高中数学概念总结.docx
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高中数学概念总结
高中数学概念总结
数学知识点总结
引言
1.课程内容:
必修课程由5个模块组成:
必修1:
集合、函数概念与基本初等函数必修2:
立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3:
算法初步、统计、概率。
必修4:
基本初等函数、平面向量、三角恒等变换。
必修5:
解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。
不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有4个系列:
系列1:
由2个模块组成。
选修1—1:
常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1—2:
统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2:
由3个模块组成。
选修2—1:
常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2:
导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3:
计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。
系列3:
由6个专题组成。
选修3—1:
数学史选讲。
选修3—2:
信息安全与密码。
选修3—3:
球面上的几何。
选修3—4:
对称与群。
选修3—5:
欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6:
三等分角与数域扩充。
系列4:
由10个专题组成。
选修4—1:
几何证明选讲。
选修4—2:
矩阵与变换。
选修4—3:
数列与差分。
选修4—4:
坐标系与参数方程。
选修4—5:
不等式选讲。
选修4—6:
初等数论初步。
选修4—7:
优选法与试验设计初步。
选修4—8:
统筹法与图论初步。
选修4—9:
风险与决策。
选修4—10:
开关电路与布尔代数。
2.重难点及考点:
重点:
函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数
难点:
函数、圆锥曲线高考相关考点:
⑴集合与简易逻辑:
集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件
⑵函数:
映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与
指数函数、对数与对数函数、函数的应用
⑶数列:
数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数:
有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函
数的图象与性质、三角函数的应用
⑸平面向量:
有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用
⑹不等式:
概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应
用
⑺直线和圆的方程:
直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程:
椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应
用
⑼直线、平面、简单几何体:
空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率:
排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计:
概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数:
导数的概念、求导、导数的应用⒀复数:
复数的概念与运算
高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念
〖〗集合
【】集合的含义与表示
集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.常用数集及其记法
N表示自然数集,N?
或N?
表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.
集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是a?
M,或者a?
M,两者必居其一.集合的表示法
①自然语言法:
用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法:
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.③描述法:
{x|x具有的性质},其中x为集合的代表元素.
④图示法:
用数轴或韦恩图来表示集合.集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集.
【】集合间的基本关系
子集、真子集、集合相等
n
nnn
已知集合A有n个元素,则它有2个子集,它有2?
1个真子集,它有2?
1个非空子集,它有2?
2
非空真子集.
【】集合的基本运算
含绝对值的不等式的解法
一元二次不等式的解法
【】函数的概念
函数的概念
①设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f和它对应,那么这样的对应叫做集合A到
B的一个函数,记作f:
A?
B.
②函数的三要素:
定义域、值域和对应法则.
③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.区间的概念及表示法
①设a,b是两个实数,且a?
b,满足a?
x?
b的实数x的集合叫做闭区间,记做[a,b];满足a?
x?
b的实数x的集合叫做开区间,记做;满足a?
x?
b,或a?
x?
b的实数x的集合叫做半开半闭区间,
,分别记做[ab),x?
a?
x,b?
的x实b数x的集合分别记做,a,?
b,?
,前者a可以大于或等于b,而后者必须
2016年新人教版高中数学知识点总结
高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念
【】集合的含义与表示
集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.常用数集及其记法
N表示自然数集,N
?
或N?
表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.
集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是a?
M,或者a?
M,两者必居其一.集合的表示法
①自然语言法:
用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法:
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.③描述法:
{x|x具有的性质},其中x为集合的代表元素.④图示法:
用数轴或韦恩图来表示集合.集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集.
【】集合间的基本关系
子集、真子集、集合相等
已知集合它有2
n
A有n个元素,则它有2n个子集,它有2n?
1个真子集,它有2n?
1个非空子集,
?
2非空真子集.
1
【】集合的基本运算
交集、并集、补集
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
含绝对值的不等式的解法
一元二次不等式的解法
2
〖〗函数及其表示【】函数的概念
函数的概念
①设
A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f
,对于集合
A中任何一个数x,在集合B
)
中都有唯一确定的数叫做集合
那么这样的对应区间的概念及表示法
①设a,b是两个实数,且a
?
b,满足a?
x?
b的实数x的集合叫做闭区间,记做[a,b];满足
a?
x?
b的实数x的集合叫做开区间,记做;满足a?
x?
b,或a?
x?
b的实数x的
集合叫做半开半闭区间,分别记做[a,b),,,.注意:
对于集合{x|a?
?
a,x?
b,x?
b的实数x的集
x?
b}与区间,前者a可以大于或等于b,而后者必须
a?
b.
求函数的定义域时,一般遵循以下原则:
①②③
f是整式时,定义域是全体实数.
f是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.
f是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.
3
④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.⑤
y?
tanx中,x?
k?
?
?
2
.
⑥零指数幂的底数不能为零.⑦若
f是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数
的定义域的交集.
⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:
若已知的定义域应由不等式a?
f的定义域为[a,b],其复合函数f[g]
g?
b解出.
⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小数,这个数就是函数的最小值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:
①观察法:
对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.
②配方法:
将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:
若函数
y?
f可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程
ax2?
bx?
c?
0,则在a?
0时,由于x,y为实数,故必须有?
?
b2?
4a?
c?
0,从而确定函数的值域或最值.
④不等式法:
利用基本不等式确定函数的值域或最值.
⑤换元法:
通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为
三角函数的最值问题.
⑥反函数法:
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑦数形结合法:
利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑧函数的单调性法.
【】函数的表示法
函数的表示方法
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.
解析法:
就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:
就是列出表格来表示两个变量之间
的对应关系.图象法:
就是用图象表示两个变量之间的对应关系.映射的概念
①设
A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f
,对于集合
A中任何一个元素,在集合B中都
)叫做集合
有唯一的元素和它对应,那么这样的对应值
函数的单调性
①定义及判定方法
②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数
y?
f[g],令u?
g
,若
y?
f
为增,
u?
g
为增,则
y?
f[g]为增;若y?
f为减,u?
g为减,则y?
f[g]为增;若y?
f为
增,u
?
g为减,则y?
f[g]为减;若y?
f为减,u?
g为增,则y
y?
f[g]为减.
打“√”函数
f?
x?
a
的图象与性质x
o
x
f分别在上为增函数,分别在
[、上为减函数.
5
教师版高中数学必修+选修知识点归纳
引言
1.课程内容:
必修课程由5个模块组成:
必修1:
集合、函数概念与基本初等函数
必修2:
立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3:
算法初步、统计、概率。
必修4:
基本初等函数、平面向量、
三角恒等变换。
必修5:
解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。
不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有4个系列:
系列1:
由2个模块组成。
选修1—1:
常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
导数及其应用。
选修1—2:
统计案例、推理与证明、数系的扩
充与复数、框图
系列2:
由3个模块组成。
选修2—1:
常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2:
导数及其应用,推理与证明、数系
的扩充与复数
选修2—3:
计数原理、随机变量及其分布列,
统计案例。
系列3:
由6个专题组成。
选修3—1:
数学史选讲。
选修3—2:
信息安全与密码。
选修3—3:
球面上的几何。
选修3—4:
对称与群。
选修3—5:
欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6:
三等分角与数域扩充。
-1-
系列4:
由10个专题组成。
选修4—1:
几何证明选讲。
选修4—2:
矩阵与变换。
选修4—3:
数列与差分。
选修4—4:
坐标系与参数方程。
选修4—5:
不等式选讲。
选修4—6:
初等数论初步。
选修4—7:
优选法与试验设计初步。
选修4—8:
统筹法与图论初步。
选修4—9:
风险与决策。
选修4—10:
开关电路与布尔代数。
2.重难点及考点:
重点:
函数,数列,三角函数,平面向量,
圆锥曲线,立体几何,导数难点:
函数、圆锥曲线高考相关考点:
⑴集合与简易逻辑:
集合的概念与运算、简易逻
辑、充要条件
⑵函数:
映射与函数、函数解析式与定义域、
值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用
⑶数列:
数列的有关概念、等差数列、等比数
列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数:
有关概念、同角关系与诱导公式、
和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用
⑸平面向量:
有关概念与初等运算、坐标运算、
数量积及其应用
⑹不等式:
概念与性质、均值不等式、不等式
的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用
⑺直线和圆的方程:
直线的方程、两直线的位
置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程:
椭圆、双曲线、抛物线、直
线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用
⑼直线、平面、简单几何体:
空间直线、直线
与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量
⑽排列、组合和概率:
排列、组合应用题、二
项式定理及其应用
⑾概率与统计:
概率、分布列、期望、方差、
抽样、正态分布
⑿导数:
导数的概念、求导、导数的应用⒀复数:
复数的概念与运算
全一致,则称这两个函数相等.、函数的表示法
1、函数的三种表示方法:
解析法、图象法、列表法.、单调性与最大值1、注意函数单调性的证明方法:
定义法:
设x1、x2?
[a,b],x1?
x2那么
第一章:
集合与函数概念、集合
1、把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总
体叫做集合。
集合三要素:
确定性、互异性、无序性。
2、只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个
集合相等。
3、常见集合:
正整数集合:
N*或N?
,:
f?
f?
0?
f在[a,b]上是增函数;f?
f?
0?
f在[a,b]上是减函数.
步骤:
取值—作差—变形—定号—判断格式:
解:
设x1,x2?
?
a,b?
且x1?
x2,则:
f?
x1?
?
f?
x2?
=?
导数法:
设函数y?
f在某个区间内可导,若f?
?
0,则f为增函数;若f?
?
0,则f为减函数.、奇偶性
1、一般地,如果对于函数f?
x?
的定义域内任意一个
Z,:
Q,:
R.
4、集合的表示方法:
列举法、描述法.、集合间的基本关系
1、一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任
意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合B的子集。
记作A?
B.
2、如果集合A?
B,但存在元素x?
B,且x?
A,则称集合A是集合B的真子集.记作:
AB.3、把不含任何元素的集合叫做记作:
?
.并规定:
空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n个元素,则集合A有2个子
集,2?
1个真子集.
、集合间的基本运算
1、一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成
的集合,称为集合A与B的并集.记作:
A?
B.2、一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合,称为A与B的交集.记作:
A?
B.3、全集、补集?
CUA?
{x|x?
U,且x?
U}、函数的概念
1、设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应
关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有惟一确定的数f?
x?
和它对应,那么就称f:
A?
B为集合A到集合B的一个函数,记作:
y?
f?
x?
x?
A.
2、一个函数的构成要素为:
定义域、对应关系、值
域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完
-2-
n
x,都有f?
?
x?
?
f?
x?
,那么就称函数f?
x?
为
偶函数.偶函数图象关于y轴对称.
2、一般地,如果对于函数f?
x?
的定义域内任意一个
x,都有f?
?
xf?
x?
,那么就称函数f?
x?
为
奇函数.奇函数图象关于原点对称.
知识链接:
函数与导数
1、函数y?
f在点x0函数y?
f在点x0处的导数是曲线y?
f在
n
P)处的切线的斜率f?
,相应的切线方
程是y?
y0?
f?
.①C?
0;②?
nx
’
’n’n?
1
;
’
③?
cosx;④?
?
sinx;⑤?
alna;⑥?
e;⑦?
x’xx’x
’
11’
;⑧?
xlnax
’
v.?
uv?
uv.
’
’
’
?
uv
’
uv?
uv
.2
v
’’
⑴aa?
a
⑵a
r
s
r?
s
复合函数y?
f)的导数和函数
y?
f,u?
g的导数间的关系为yx?
?
yu?
?
ux?
,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
解题步骤:
分层—层层求导—作积还原.
极值是在x0附近所有的点,都有f<f,则f是函数f的极大值;
极值是在x0附近所有的点,都有f>f,则f是函数f的极小值.判别方法:
①如果在x0附近的左侧f’>0,右侧f’<0,那么f是极大值;
②如果在x0附近的左侧f’<0,右侧f’>0,那么f是极小值.求y?
f在内的极值
?
a?
0,r,s?
Q?
;
?
?
rs
?
ars?
a?
0,r,s?
Q?
;
r
r
⑶?
ab?
?
ab?
a?
0,b?
0,r?
Q?
.
r
、指数函数及其性质1、记住图象:
y?
a?
a?
0,a?
1?
x
2、性质:
将y?
f的各极值点与f,f比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。
注:
极值是在局部对函数值进行比较;最值是在整体区间上对函数值进行比较。
第二章:
基本初等函数、指数与指数幂的运算
1、一般地,如果x?
a,那么x叫做a的n次方根。
其中n?
1,n?
N?
.2、当n为奇数时,a?
a;
当n为偶数时,a
n
、对数与对数运算
1、指数与对数互化式:
a?
N?
x?
logaN;2、对数恒等式:
a
logaN
x
n
?
N.
3、基本性质:
loga1?
0,logaa?
1.
n
n
a?
0,a?
1,M?
0,N?
0时:
⑴loga?
MN?
?
logaM?
logaN;⑵loga?
?
a.
3、我们规定:
⑴a
n
m
?
a
*
n
?
M?
?
?
logaM?
logaN;N?
?
n
?
a?
0,m,n?
N
⑵a
?
n
,m?
1;
?
⑶logaM?
nlogaM.
?
1
?
n?
0?
;na
-3-
5、换底公式:
logab?
logcb
logca
?
函数y?
f?
x?
的图象与x轴有交点?
函数y?
f?
x?
有零点.如果函数y?
f?
x?
在区间?
a,b?
上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f?
a?
?
f?
b?
?
0,那么函数
?
a?
0,a?
1,c?
0,c?
1,b?
0?
.
6、重要公式:
loganbm?
7、倒数关系:
logab?
m
logabn
1
?
a?
0,a?
1,b?
0,b?
1?
.
logba
2..、对数函数及其性质
1、记住图象:
y?
logax?
a?
0,a?
1?
2、性质:
y?
f?
x?
在区间?
a,b?
内有零点,即存在c?
?
a,b?
,
使得f?
c?
?
0,这个c也就是方程f?
x?
?
0的根.、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.
、几类不同增长的函数模型、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法:
先画散点图,再用适当的函数拟合,最后检验.
第一章:
空间几何体
圆柱、圆锥、圆台、球。
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
1、几种幂函数的图象:
截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。
⑴圆柱侧面积;S侧面?
2?
?
r?
l
第三章:
函数的应用
、方程的根与函数的零点1、方程f?
x?
?
0有实根
-4-
⑵圆锥侧面积:
S侧面r?
l
⑶圆台侧面积:
S侧面r?
lR?
l⑷体积公式:
12
⑴定义:
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面
角,就说这两个平面互相垂直。
⑵判定:
一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个
平面垂直。
⑶性质:
两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。
。
第三章:
直线与方程
?
tan?
?
⑴点斜式:
y?
y0?
k?
x?
x0?
⑵斜截式:
y?
kx?
b
V柱体?
S?
h;V锥体?
1
S?
h;3
V台体?
1
S上?
S上?
S下?
S下h3
?
?
y2?
y1
x2?
x1
⑸球的表面积和体积:
4
S球?
4?
R2,V球?
?
R3.
3
第二章:
点、直线、平面之间的位置关系
1如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条
直线在此平面内。
⑶两点式:
2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它
们有且只有
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