初中数学动点问题2.docx
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初中数学动点问题2.docx
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初中数学动点问题2
动点问题
(二)
知识要点
1.通过上节动点学习,能总结出一些找几何图形中数量和位置关系的方法吗?
2.关于解决动点问题中的等腰三角形和直角三角形有哪些常见的方法?
3.动点问题中面积问题通常是如何处理的?
典型例题
#例1如图,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则△ABC的面积是()
A、10B、16C、18D、20
例2已知,如图,在直角梯形COAB中,CB∥OA,以O为原点建立平面直角坐标系,A、B、C的坐标分别为A(10,0)、B(4,8)、C(0,8),D为OA的中点,动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动,速度为每秒1个单位,移动时间记为t秒,
(1)动点P在从A到B的移动过程中,设△APD的面积为S,试写出S与t的函数关系式,指出自变量的取值范围,并求出S的最大值
(2)动点P从出发,几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1:
3两部分?
求出此时P点的坐标
例3如图1,
中,
点
在边
上,且
.
(1)动点
在边
上运动,且与点
,
均不重合,设
设
与
的面积之比为
,求
与
之间的函数关系式(写出自变量的取值范围);
当
取何值时,
是等腰三角形?
写出你的理由。
(2)如图2,以图1中的为一组邻边的矩形中,动点在矩形边上运动一周,能使是以为顶角的等腰三角形共有多少个(直接写结果,不要求说明理由)?
例4如图1,Rt△PMN中,∠P=90°,PM=PN,MN=8cm,矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm,C点和M点重合,BC和MN在一条直线上。
令Rt△PMN不动,矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动(如图2),直到C点与N点重合为止。
设移动x秒后,矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y
。
求y与x之间的函数关系式。
例5如图1,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,CD=3,AD=4,tanB=2,过点C作CH⊥AB,垂足为H.点P为线段AD上一动点,直线PM∥AB,交BC、CH于点M、Q.以PM为斜边向右作等腰Rt△PMN,直线MN交直线AB于点E,直线PN交直线AB于点F.设PD的长为x,EF的长为y.
⑴求PM的长(用x表示);
⑵求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围(图2为备用图);
⑶当点E在线段AH上时,求x的取值范围(图3为备用图).
*例6已知正方形ABCD的边长AB=k(k是正整数),正△PAE的顶点P在正方形内,顶点E在边AB上,且AE=1.将△PAE在正方形内按图1中所示的方式,沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次,使顶点P第一次回到原来的起始位置.
(1)如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上,那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动.图2是k=1时,△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图.请你探索:
若k=1,则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n=时,顶点P第一次回到原来的起始位置.
(2)若k=2,则n=时,顶点P第一次回到原来的起始位置;若k=3,则
n=时,顶点P第一次回到原来的起始位置.
(3)请你猜测:
使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系(请用含k的代数式表示n).
大展身手
1.如上右图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:
①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有_______________________(把你认为正确的序号都填上)。
2.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N,直线m运动的时间为t(秒).
(1)点A的坐标是__________,点C的坐标是__________;
(2)当t=秒或秒时,MN=
AC;
(3)设△OMN的面积为S,求S与t的函数关系式;
*3.有一根直尺的短边长2㎝,长边长10㎝,还有一块锐角为45°的直角三角形纸板,它的斜边长12cm..如图12,将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合,且点D与点A重合.将直尺沿AB方向平移(如图13),设平移的长度为xcm(0≤x≤10),直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S㎝2.
(1)当x=0时(如图12),S=_____________;当x=10时,S=______________.
(2)当0<x≤4时(如图13),求S关于x的函数关系式;
(3)当4<x<10时,求S关于x的函数关系式,并求出S的最大值(同学可在图14、图15中画草图).
*4.如图,在平行四边形ABCD中,AD=4cm,∠A=60°,BD⊥AD.一动点P从A出发,以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动,过点P作直线PM,使PM⊥AD.
(1)当点P运动2秒时,设直线PM与AD相交于点E,求△APE的面积;
(2)当点P运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN,使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.求S关于t的函数关系式;
小试锋芒
如图12,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21。
动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动。
设运动的时间为t(秒)。
(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(2)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
(3)是否存在时刻t,使得PQ⊥BD?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。
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