专题一用导数求切线方程四种类.docx
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专题一用导数求切线方程四种类
用导数求切线方程的四种种类
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的
要点在于求出切点
P(x0,y0)及斜率,其求法为:
设P(x0,y0)
是曲线yf(x)
上的一点,则以
P的切点的切线方程为:
yy0f(x0)(x
x0).若曲线
f(x)在点P(x0,f(x0))的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为xx0.
下边例析四种常有的种类及解法.
种类一:
已知切点,求曲线的切线方程
此类题较为简单,只须求出曲线的导数f(x),并代入点斜式方程
即可.
例
1
曲线y
x3
3x2
1在点
(1,1)处的切线方程为(
)
A.
y
3x
4B.
y
3x
2
C.
y
4x
3
D.
y
4x
5
1解:
由
f(x)
3x2
6x则在点
(1,1)处斜率
k
f
(1)
3,故所求的切
线方程为
y
(1)
3(x
1),即
y
3x
2,因此选B.
练习:
1.设f′(x0)=0,则曲线
A.不存在C.与x轴垂直
y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线(B.与x轴平行或重合D.与x轴斜交
)
答案
B
2.
已知函数y=f(x)的图像如右图所示,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系
是()
A.f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA) A.-4 B.0 C.4 D.不存在 答案 B 10.已知曲线y=2x3 上一点A(1,2),则A处的切线斜率等于() A.2 B.4 2 D.6 C.6+6·Δx+2·(Δx) 答案D 4.函数y=sin2x的图像在 π1 处的切线的斜率是() 6,4 答案D剖析将函数y=sin2x看作是由函数y=u2,u=sinx复合而成的. 分析∵y′=2sinxcosx, π ππ 3 ∴y′|x= 6 =2sincos= 2 6 6 1 在点 7 )处切线的倾斜角为() 2.曲线y= x3-2 (-1,- 3 3 A.30° B.45° C.135° D.60° 答案B 6.y=x3的切线倾斜角的范围为________.π 答案[0,2)分析k=y′=3x2≥0.8.设点P是曲线y=x3-3x+23上的随意一点,点P处切线倾 斜角为α,则角α的取值范围是() ∪ 5 π,π 2 6 ∪π,π 3 π答案D分析由y′=3x2-3,易知y′≥-3,即tanα≥-3.2 0≤α<2或3π≤α<π.14.已知曲线C: y=x3,求在曲线C上横坐标为1的点处的切线方程.分析将x=1代入曲线C的方程得y=1,∴切点P(1,1). Δy x+Δx3-x3 ∵y′=lim=lim Δx Δx Δx→0 Δx→0 πlim3x2Δx+3xΔx2+Δx3ΔxΔx→0lim[3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2,Δx→0y′|x=1=3.∴过P点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.1 14.求曲线y=sinx在点A(6,2)处的切线方程.分析∵y=sinx,∴y′=cosx. ππ3 3 1y′|x=6=cos6=2,k=2.3π ∴切线方程为y-2=2(x-6).化简得63x-12y+6-3π=0.x 6.曲线y=x-2在点(1,-1)处的切线方程为() A.y=x-2 B.y=-3x+2 C.y=2x-3 D.y=-2x+1 答案 D 例3 求曲线y= 1 在点(4,1)处的切线方程. x2-3x 2 【思路剖析】将函数变形为y=(x2-3x)-12,将其看做是由函数y=u-12、u=x2-3x复合而成. 【分析】 ∵y= 1 =(x2-3x)-1, x2-3x 2 ∴y′=- 1 (x2-3x)-3·(x2-3x)′ 2 2 =-1(x2 -3x)-3·(2x-3). 2 2 1 1 ∴曲线y= 在点(4,)处的切线斜率为 x2-3x 2 1 (42 3 5 k=y′|x=4=- -3×4)-·(2×4-3)=-. 2 2 16 1 ∴曲线在点(4,2)处的切线方程为15 y-2=-16(x-4),即5x+16y-28=0. 研究3本题不要将函数y=1看做是由y=1,u=v,v x2-3xu=x2-3x三个函数复合而成的,这样求导就麻烦了. 思虑题3 (1)曲线y= 3x2+1在点(1,2)处的切线方程为 __________________. 【答案】 3x-2y+1=0 1 的水平切线方程是________. (2)y= 1-x2 【分析】 令y′=0,得x=0,∴y=1. 12.求曲线y=2x-x3在点(-1,-1)处的切线的方程及此切线与x轴、y轴所围成的平面图形的面积.答案x+y+2=0;2 1 x 8.曲线y=e2 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面 积为( ) e2 B.4e2 C.2e2 D.e2 答案 D 1 1 x 分析∵y′= ·e2 , 2 ∴切线的斜率k=y′|x=4=12e2.1 ∴切线方程为y-e2=2e2(x-4).∴横纵截距分别为2,-e2,∴S=e2,应选D.1 11.已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f (1))处的切线方程是y=2x+2,则f (1)+f′ (1)=________.答案3 分析f′ (1)=1,f (1)=1 ×1+2= 5,∴f (1)+f′ (1)=3. 2 2 2 5.如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图像,则 f (2)+ f′ (2)=________. 9 答案 28分析由题图知,切线方程为4x+错误! =1,9 f (2)=·(1-4)=4,f′ (2)=-错误! =-错误! .999 ∴f (2)+f′ (2)=4-8=8. 种类二: 已知斜率,求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决. 例2与直线2x y40的平行的抛物线y x2的切线方程是( ) A.2xy 30B.2xy30 C. 2xy10 D.2xy 1 0 2解: 设P(x0,y0)为切点,则切点的斜率为y|xx0 2x0 2.∴x0 1. 由此获得切点 (11),.故切线方程为y12(x 1),即2x y1 0,应选D. 评注: 本题所给的曲线是抛物线,故也可利用法加以解决,即 设切线方程为y2x b,代入y x2,得x2 2xb0 ,又因为 0,得b 1, 应选D. 练习: 3.曲线y=x3在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为( ) A.(-2,-8) B.(1,1),(-1,-1) C.(2,8) 1 1 D.(- ,-) 2 8 答案B13.若曲线y=2x3上某点切线的斜率等于6,求此点的坐标. 2x0+Δx3-2x30 分析∵y′|x=x0=lim=6x20,Δx→06x20=6.∴x0=±1故.(1,2),(-1,-2)为所求. 3.已知曲线y= x2 -3lnx 的一条切线的斜率为 1,则切点的横坐 4 2 标为( ) A.3 B.2 C.1 答案 A 分析 1 x-3 1 1 3 1 y′= x ,由 x- =. 2 2 x 2 得x=3或x=-2.因为x>0,因此x=3. 3.已知曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,那么() A.f′(x0)=0B.f′(x0)<0C.f′(x0)>0D.f′(x0)不可以确立答案B 5.假如曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那 么() A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0 C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在 答案 B 7.在曲线y=x2 π 上切线的倾斜角为的点是() 4 A.(0,0) B.(2,4) 1 1 ) 1 1 ) C.(, 16 D.( , 4 2 4 答案 D 2.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的 方程为( ) A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 答案 A 分析 ∵l与直线x+4y-8=0垂直, ∴l的斜率为4.∵y′=4x3,∴由切线l的斜率是4,得4x3=4,∴x=1.∴切点坐标为(1,1).∴切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.应选A.11.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,则与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程是________.答案4x-4y-1=04-1 分析k=2--1=1,又y′=2x, 令2x=1,得 1 x=2,从而 1 y=4, ∴切线方程为y-14=1·(x-12),即4x-4y-1=0.13.假如曲线y=x2+x-3的某一条切线与直线y=3x+4平行,求切点坐标与切线方程.答案切点坐标为(1,-1),切线方程为3x-y-4=013.曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,斜率最小的切线方程为______________.答案3x-y-11=0分析y′=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3,当且仅当x=-1时取等号,当x=-1,时y=-14.∴切线方程为y+14=3(x+1),即3x-y-11=0.1 9.设直线y=2x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为________.答案ln2-1 4.设曲线 y=ax2在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行, 则a等于( ) A.11 C.-2 D.-1 答案 A 14.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=________.答案2 分析由题意得y′=aeax,y′|x=0=aea×0=2,a=2. 10.函数f(x)=asinax(a∈R)的图像过点P(2π,0),而且在点P处的切 线斜率为 4,则 f(x)的最小正周期为 ( ) A.2π B.π 答案 B 分析 2 2 πa. f′(x)=acosax,∴f′(2=π)acos2 又asin2πa=0,∴2πa=kπ,k∈Z.f′(2=π)a2coskπ=4,∴a=±2.2π ∴T=|a|=π.6.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是() B.25C.35D.0答案A2 分析y′=2x-1=2,∴x=1.∴切点坐标为(1,0). 由点到直线的距离公式,得 d=|2×1-0+3| =5. 22+12 19.曲线y=x(x+1)(2-x)有两条平行于y=x的切线,则两切线之间的距离为________.16 答案272分析y=x(x+1)(2-x)=-x3+x2+2x,y′=-3x2+2x+2,令-3x2+2x+2=1,得1 x1=1或x2=-3. 1 14 ∴两个切点分别为(1,2)和(-3,-27).切线方程为x-y+1=0和x-y-275=0. 5 |1+| 2d=2=27.27种类三: 已知过曲线上一点,求切线方程 过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切 点,即用待定切点法.6.以下说法正确的选项是()A.曲线的切线和曲线有交点,这点必定是切点B.过曲线上一点作曲线的切线,这点必定是切点C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)不必定存在答案D 例3 求过曲线yx3 2x上的点(1,1)的切线方程. 3解: 假想P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为y|x x0 3x0 2 2. ∴切线方程为yy0 (3x0 2 2)(x x0).y(x0 3 2x0) (3x0 2 2)(x x0). 又知切线过点(1,1) ,把它代入上述方程,得 1(x0 3 2x0)(3x0 2 2)(1 x0). 解得0 1 . x1,或x0 2 故所求切线方程为y (1 2) (32)(x1),或y 1 1 3 2x 1, 8 4 2 即xy 20,或5x4y1 0. 评注: 能够发现直线5x4y10其实不以(1,1)为切点,其实是经 过了点(1,1)且以 1 7 为切点的直线.这说明过曲线上一点的切线, , 2 8 该点未必是切点,解决此类问题可用待定切点法. 练习: 种类四: 已知过曲线外一点,求切线方程 此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解. 例4求过点(2,0)且与曲线y 1相切的直线方程. x 4解: 设P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为 y|xx0 1 . x2 0 ∴切线方程为yy0 1(x x0) ,即 y 1 1(xx0) . x0 2 x0 x0 2 又已知切线过点(2,0),把它代入上述方程,得 1 1 x0 2(2x0). x0 解得x01,y0 1 1,即xy20. x0 评注: 点(2,0)其实是曲线外的一点,但在解答过程中却无需判 断它确实切地点,充足反应出待定切点法的高效性 例5 已知函数yx3 3x ,过点A(016), 作曲线yf(x)的切线,求此 切线方程. 5解: 曲线方程为y x3 3x,点A(016), 不在曲线上. 设切点为M(x0,y0) ,则点M的坐标知足y0x03 3x0.因 f(x0)3(x0 2 1), 故切线的方程为yy0 3(x0 21)(x x0). 点A(016),在切线上,则有 16(x0 3 3x0) 3(x0 2 1)(0x0). 化简得x03 8,解得x0 2. 因此,切点为M(2,2),切线方程为9xy160. 评注: 此类题的解题思路是,先判断点A能否在曲线上,若点A在曲线上,化为种类一或种类三;若点A不在曲线上,应先设出切点并求出切点. 练习: 17.已知曲线方程为y=x2,求过A(3,5)点且与曲线相切的直线方程.分析解法一设过A(3,5)与曲线y=x2相切的直线方程为y-5k(x-3),即y=kx+5-3k. y=kx+5-3k 由 y=x2,得x2-kx+3k-5=0.k2-4(3k-5)=0,整理得(k-2)(k-10)=0.k=2或k=10. 所求的直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0.解法二设切点P的坐标为(x0,y0),由y=x2,得y′=2x.y′|x=x0=2x0.5-y0 由已知kPA=2x0,即3-x0=2x0.又y0=2x0,代入上式整理,得x0=1或x0=5.18.已知曲线S: y=3x-x3及点P(2,2),则过点P可向S引切线,其切线条数为() A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D 分析 明显 P不在 S上,设切点为 (x0,y0), 由y′=3-3x2,得y′|x=x0=3-3x20.切线方程为y-(3x0-x30)=(3-3x20)(x-x0).P(2,2)在切线上,2-(3x0-x30)=(3-3x20)(2-x0),即x30-3x20+2=0.(x0-1)(x20-2x0-2)=0.由x0-1=0,得x0=1. 由x20-2x0-2=0,得x0=1±3. ∵有三个切点,∴由P向S作切线能够作3条.综合练习: 10.已知f(x)=x2+2xf′ (1),则f′(0)等于() A.0 B.-4 C.-2 D.2 答案 B 分析 f′(x)=2x+2f′ (1), 令x=1,得f′ (1)=2+2f′ (1),∴f′ (1)=-2.f′(0)=2f′ (1)=-4. 12.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g (1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线的斜率为() 1 A.4 B.-4 1 C.2 D.-2 答案 A 分析 依题意得f′(x)=g′(x)+2x,f′ (1)=g′ (1)+2=4,选A. 15. (1)求过曲线y=ex上点P(1,e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程; (2)曲线y=15x5上一点M处的切线与直线y=-x+3垂直,求此切线方程.分析 (1)∵y′=ex,∴曲线在点P(1,e)处的切线斜率是y′|x=1=e.1 ∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为k=-e.1 ∴所求直线方程为y-e=-e(x-1),即x+ey-e2-1=0. (2)∵切线与y=-x+3垂直,∴切线斜率为1.又y′=x4,令x4=1,∴x=±1.∴切线方程为5x-5y-4=0或5x-5y+4=0.4.y=ax2+1的图像与直线y=x相切,则a=()D.1答案B 分析由已知{y=ax2+1,y=x有独一解, 即x=ax2+1,ax2-x+1=0有独一解,1 ∴Δ=1-4a=0,∴a=4. 15.点P在曲线y=f(x)=x2+1上,且曲线在点P处的切线与曲线y=-2x2-1相切,求点P的坐标. 分析 设P(x00 2 +1. 00 ,y),则y=x 0 x0+Δx2+1- x02+1 =2x0 . f′(x)=lim Δx Δx→0因此过点P的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),即y=2xx+1-x2. 00而此直线与曲线y=-2x2-1相切,因此切线与曲线y=-2x2-1只有一个公共点. 由{ y=2x0 2 2 0 y=-2x -1, 得 x+1-x, 2 2 2x+2x0x+2-x0=0. 2 2 即=4x0 0 -8(2-x)=0. ±23 7 解得x0= 3 ,y0=. 3 因此点P的坐标为(2 3,7 )或(- 2 3 3,7 ). 3 3 3 17.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切,求k的值. 分析 设切点坐标为(x0 0 0 2 0 0 ,y),y′|x=x =3x-6x +2=k. 若x0 0 0 0 y0 . =0,则k=2.若x ≠0,由y =kx,得k= x ∴3x02-6x0+2=y, 0 0 x0 即3x02 0
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