完整版不等式证明的若干种方法毕业设计.docx
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完整版不等式证明的若干种方法毕业设计
本科生毕业论文
题 目 不等式证明的若干种方法
院 系 数学系
专 业 数学与应用数学
2013年5月
本科生毕业设计(论文、创作)声明
本人郑重声明:
所呈交的毕业设计,是本人在指导教师指导下,进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外,本设计的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或没有公开发表的作品内容。
对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体,均已在文中以明确方式标明。
本设计创作声明的法律责任由本人承担。
作者签名:
年月日
本人声明:
该毕业设计是本人指导学生完成的研究成果,已经审阅过毕业设计的全部内容,保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性,并通过一定检测手段保证毕业设计未发现违背学术道德诚信的不端行为。
指导教师签名:
年月日
不等式证明的若干种方法
高银梅
(集宁师范学院数学系数学与应用数学2009级)
摘要:
无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容。
而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分。
在本文中,我总结了一些数学中证明不等式的方法。
在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、综合法、分析法、换元法、增量代换法、反证法、放缩发、构造法、数学归纳法、判别式法等等。
在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数以及一些著名不等式,如:
柯西不等式、詹森不等式、施瓦茨不等式、赫尔德不等式等等。
从而使不等式的证明方法更加完善,有利于我们进一步探讨和研究不等式的证明。
通过学习这些证明方法,可以帮助我们解决一些实际问题,培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。
关键词:
不等式,证明方法,常用,特殊
Abstract:
bothinelementarymathematicsandimportantpartofknowledge.Inthisarticle,Isummarizedsomemathematicalproofofthemethodofinequality.Inequalityinelementarymathematicsanalystisoftenusedwithcomparisonmethod,synthesis,analysis,changeelementmethod,incrementalsubstitutionmethod,thereductiontoabsurdity,zooming,constructionmethod,mathematicalinduction,discriminantmethodandsoon.Inequalityinuseofmeanvaluetheorem,Taylorformula,Lagrangefunction,andsomewell-knowninequalities,suchascauchyinequality,Jensen'sinequality,inequalitySchwartz,.Sothattheinequalityproofmethodmoreperfect,goodforourfurtherdiscussionandstudyofinequalityproof.Bystudyingtheseproofs,can-cos=sin(-),∵-≤-≤,∴-1≤sin(-)≤,即-1≤-x≤.
故原不等式成立。
2.5增量代换法
在对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c)的不等式,常用增量进行代换,代换的目的是减少变量的个数,使要证的结论更清晰,思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简。
例已知a,bR,且a+b=1,求证:
(a+2)+(b+2)≥.
证明:
∵a,bR,且a+b=1,∴设a=+t,b=-t,(tR)
则(a+2)+(b+2)=(+t+2)+(-t+2)=(t+)+(t-)=2t+≥.
∴(a+2)+(b+2)≥.
故原不等式成立。
2.6反证法
反证法的原理是:
否定之否定等于肯定。
反证法的思路是“假设矛盾肯定”,采用反证法时,应从与结论相反的假设出发,推出矛盾的过程中,每一步推理必须是正确的。
例已知求证:
.
证:
假设成立则.
即 .
.
..
由此得,这是不可能的,得出矛盾。
.
故原不等式成立。
2.7放缩法
放缩法是证明不等式的一种特殊的方法。
从不等式的一边入手,逐渐放大或缩小不等式,直到不等式的另一边,这种方法叫做放缩法。
例求证:
证:
有.
.
所以.
故原不等式成立。
2.8构造法
构造法是通过类比、联想、转化,合理的构造函数模型,从而使问题迎刃而解。
过程简单,一目了然。
例已知三角形ABC的三边长是a,b,c,且m为正数,求证:
.
证明:
设显然函数在是增函数。
a,b,c是三角形ABC的三边长.
,,即,
又
.
.
.
故原不等式成立。
2.9数学归纳法
证明有关自然数的不等式,可以采用数学归纳法来证明。
1.验证取第一个数值时,不等式成立,
2.假设取某一自然数时,不等式成立。
(归纳假设),由此
推演出取时,此不等式成立。
例求证:
证:
(1)当时,左边=1,右边=2不等式显然成立。
(2)假设时,
.则时,
左边=
.
=
.时不等式也成立.
故原不等式成立。
2.10判别式法。
判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程,一元二次不等式,二次函数的根,函数解集的性质等特征来确定判别式所应满足的不等式,从而推出欲证的不等式的方程。
例设,求证:
.
证:
.
.
因为的系数为,.
故原不等式成立。
2.11导数法
当属于某个区间,有,则单调递增;若,则单调递减.推广之,若证,只须证及即可.
例证明不等,
证明设则故当时,递增;当递减.
则当时,
从而证得
故原不等式成立。
2.12利用幂级数展开式证明不等式
例当,证明.
证明:
因,分别可写成幂级数展开式:
=
=,;
=
.
则要证不等式左边的一般项为,右边的一般项为,因此当,,有.所以,.
故原不等式成立。
2.13向量法
利用向量的数量积及不等式关系
例已知a、b、c都是正实数,求证
.
证明:
设
,,则
.
.
故原不等式成立。
2.14利用定积分性质证明不等式
对可积函数,,若,则.
例证明:
.
证明当时,,,则,因在(1,2)上均为连续函数。
则在(1,2)均可导,由定积分性质可知
.
故原不等式成立。
3利用函数的性质证明不等式
设,和为增函数,满足,,证明:
,利用复合函数及其单调性质。
证明:
因对于任意的,有,且,和均为增函数,所以有
.
即.
故原不等式成立。
4利用柯西不等式证明
设均为实数,则
,当且仅当时成立.
例15若,求证
.
证明:
=
当时等号成立。
故原不等式成立。
5利用均值不等式证明
均值不等式公式:
①
,(当且仅当时取“”);
②
,(当且仅当时取“”)。
均值不等式是高考中一个重要知识点,其变形多,约束条件“苛刻“(一正、二定,三相等)。
例已知a,b,c为不全相等的正数,求证:
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
分析:
观察要证不等式的两端都是关于a,b,c的3次多项式,左侧6项,右侧6项,左和右积,具备均值不等式的特征。
证明:
∵b2+c2≥2bc,a>0,∴a(b2+c2)≥2abc
同理,b(c2+a2)≥2bac,c(a2+b2)≥2cab,
又因为a,b,c不全相等,
所以上述三个不等式中等号不能同时成立,
因此
.
故原不等式成立。
例若,求证:
.
证明:
.又.
.
当且仅当,即时等号成立.
故原不等式成立。
6利用施瓦茨不等式证明
施瓦茨不等式:
若和在上可积,则
.
例证明:
若在上可积,则
.
证明:
根据施瓦茨不等式有:
.
所以
.
故原不等式成立。
7利用中值定理法证明不等式
7.1拉格朗日中值定理
若函数满足如下条件:
(1)在闭区间上连续
(2)在开区间()内可导,则在()内至少存在一点,使得.
例证明:
,其中.
证明:
设,显然在上满足拉格朗日中值定理的条件,且,故,使.
即而,故有.
即.
故原不等式成立。
7.2积分第一中值定理
若在上连续,则至少存在一点,使得
.
例证明:
.
证明:
在上,,且函数不恒等于1和,所以有
.
故原不等式成立。
8利用詹森不等式证明
詹森不等式:
若为上凸函数,则对任意,有.
例证明:
不等式,其中,,均为正数
证明:
设,,由的一阶和二阶导数,可见,在时为严格凸函数,依詹森不等式有:
.
从而
.
.
即,又因,再两边同乘以次方得
.
所以.
故原不等式成立。
总之,不等式的证明方法有很多,我们应该在教学和学习中努力将这些好的方法发扬光大,使我们的教学和学习更加轻松。
致谢
踉踉跄跄地忙碌了两个多月,我的毕业设计课题将告一段落了。
我从中明白了做每一件事,不必过于在乎最终的结果,可贵的是在做事过程中的收获。
毕业设计,也许是我大学生涯交上的最后一个作业。
我想借此机会感谢四年来给我帮助的所有老师、同学、家人、亲戚,和你们之间的友谊是我人生的财富,是我生命中不可或缺的一部分。
我的毕业指导老师莎仁格日勒老师,她以一位长辈的风范来容谅我的无知和冲动,给我不厌其烦的指导。
在此,要特别向她道声谢谢。
大学生活即将过去,但我却能无悔地说:
“我曾经来过。
”大学四年,但它给我的影响却不能用时间来衡量,这四年来,我经历过的所有事,结交的所有人,都将是我以后生活中回味一辈子的宝贵精神财富,也是日后我为人处事的指南针。
就要离开学校,走上工作岗位了,这将是我人生历程的又一个起点,在这里深深祝福大学里跟我风雨同舟的朋友们,祝你们幸福。
也祝愿学校的每一位师长都幸福快乐。
参考文献
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[2]佟成军.一个不等式的加强及证明[J].数学通讯,2006,(07).
[3]曾峰.一个不等式的证明及应用[J].中学课程辅导(初二版),2005,(02).
[4]黄长风.联想证明不等式[J].数学教学研究,2005,(03).
[5]李歆.不等式的几个推论及应用[J].中学生数学,2005,(05).
[6]方辉.浅谈哥西不等式的应用[J].黄山学院学报,1997,(01).
[7]高尚华.数学分析[J].高等教育出版社.2001,(6).
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