圆; 当λ>0且λ≠1时,轨迹是椭圆; 当λ<0时,轨迹是双曲线; 当λ=0时,轨迹是直线. 综上,动点M的轨迹不可能是抛物线.故选C. [答案] C 16.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3,上,则顶点C的轨迹方程为______________________. [解析] 如图,|AD|=|AE|=8, |BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6<10. 根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,轨迹方程为-=1(x>3). [答案] -=1(x>3) 专题研究 (一) 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题 专题概述: 1.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种: 一是代数法,从代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值;二是几何法,从圆锥曲线的几何性质的角度考虑,根据圆锥曲线几何意义求最值;2.圆锥曲线中的证明问题通常转化为利用坐标容易解决的问题,通过坐标法来解决,合理转化是解决证明问题的关键. [专题讲解] 题型一 范围问题 【典例1】 (2019·安徽皖西南十校期末联考)已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C: +=1(a>b>0)过点,且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点. (1)求椭圆C的方程; (2)过点作直线l与椭圆C交于E,F两点,线段EF的中点为M,点A是椭圆C的右顶点,求直线MA的斜率k的取值范围. [审题程序] 第一步: 由椭圆过定点,确定a,b关系; 第二步: 由椭圆C关于直线对称的图形过原点确定a,c关系; 第三步: 写出椭圆的方程; 第四步: 利用直线l与椭圆方程联立,由根与系数的关系,把斜率k表示利用参数表示; 第五步: 利用函数(或均值定理)求范围. [规范解答] (1)∵椭圆C过点,∴+=1,① ∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点,∴a=2c, ∵a2=b2+c2,∴b2=a2,② 由①②得a2=4,b2=3, ∴椭圆C的方程为+=1. (2)依题意,直线l过点且斜率不为零,故可设其方程为x=my+. 由方程组消去x,并整理得4(3m2+4)y2+12my-45=0. 设E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0) ∴y1+y2=-, ∴y0==-, ∴x0=my0+=,∴k==. ①当m=0时,k=0 ②当m≠0时,k=, 当m>0时,4m+≥8,∴0<≤. ∴0 当m<0时,4m+=-(-4m)+≤-8,∴-≤=k<0. ∴-≤k≤且k≠0. 综合①、②可知, 直线MA的斜率k的取值范围是. [答题模板] 解决这类问题的答题模板如下: [题型专练] 1.(2019·河北张家口联考)过椭圆C: +=1(0 (1)设椭圆的下顶点为B(0,-b),当直线AM的斜率为时,若S△ANB=2S△AMB,求b的值; (2)若存在点M,N,使得|AM|=|AN|,且直线AM,AN的斜率的绝对值都不为1,求实数b的取值范围. [解] 设M(x1,y1),N(x2,y2).设直线AM的斜率为k, 则由条件可知,直线AM的方程为y=kx+b, 于是消去y整理得 (9k2+b2)x2+18kbx=0, ∴x1=-,同理,x2=. (1)由S△ANB=2S△AMB,得x2=-2x1, 于是=2·,即2b2k2+18=b2+9k2, 其中k=,代入得b=. (2)|AM|=·|x1|=·, |AN|=·|x2|=·. 由|AM|=|AN|,得=·, 不妨设k>0,且k≠1, 则有b2+9k2=b2k3+9k, 整理得(k-1)[b2k2+(b2-9)k
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