高中数学点到直线的距离教案新人教A版必修2.docx
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高中数学点到直线的距离教案新人教A版必修2
2019-2020年高中数学点到直线的距离教案新人教A版必修2
一、教材分析
1.教学内容
《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书(必修·人民教育出版社)第二册(上),“§7.3两条直线的位置关系”的第四节课,主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用.
2.地位与作用
本节对“点到直线的距离”的认识,是从初中平面几何的定性作图,过渡到了高中解析几何的定量计算,其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识.对本节的研究,为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习,奠定了基础,具有承上启下的重要作用.
二、目标分析
1.学情分析
我校高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识,具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力.我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃,但处理抽象问题的能力还有待进一步提高.
2.教学目标
根据新课程标准的理念以及前面对教材、学情的分析,我制定了如下教学目标.
【知识技能】
⑴理解点到直线的距离公式的推导过程;
⑵掌握点到直线的距离公式;
⑶掌握点到直线的距离公式的应用.
【数学思考】
⑴通过探索点到直线的距离公式的推导过程,渗透算法的思想;
⑵通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的推导过程,培养学生的数学阅读能力;
⑶通过灵活运用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力.
【解决问题】
由探索点到直线的距离,推广到探索点到直线的距离的过程中,使学生体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法,并使学生在经历反馈练习的过程中,进一步提高灵活运用公式,解决问题的能力.
【情感态度】
结合现实模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣.
3.教学重点、难点
为更好地完成教学目标,本课教学重点设置为:
【重点】
⑴点到直线的距离公式的推导思路分析;
⑵点到直线的距离公式的应用.
【难点】
点到直线的距离公式的推导思路和算法分析.
【难点突破】
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略.利用类比归纳的思想,由浅入深,让学生自主探究,分析、整理出推导公式的不同算法思路.同时,借助于多媒体的直观演示,帮助学生理解,并通过逐步深入的课堂练习,师生互动、讲练结合,从而突出重点、突破教学难点.
三、教学方法
根据教学内容和学生的学习状况、认知特点,本课采用类比发现式教学模式.从学生熟知的实际生活背景出发,通过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式,引导学生探索点到直线的距离的求法.让学生在合作交流、共同探讨的氛围中,认识公式的推导过程及知识的运用,进一步提高学生几何问题代数化的数学能力.
四、过程设计
结合教材知识内容和教学目标,本课分为以下四个教学环节.
环节1 创设情境
在教学环节1中,以学生熟知的地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离等生活图片的欣赏,以及一个具体实例:
当火车在高速行驶时,如果旅客离铁轨中心的距离小于的安全距离时,就可能被吸入车轮下而发生危险.创设情景,让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”,从而有效调动学生的学习兴趣.
(设计意图:
以学生熟悉的实际生活为教学背景,引入新课,有效调动学生的学习兴趣.)
那么“应该如何求点到直线的距离呢?
”带着这个问题,教学进入环节2.
环节2 点到直线的距离公式的推导过程
首先,由学生回答,初中有关“点到直线的距离”的定义:
过点作直线的垂线,垂足为点,线段的长度叫做点到直线的距离.
(设计意图:
引导学生复习旧知,为新课的学习打下基础.)
接着,师生共同探讨如何求点到直线的距离.由于点和直线处在一般位置,所以公式的推导过程含有字母运算,比较抽象.为帮助学生更好地理解,可以补充两个由浅入深的具体问题,为后面推广到一般情况作好铺垫.
问题1 如何求点到直线的距离?
补充的问题1,由于点和直线的位置非常特殊,所以学生容易回答,应该鼓励学生利用多种解法解决本问.
方法①利用定义
由于本课之前,学生已掌握了两条直线交点的求法等知识,所以容易通过定义,将点到直线的距离,转化为点、垂足两点之间距离来解决.
解:
过点作的垂线,设垂足为
方法②利用直角三角形的面积公式
结合图形,学生也能利用面积构造法来解决,这一方法的难点是如何添作辅助线.教学时给予提示:
由垂直条件,可以联想到三角形的高或直角三角形等相关知识.
解:
过点作的垂线,交点为点在Rt
方法③利用三角函数
根据定义作出图象后,由于涉及到Rt和直线倾斜角,学生容易联想利用三角函数知识解决问题.
解:
过点作的垂线,垂足为
方法④利用函数的思想
在初中,学生已初步认识了点到直线的距离的几何特征:
连接直线外一点与直线上任意点,所得线段中垂线段最短.以此为背景,学生可能通过函数的思想来解决.
解:
设直线上的点,则
当时,取得等号,即此时点
对于问题1,学生可能提供的解法不完全,我要引导学生补充完整.改变点和直线的位置,引出补充问题2.
问题2 如何求点到直线的距离?
组织学生类比问题1,独立思考本问的解决方法.在课堂上只要求学生说明解法思路,而不要求解题过程.
(设计意图:
为了推导点到直线的距离公式,学生会面临比较抽象的字母运算.通过补充两个由浅入深的具体问题,使学生能够类比思考,解决当点和直线处在一般位置时,点到直线的距离的求法.)
在解决问题1、2的基础上,将点和直线的位置推广到一般情况,进一步提出问题3.
问题3 如何求点到直线()的距离?
方法① 利用定义的推导方法
通过前面两个补充问题,学生已经积累了一些求点到直线距离的经验和方法,学生可能会类比考虑利用定义,将点到直线的距离转化为点与垂足,两点之间距离来处理.这种方法虽然思路自然,但运算较繁琐,所以只要求学生结合教材,说明算法步骤、明确算法框图,而不要求推导过程.尽管在前面的学习中,学生已掌握了两条直线垂直的充要条件,但学生仍然可能忽略,这一前提条件,而直接得到与垂直直线的斜率为.我要加以纠正,并强调对于的特殊情况,可以结合图象直接得出结论,所以在算法中暂不考虑.
方法② 利用直角三角形的面积公式的的推导方法
学生也可能类比补充问题1、2中,添作辅助线的方式,构造直角三角形,通过面积构造法解决问题.对于这种方法,由于教材已经给出了推导过程,所以学生代表可以只说明算法步骤.与传统教材相比,新教材更关注学生思维能力的培养,淡化形式、注重实质.由于新教材删减了一些同角三角函数的基本关系式,所以旧教材利用三角函数的方法推导公式就显得繁杂,教科书选择的借助直角三角形的面积公式推导公式的方法,简洁、明了.所以,可以让学生根据算法框图,自学教材的推导过程,培养学生的数学阅读能力.在此过程中,应该提醒学生注意Rt三边边长的求法.
方法③利用平面向量的推导方法
由于在前面直线方程的学习中,教材引入了直线方向向量的概念,并运用了向量的有关知识讨论直线的一些问题.所以我班部分思维能力较强的学生,可能会提出利用向量知识推导公式,我要给予肯定.尽管这种方法具有一定难度,但根据我班学生思维能力较强的特点,可以先引导学生复习向量有关知识,使学生明确向量数量积的两种表示方式及其几何意义,再结合图象,师生互动,共同讨论得出,利用向量数量积推导公式的算法步骤、算法框图.在这一过程中,学生可能会遇到,无法表示与直线垂直的向量的坐标的困难,我给予提示:
可以借助于,向量与直线的方向向量互相垂直的充要条件来解决.对于这种方法的具体推导过程,要求学生课后,在自学教材阅读材料“向量与直线”的基础上,作为思考作业完成.这种利用向量的算法,为今后在立体几何中,利用这种方法得到点到平面的距离公式奠定了基础.
(设计意图:
在点到直线的距离公式的推导过程中,通过问题获得知识,让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程,使学生感受到用坐标的方法研究几何问题是一种重要的数学方法.由于点和直线处在一般位置,所以公式的推导中会涉及字母运算,比较抽象.为帮助学生理清思路,在教学中强调了算法的思想,让学生在明确算法步骤和算法框图的前提下,再进行有效的公式证明和自学阅读.)
点到直线的距离公式
点到直线(其中)的距离
在学生通过多种方法推导得出公式后,引导学生根据公式的形式特点,记忆公式.同时强调:
当时,公式仍然适用,也可以结合图象直接求出结论.
在此基础上,要求学生利用公式计算补充问题1、2,并与前面的计算结果进行比较,前后呼应,使学生体会运用公式计算的简便性.点到直线的距离公式的应用是本课的一个重点,为了强化学生对公式的记忆和运用,教学进入环节3.
环节3 点到直线的距离公式的应用
在本环节,我安排了三个典型例题.其中例1是引用教材,由于例题中所给直线的方程已经是一般式,所以学生容易忽略运用公式的前提:
首先应将直线方程化为一般式,在确定了系数的值之后,再代入公式进行计算.这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要.为了强调运用公式的这一前提条件,我在例1中补充设置了⑶、⑷两个小问.
例1 求点到下列直线的距离:
⑴ ⑵
⑶ ⑷
(设计意图:
通过例题练习,强化学生对公式的记忆和应用.同时,“代入公式计算前,首先应将直线方程化为一般式,以便确定系数的值”是学生在应用公式中,容易忽略的环节.将这一薄弱环节设置在补充例题中,使学生在“错误体验”加深记忆,以期达到强化训练的目的.)
在解决了例1的基础上,由浅入深,补充了直线方程含有参数的例2,进一步提高学生灵活运用公式的能力.
例2 ⑴ 已知点到直线的距离为,求的值;
⑵ 已知点到直线的距离为,求的值.
由于例2的两个问题中,直线方程所含参数都具有明显的几何意义:
一个表示直线的斜率,另一个表示直线在轴上的截距.所以解出参数的值后,在“几何画板”中,以数学实验的形式,通过度量进行操作确认.其中⑴随直线的不断变化,学生可观察点到直线距离的度量值、直线斜率的度量值的变化趋势.当时,可发现此时两条直线的斜率的度量值,与计算结果吻合.同时,度量出,说明点落在两条直线所成角的角平分线上(如图1);在⑵中,学生可观察点到直线距离的度量值、直线在轴上截距的变化趋势.当时,直线在轴上的截距的度量值,也与计算结果吻合(如图2).本例既考察了学生对公式的掌握情况,又为下节课对称问题和直线系的研究设下伏笔,并由问题⑵中两平行线间距离为,引出教材的例题.
图 图2
(设计意图:
点到直线距离公式的应用,是本课的一个重点内容.在例1的基础上,增补直线方程含有参数的例2,进一步提高学生灵活运用公式的能力.在几何画板的软件平台中,通过数学实验,让学生感受在利用代数方法研究几何问题后,再回归几何本身的重要性.)
例3 求平行线和的距离.
教材上采用了类比化归的思想,将两平行直线之间的距离,转化为点到直线的距离来解决问题.由于两平行线间的距离处处相等,所以教材选择了一条直线上的特殊点,便于简化计算.学生可能会提出如果在直线上任选一点能否得到这两条平行线之间的距离的问题,由此引出了教材的习题15.根据课堂剩余时间,此题作为机动练习.
此时,本课教学任务已基本完成,为进一步巩固知识,教学进入环节4.
(设计意图:
紧扣教材,让学生体会类比化归的思想方法,同时,为课后作业中推导两平行线之间的距离公式,设下伏笔.)
环节4 课堂总结
由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容,教师加以补充说明.
⑴点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路;
⑵点到直线的距离公式;
⑶点到直线的距离公式的应用前提条件.
(设计意图:
通过小结,使学生本节所学的知识系统化、条理化,进一步巩固知识,明确方法.)
课后作业
① 在自学教材阅读材料“向量与直线”后,利用向量的方法证明点到直线的距离公式;
②教材13、14、16
板书设计
五、教学反思
根据教学经历和学生的反馈信息,我对本课有如下五点反思:
1.对于这一节内容,有两种不同的处理方式:
一种是让学生理解、记忆公式,直接应用而不讲公式的探寻过程,这样的处理不利于我校学生数学思维的培养;二是本课方式,通过强调对公式的探索过程,提高学生利用代数方法处理几何问题的能力;
2.点到直线的距离的推导过程,含有比较抽象的字母运算.如果没有整体算法步骤的分析,学生的思路会缺乏连贯性,所以本课重点分析了三种算法思想:
利用定义的算法、利用直角三角形面积的算法、利用平面向量的算法.让学生在明了算法步骤的前提下,再进行有效的公式推导和自学阅读;
3.向量是一种重要的运算工具,根据我班学生的实际,本课涉及了利用向量的数量积推导点到直线的距离公式的方法.实际上,在以后立体几何的学习中,还将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式.又由于这种方法在思维上有一定的难度,所以,我根据学生的实际情况,提出了分层要求:
基本要求是能够理解教材所给的推导方法,并能够应用公式,较高要求是能够利用向量的方法推导点到直线的距离公式;
4.现代数学认为“几何是可视逻辑”,所以我重视在补充的例题中,突出几何直观和数形结合的思想方法;
5.学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆,所以我重视在学生应用公式中容易忽略的环节,并在补充的例题中给予了设置,以期达到强化训练的目的.
2019-2020年高中数学知识精要25.高考数学应试技巧教案新人教A版
经过紧张有序的高中数学总复习,高校招生考试即将来临,不少同学认为高考数学的成败已成定局。
其实不然,由于这次考试与期中、期末、模拟考试不同,社会的注目,家庭的热切关心,老师的期望,考试成绩又与同学们的切生利益相关,由于重要,可能导致部分同学精神上高度紧张,考前想的很多,会产生波动;但是,我们只要讲究高考数学应试的艺术,还是能把高考数学成绩提高一个档次。
(一)高考应试心理、策略、技巧
高考要取得好成绩,首先要有扎实的基础知识、熟练的基本技能和在长年累月的刻苦钻研中培养起来的数学能力,同时,也取决于临场的发挥,高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔,这就使得临场发挥显得尤为重要,研究和总结临场解题策略,进行应试训练和心理辅导,已成为高考辅导的重要内容之一,正确运用数学高考临场解题策略,不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误,而且能运用科学的检索方法,建立神经联系,挖掘思维和知识的潜能,考出最佳成绩。
1、提前进入“角色”
高考前一个晚上睡足八个小时,吃好清淡早餐,按清单带齐一切用具,提前半小时到达考区,一方面可以消除新异刺激,稳定情绪,从容进场,另一方面也留有时间提前进入“角色”——让大脑开始简单的数学活动,进入单一的数学情境。
如:
1.清点一下用具是否带全(笔、橡皮、作图工具、准考证、手表等)。
2.把一些基本数据、常用公式、重要定理“过过电影”。
3.最后看一眼难记易忘的结论。
(这些你记住了吗?
)
4.互问互答一些不太复杂的问题。
(启动你的思维)
通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等,进行针对性的自我安慰,从而减轻压力,轻装上阵,稳定情绪、增强信心,使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
一些经验表明,“过电影”的成功顺利,互问互答的愉快轻松,不仅能够转移考前的恐惧,而且有利于把最佳竞技状态带进考场。
2、精神要放松,情绪要自控
情绪乐观、思维活跃、适度焦虑、激发动机、积极暗示、挖掘潜能、体育锻炼、心境乐观、学习之余学会休闲。
最易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的“临战”阶段,此间保持心态平衡的方法有三种:
①转移注意法:
避开监考者的目光,把注意力转移到某一次你印象较深的数学模拟考试的评讲课上,回忆考试原则,有效得分时间。
②自我安慰法:
如“我经过的考试多了,没什么了不起”,“考试,老师监督下的独立作业,无非是换一换环境”等。
③抑制思维法:
闭目而坐,气贯丹田,四肢放松,深呼吸,慢吐气,如此进行到发卷时。
3、迅速摸透“题情”
刚拿到试卷,一般心情比较紧张,不忙匆匆作答,可先从头到尾、正面反面通览全卷,尽量从卷面上获取最多的信息,为实施正确的解题策略作全面调查,摸透题情,然后稳操一两个易题熟题,让自己产生“旗开得胜”的快意,从而有一个良好的开端,以振奋精神,鼓舞信心,很快进入最佳思维状态,以保证有良好的开端之后做一题得一题,不断产生正激励,稳拿中低,见机攀高。
。
通览全卷是克服“前面难题做不出,后面易题没时间做”的有效措施,也从根本上防止了“漏做题”。
4、信心要充足,暗示靠自己
答卷中,见到简单题,要细心,莫忘乎所以,谨防“大意失荆州”。
面对偏难的题,要耐心,不能急。
对于海中的学生要求做到:
坚定信心、步步为营、力克难题。
考试全程都要确定“人易我易,我不大意;人难我难,我不畏难”的必胜信念,使自己始终处于最佳竞技状态。
5、八先八后
在通览全卷,将简单题顺手完成的情况下,情绪基本趋于稳定,大脑趋于亢奋,此后七八十分钟内就是最佳状态的发挥或收获丰硕果实的黄金季节了。
实践证明,满分卷是极少数,绝大部分考生都只能拿下大部分题目或题目的大部分得分。
因此,实施“八先八后”及“分段得分”的考试艺术是明智的。
1.先易后难。
就是先做简单题,再做综合题。
应根据自己的实际,果断跳过啃不动的题目,从易到难,也要注意认真对待每一道题,力求有效,不能走马观花,有难就退,伤害解题情绪。
2.先熟后生。
通览全卷,可以得到许多有利的积极因素,也会看到一些不利之处。
对后者,不要惊慌失措。
应想到试题偏难对所有考生也难。
通过这种暗示,确保情绪稳定。
对全卷整体把握之后,就可实施先熟后生的策略,即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。
这样,在拿下熟题的同时,可以使思维流畅、超常发挥,达到拿下中高档题目的目的。
3.先同后异。
就是说,可考虑先做同学科同类型的题目。
这样思考比较集中,知识或方法的沟通比较容易,有利于提高单位时间的效益。
一般说来,考试解题必须进行“兴奋灶”转移,思考必须进行代数学科与几何学科的相互换位,必须进行从这一章节到那一章节的跳跃,但“先同后异”可以避免“兴奋灶”过急、过频和过陡的跳跃,从而减轻大脑负担,保持有效精力。
4.先小后大。
小题一般是信息量少、运算量小,易于把握,不要轻易放过,应争取在大题之前尽快解决,从而为解决大题赢得时间,创造一个宽松的心理气氛。
5.先点后面。
近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”,解答时不必一气审到底,应走一步解决一步,而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件,所以要步步为营,由点到面。
6.先局部后整体。
对一个疑难问题,确实啃不动时,一个明智的解题策略是:
将它划分为一个个子问题或一系列的步骤,先解决问题的一部分,即能解决到什么程度就解决到什么程度,能演算几步就写几步,每进行一步就可得到这一步的分数。
如从最初的把文字语言译成符号语言,把条件和目标译成数学表达式,设应用题的未知数,设轨迹题的动点坐标,依题意正确画出图形等,都能得分。
还有像完成数学归纳法的第一步,分类讨论,反证法的简单情形等,都能得分。
而且可望在上述处理中,从感性到理性,从特殊到一般,从局部到整体,产生顿悟,形成思路,获得解题成功。
7.先面后点。
解决应用性问题,首先要全面审察题意,迅速接受概念,此为“面”;透过冗长叙述,抓住重点词句,提出重点数据,此为“点”;综合联系,提炼关系,依靠数学方法,建立数学模型,此为“线”。
如此将应用性问题转化为纯数学问题。
当然,求解过程和结果都不能离开实际背景。
8.先高(分)后低(分)。
这里主要是指在考试的后半段时要特别注重时间效益,如两道题都会做,先做高分题,后做低分题,以使时间不足时少失分;到了最后十分钟,也应对那些拿不下来的题目就高分题“分段得分”,以增加在时间不足前提下的得分。
八先八后,要结合实际,要因人而异,谨防“高分题久攻不下,低分题无暇顾及”。
6、一细一实
就是说,审题要细,做题要实。
题目本身是“怎样解这道题”的信息源,所以审题一定要逐字逐句看清楚,力求从语法结构、逻辑关系、数学含义等各方面真正看清题意。
审题是整个解题过程的“基础工程”,必须充分搞清题意,综合所有条件,提炼全部线索,形成整体认识,为形成解题思路提供全面可靠的依据。
解题实践表明,条件预示可知并启发解题手段,结论预告需知并诱导解题方向。
凡是题目未明显写出的,一定是隐蔽给予的,只有细致的审题才能从题目本身获得尽可能多的信息,这一步不要怕慢。
找到解题方法后,书写要简明扼要,快速规范,不要拖泥带水,啰嗦重复,尤忌画蛇添足。
一般来说,一个原理写一步就可以了,至于不是题目考查的过渡知识,可以直接写出结论。
高考允许合理省略非关键步骤。
为了提高书写效率,应尽量使用数学语言、符号,这比文字叙述要节省而严谨。
7、分段得分
对于同一道题目,有的人理解得深,有的人理解得浅,有的人解决得多,有的人解决得少。
为了区分这种情况,高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。
这种方法我们叫它“分段评分”,或者“踩点给分”——踩上知识点就得分,踩得多就多得分。
鉴于这一情况,高考中对于难度较大的题目采用“分段得分”的策略实为一种高招儿。
其实,考生的“分段得分”是高考“分段评分”的逻辑必然。
“分段得分”的基本精神是,会做的题目力求不失分,部分理解的题目力争多得分。
1.对于会做的题目,要解决“会而不对,对而不全”这个老大难问题。
有的考生拿到题目,明明会做,但最终答案却是错的——会而不对。
有的考生答案虽然对,但中间有逻辑缺陷或概念错误,或缺少关键步骤——对而不全。
因此,会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学,防止被“分段扣点分”。
经验表明,对于考生会做的题目,阅卷老师则更注意找其中的合理成分,分段给点分。
2.对绝大多数考生来说,更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。
我们说,有什么样的解题策略,就有什么样的得分策略。
把你解题的真实过程原原本本写出来,就是“分段得分”的全部秘密。
1缺步解答
如果遇到一个很困难的问题,确实啃不动,一个聪明的解题策略是,将它们分解为一系列的步骤,或者是一个个小问题,先解决问题的一部分,能解决多少就解决多少,能演算几步就写几步,尚未成功不等于失败。
特别是那些解题层次明显的题目,或者是已经程序化了的方法,每进行一步得分点的演算都可以得分,最后结论虽然未得出,但分数却已过半,这叫“大题拿小分”,确实是个好主意。
②跳步答题
解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。
这时,我们可以先承认中间结论,往后推,看能否得到结论。
如果不能,说明这个途径不对,立即改变方向;如果能得出预期结论,就回过头来,集中力量攻克这一“卡壳处”。
由于考试时间的限制,“卡壳处”的攻克来不及了,那么可以把前面的写下来,再写出“证实某步之后,继续有……”一直做到底,这就是跳步解答。
也许,后来中间步骤又想出来,这时不要乱七八糟插上去,可补在后面,“事实上,某步可证明或演算如下”,以保持卷面的工整。
若题目有两问,第一问想不出来,可把第一问作“已知”,“先做第二问”,这也是跳步解答。
③退步解答
“以退求进”是一个重要的解题策略。
对于一个较一般的
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