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最优化问题.docx
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最优化问题
最优化问题
最优化问题
(一)
例1:
一只平底锅上只能剪两只饼。
用它剪1只饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)。
问剪3只饼需要几分钟?
怎样剪?
例2:
6个人各拿一只水桶到水龙头接水。
水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。
现在只有这一个水龙头可用,问怎样安排这6个人的打水次序,可使他们总的等候最短?
这个最短时间是多少?
例3:
小红放学回家,想让爸爸、妈妈下班后就能吃上晚饭。
她准备做大米饭和炒鸡蛋。
小红家有两个炉灶。
估计一下,洗锅要用1分钟,淘米要用5分钟,做大米饭要用30分钟,打蛋要用1分钟,洗炒勺要用1分钟,烧油要1分钟,炒鸡蛋要3分钟。
你认为最合理的安排要几分钟能做好饭菜?
例4:
在公路上,每隔100千米有一个仓库,共有5个仓库。
1号仓库里有10吨货物,2号仓库里有20吨货物,5号仓库里有40吨货物,其余两个仓库都是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里,若每吨货物运输一千米要0.5元运输费,那么至少要花费多少元运费才行?
例5:
沿铁路有5个工厂,A,B,C,D,E(如图),各厂每天都有10吨货物要外运。
现在想建一座车站,使这5个工厂的货物运到车站的行程总和越小越好。
车站应建在何处?
如果在E的右侧增加一个工厂,车站建在何处总行程最小呢?
例6:
在公路干线的附近,有5个工厂A,B,C,D,E(如图),各厂每天都有10吨货物要存库。
现在想在公路干线上建一座库房,使这5个工厂的货物运到库房的行程总和越小越好,库房应建在何处?
例7:
工地上有手推车20辆,其中10辆从A1到B1运垃圾,要60车次运完。
另外10辆从A2到B2运砖头,要40车次运完。
工地上的可行道路及路程如图(单位:
米)所示。
有人说上面的安排不合理,因为跑空车的路程还可以更少些。
那么,怎样安排才算合理呢?
【练习题】
1、有7个满杯水、7个半杯水和7个空杯。
不许倒水,你能把这些东西平均分给3个人,使得每人有7只杯子和3杯半水吗?
2、有8个人在交通事故中受伤,救援人员1人可以救护2人,而1辆救护车只可以坐4个人。
至少应当开出几辆救护车到事故现场?
3、理发室有甲、乙两位理发师,同时来了5位顾客,根据他们所要理的发型,分别需要10分钟、12分钟、15分钟、20分钟和24分钟。
怎样安排他们理发的顺序,才能使这5个人的理发及等候所用时间的和最少?
最少要花多少分钟?
4、甲、乙两村相距10千米,要在两村之间联合建一所小学校。
甲村有60人上学,乙村有40人上学。
那么小学校应该建在什么地方,才能使这100个学生每天上学的总行程最短?
5、妈妈让小明给客人烧水砌茶。
洗开水壶要1分钟,烧开水要15分钟,洗茶壶要1分钟,洗茶杯要1分钟,拿茶叶要2分钟。
为了使客人早点喝上茶,你认为最合理的安排,多少分钟就能沏茶了?
6、在一条公路上有4个工厂,任意相邻的两个工厂距离相等(如图所示)。
现在要在这条公路上设一车站,使得这4个工厂的所有工人步行到车站的总路程最少,这个车站应设在几号工厂门口?
7、小明骑在牛背上赶牛过河。
共有甲、乙、丙、丁4头牛。
甲牛过河需要1分钟,乙牛过河需要2分钟,丙牛过河需要5分钟,丁牛过河需要6分钟。
每次只能赶两头牛过河,那么小明要把这4头牛都赶到对岸,最小要用多少分钟?
8、甲、乙两个仓库各有100吨化肥。
春耕生产时,北乡要60吨化肥,南乡要80吨化肥。
两个仓库到两乡的路程如图所示。
如果每吨化肥每运1千米要1元的运费。
那么
(1)要使运费是省,必须从甲库运多少吨?
(2)最省的总运费是多少?
作者:
221.216.43.*2006-11-1620:
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2最优化问题
9、A、B两家钢铁公司分别存有钢材1100吨和2000吨。
现在要用火车从这两家公司把这批钢材分别运送到甲、乙、丙、丁4个城市,支援那里的重点工程建设。
这4项重点工程所需要钢材数量依次是100吨、1500吨、400吨、1100吨。
A、B两家公司与4个城市之间的铁路长(单位:
千米)如表:
问:
怎样调运这两批钢材运费最少?
最优化问题
(二)
例1:
北京和上海分别制成了同一型号的电子计算机若干台。
除本地应用外,北京可以支援外地10台,上海可以支援外地4台。
现在决定给重庆8台,汉口6台。
若每台计算机的运费如表(单位:
元),应该如何调运,才能使总的运费最省?
例2:
在右图中,每个数表示走这段路所需要的时间(单位:
分钟)。
求A到B的最短时间。
例3:
某车队有4辆汽车,担负A、B、C、D、E、F六个分厂的运输任务(右图中所标出的数各分厂所需装卸工人数,各分厂所需装卸工共6+5+8+4+3+7=33人)。
让部分人跟车装卸,在需要装卸工人数较多的分厂再配一个或几个装卸工。
如何安排才能保证各分厂所需工人数,又使装卸工人数最少?
【练习题】
1、烧一道“香葱炒蛋”,需要七道手续。
每道手续所需时间如下:
敲蛋1分钟,洗葱、切葱花3分钟,打蛋2分钟,洗锅2分钟,烧热锅2分钟,烧热油4分钟,炒4分钟。
那么你认为烧好这道菜所需最短时间为多少分钟?
2、小明、小华、小强同时去卫生室找张大夫治病。
小明打针要5分钟,小华换纱布要3分钟,小强点眼药水要1分钟。
问张大夫如何安排治病次序,才能使他们耽误上课的时间总和最少?
并求出这个时间。
3、有89吨货物要从甲地运往乙地,大卡车的载重量是7吨、小卡车的载重量是4吨,大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是14公升与9公升。
问如何选派车辆才能使运输耗油量最少?
这时共需用油多少公升?
4、电车公司维修站有7辆电车需要维修,如果用一名工人维修这7辆电车,修复时间分别为12、17、8、18、23、30、14分钟。
每辆电车停开1分钟经济损失11元。
现在有3名工作效率相同的维修工人各自单独工作,要使经济损失减少到最小程度,最少损失多少元?
5、右图是一张道路图,每段路上的数是小王走这段路所需的分钟数。
请问小王从A出发走到B,最快需多少分钟?
6、某乡共有六块麦田,每块麦田的产量如图所示。
试问打麦场应设置在何处,才能使运输总量(吨、千米)最小?
7、有十个村,坐落在从县城出发的一条公路上(如图,距离单位是千米)。
要安装水管,从县城送自来水供给各村。
可以用粗、细两种水管。
粗管足够供应所有各村用水,细管只能供一个村用水。
粗管每千米要用8000元,细管每千米要用2000元。
把粗管和细管适当搭配、互相连接,可以降低工程的总费用。
按你认为最节约的办法,费用应是多少?
8、某公司运输队每天有5辆汽车为7个工厂作循环运输任务。
每个工厂需配备的装卸工如图所示。
如果每个工厂固定的装卸工太多,会造成浪费,可让一部分装卸工跟车装卸。
这样,有人跟车,有人固定。
怎样合理安排才能使装卸工人数最少?
9、有五个工件需要先在机床A上加工,然后再机床B上加工。
每个工件需要加工的小时数在下表中。
如果安排适当,可使加工完成这五个工件所需时间最少,问最小只需多少小时?
10、两辆卡车到河边运沙子。
河边有10个工人装车。
卡车装满后,30分钟可以跑一个来回。
有人说:
“5个人负责装一辆卡车的沙子,两辆车同时装,30分钟就能装完,这样速度最快。
”有人说:
“10个人同时装一辆车的沙子,20分钟装一车,装完一车再装一车,这样快。
”想一想,哪种办法效率高?
作者:
221.216.43.*2006-11-1620:
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3最优化问题
11、A、B两地各有10万吨煤和5万吨煤可供外运,现上海需8万吨,南京需7万吨。
A地到南京和上海的运费分别是每吨0.6元和0.8元,B地到南京和上海的运费分别是每吨0.5元和0.7元。
问怎样调运使运费最省?
最优化问题(三)
例1:
周长为20米的竹篱笆围成一个长方形菜园,要使菜园的面积最大,它的长和宽应该是多少?
这时最大的面积是多少?
如果借助一面围墙来围,最大面积是多少?
例2:
把8拆成若干个自然数的和,使这些自然数的乘积最大。
这个最大的积是多少?
例3:
把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数分成两组,排成一个五位数和一个四位数,并使这两个数的乘积最大。
其中那个四位数是多少?
例4:
“123456789101112……484950”是一个位数很多的多位数,从中划去80个数字,使剩下的数字(先后顺序不变)组成最大的多位数,这个最大的多位数是几?
例5:
在图中的A、B、C代表不同的自然数。
其他字母都等于指向它的几个箭头起点处的数的和(如D=A+B)。
A、B、C分别等于多少时,才能使X的值最小?
此时X等于几?
例6:
在7×7平方分米的正方形地面上怎样铺入1×4平方分米的瓷砖,使铺入的瓷砖数最多?
试用作图方法说明你的设计。
【练习题】
1、在一片草地上要开垦长方形园地种植花草。
围墙造价每米80元,现有资金28800元用于建筑围墙,这块园地面积最大可围多少平方米?
2、有一农户利用一堵墙用篱笆围一个长方形的鸭圈。
已知篱笆长度只有24米,怎样围面积最大?
3、
(1)把16拆成两个自然数,使这两个数的乘积最大。
最大是多少?
(2)把16拆成三个自然数,使这三个数的乘积最大。
最大是多少?
4、把16拆成几个互不相同的自然数,使这些自然数的乘积最大。
最大是多少?
5、把19拆成若干个整数(可以相同的自然数)的和,使乘积尽可能地大,最大乘积是多少?
6、有三条线段a、b、c,a长212厘米,b长271厘米,c长353厘米,以它们作为上底、下底和高,可以作出不同的三个梯形(如图所示)。
问第几个梯形的面积最大?
7、如图两条垂直相交的线段AB、CD,交点为E。
已知DE=2CE,BE=3AE。
在AB和CD上取三个点画三角形,问怎样取这三个点,画出的三角形面积最大?
8、在右图中,A、B、C等字母代表不同的自然数,且除A、B、C外的每个数都等于指向它的几个箭头起点处的数的和。
A、B、C分别等于多少时才能使X的值最小,此时X等于几?
9、把“1、2、3、4、5、6、7、8”这八个数字组成两个四位数,使这两个数的乘积最大。
这两个四位数各是多少?
10、有36块正方形纸片,每块的面积都是4平方厘米。
用这些正方形纸片,可拼成许多不同的长方形。
这些长方形中,周长最长的那个长方形,它的周长是多少厘米?
11、用1×3平方分米的瓷砖铺4×5平方分米的长方形地面。
至多铺多少块瓷砖?
怎么铺?
12、“123456789101112……99100”是个多位数,如果允许调整数字的顺序,所组成的最小多位数是多少?
13、“123456789101112……99100”是个多位数,从中划去100个数字,剩下的数字(先后顺序不变)组成的多位数最大是多少?
最小是多少?
14、某人从住地到某地去有两种方案,一种是骑自行车去,另一种是乘公共汽车去。
显然公共汽车的速度比自行车的速度快,但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间可看作固定不变的),在任何情况下,他总是采用花时间最少的最佳方案。
下表表示他到达A、B、C三地采用最佳方案所需要的时间。
为了到达8千米的地方,他需要花多少时间?
并简述理由。
作者:
221.216.43.*2006-11-1620:
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最优化问题
§3最优化问题
1.当周长一定时,什么样的三角形和四边形面积最大?
2.甲地有58吨货物要运到乙地,大卡车的载重量是7吨,小卡车的载重量是4吨,大卡车运一趟耗油14升,小卡车运一趟耗油9升。
问:
运完这批货物最少耗油多少升?
如果有货物59吨呢?
3.用天平称1~40克的物品,最少需要几个分别是多重的砝码?
4.27只乒乓球中有一只是次品,次品比正品轻一点,现有一个天平,最少称几次,一定能把次品找到?
5.现有10箱手表,已知9箱是全钢的,1箱是半钢的(外表区分不出来),全钢的重20克,半钢的重18克,能不能只称一次就把这箱半钢表从中挑出来?
6.有一架天平,只有5克和35克砝码各一个,现在要把300克盐分成三等份,问最少需要用天平称几次?
7.有四个重量不同的物体,用一架没有砝码的天平,最少需要称多少次才能将这四个物体按重量排出次序?
怎样称?
8.街道旁有四栋居民楼A、B、C、D(图5-4),现要立一个邮筒,为使四栋楼的居民到邮筒的距离之和最短,邮筒应立在何处?
9.有一个水塔要供应某条公路旁的6个居民点用水(图5-5,单位:
千米),要安装水管,有粗细两种水管,粗管足够供应6个居民点用水,细管只能供应1个居民点用水,粗管每千米要7000元,细管每千米要2000元,粗细管怎样互相搭配,才能使费用最省,费用应是多少?
10.在一条公路上,每隔100千米有一座仓库(图5-6),共有五座,图中数字表示各仓库库存货物的重量,现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里,如果每吨货物运输1千米需要运费0.5元,那么集中到哪个仓库运费最少,需多少钱?
11.有七个村庄A1、A2、…、A8分布在公路两侧(图5-7),由一些小路与公路相连,要在公路上设一个汽车站,要使汽车站到各村庄的距离之和最小,车站应设在哪里?
12.如图5-8,A、B两村要在岸边合建一个抽水机房,为使引水到两个村所铺设的水管最省,抽水机房应建在岸边距C点多远处?
(单位:
千米)
13.A、B两村位于河的两岸(图5-9),两村决定修建一座桥,为使从A村到B村的路最短,桥应修在何处?
请画图表示。
14.要在两条街道(如图5-10)A和B上各设立一个邮筒,M处是邮局,问邮筒设在哪里,才能使邮递员从邮局出发,到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短?
请画图表示。
15.小马倌要从A处出发,到河边打水,并把水送到B处的马棚(图5-11)请你画图表示他怎样走路程最短?
16.有两条通讯路线A和B(图5-12),通讯员从C处出发,查完两条线后到D处,作图表示他怎样走路程最短?
(假设到达通讯线路的任何一处都可完成查线工作)
17.甲、乙两村之间隔两条河(图5-13),为使两村间的行程最短,应在这两条河的什么位置架桥?
(作图表示)
18.一牧马人带马群从营房B点出发,到草地去放牧,傍晚到营房A之前还要到河边饮马(图5-14)他应怎样走才能使路程最短?
(作图表示)
19.某地举行划船比赛,要求从河中的C点出发,先到A岸,再到B岸,最后返回C点(图5-15),问怎样的路线路程最短?
20.如图5-16,一只甲虫要从平地一点A爬到屋角C,已知AEFD与EBCF是相同的两个矩形。
问:
甲虫怎样走路程最短?
21.在图5-17所示的长方体中,求沿长方体的表面从顶点A到顶点B的最短距离。
(单位:
厘米)
22.商店卖汽枪子弹,每一粒1分钱,每五粒4分钱,每十粒7分钱,每二十粒1角2分钱,小明的钱至多能买73粒,小刚的钱至多能买87粒,小明和小刚的钱合起来能买多少粒?
23.早饭前妈妈要干好多的事:
烧开水要15分钟,擦桌椅要8分钟,准备暖瓶要1分钟,灌开水要2分钟,买油条要10分钟,煮牛奶要7分钟,如果灶具上只有一个火,全部做完这些工作最少需多少时间?
怎样安排?
24.理发室里有甲、乙两位理发师,同时来了五位顾客,根据他们所要理的发型,分别需要10、12、15、20和24分钟,怎样安排他们理发的顺序,才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少?
最少要花多少时间?
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221.216.43.*2006-11-1620:
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最优化问题
25.有一个80人的旅游团,其中男50人,女30人,他们住的旅馆有11人、7人和5人的三种房间,男女分住不同房间,他们至少要住多少个房间?
26.60个同学去野营,他们搭的五顶帐蓬正好位于正五边形的五个顶点上(图5-18),图中圆圈内的数字表示每个帐蓬内的人数。
现在想将五个帐蓬内的人数调整为一样多,怎样调动最简便?
27.图5-19是一个粮店和居民点的位置示意图,○表示粮店,○内的数字表示该粮店存粮数(吨),●表示居民点,线段表示道路,线段上的数字表示距离(千米)。
假设运输一吨粮食每千米的运费为0.3元,每个居民点都需要30吨粮食,应如何调运才能使运费最省?
运费为多少元?
28.甲、乙两瓶容积相同,甲瓶装满了水,乙瓶装满了酒,另外有三只容积相等的空杯子,三只杯子的容积正好等于一只瓶子的容积,试用这三只杯子最简便地把甲、乙两瓶都调成酒水各半的液体。
29.在下列道路图中(图5-20),数字表示各段路的路程,分别求出各图中从A到B的最短路程。
*30.如图5-21所示,甲步行从B地出发到A地后一小时,乙步行从B地出发到C地去,乙出发一小时后,丙突然想起要通知甲、乙一件重要的事情,于是他从B地出发骑自行车去追赶甲和乙。
已知甲、乙步行的速度相等,那么,丙应当先追甲再返回追乙,还是先追乙再返回追甲,怎样才能使丙从B地出发到最终返回B地所走的路程最短?
*31.如图5-21所示,甲步行从B地出发到A地去送信,一小时后乙步行从B地出发到C地去送另一封信,乙出发一小时后,丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了,于是他从B地出发骑自行车去追赶甲和乙,以便把信调过来。
已知甲乙步行的速度相同,为了使丙从B地出发,把两封信调换完毕后返回B地所走的路最短,他应当先追甲还是先追乙?
32.A、B两人要到沙漠中探险,他们每天向沙漠深处走20千米,已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水,如果不准将部分食物存放于途中,问:
其中一人最远可以深入沙漠多少千米(要求最后二人返回出发点)?
33.在32题中,如果将条件改为可以将部分食物存放于途中以备返回时取用呢?
34.A、B两地相距a千米,中间是荒无人烟的戈壁,只有一条公路连接,现有一批卡车要从A地到B地,然后再返回A地,已知卡车自身携带的汽油
证供油。
运油车一次能运送一辆卡车行驶40a千米的汽油。
如果运油车可以把汽油存放在路途中的任一位置备用,那么一辆运油车最多可以保证多少辆卡车同时完成任务?
35.有一个岛屿,在海上环岛一周是220海里,炮舰装满燃料一次只能航行120海里,现在有A、B两艘炮舰,A舰作环岛航行,B舰负责在海上给A舰补充燃料。
如果全岛只有一个码头,那么应如何安排,才能使A舰完成环岛航行?
36.有一位探险家,用6天时间徒步横穿沙漠,如果一个搬运工只能搬运一个人四天的食物和水,那么这个探险家至少要雇用几个搬运工?
37.图5-22是一条铁路道叉示意图,图中L为车头,A、B为两节车皮,道叉YZ只能容纳一节车皮,现在想用车头L将A和B交换位置,应如何调车?
38.图5-23是一条铁路和一个道叉示意图。
甲、乙两列火车各由一个车头牵引着40节车皮在O处相遇,已知车头有足够的马力拉或推60节车皮,并且可以摘、挂任何一部分车皮。
如果道叉的长度仅能容一个车头和20节车皮,试提出调运方案,使甲列车能向右方开走,乙列车能向左方开走。
39.有一条可以坐20人的木船要载40名同学从岸边到湖中的A、B两岛参观(图5-24),参观A岛需30分钟,参观B岛需25分钟,岸边和A岛间船行需10分钟,岸边与B岛间船行需12分钟,A岛与B岛间船行需6分钟。
问:
40名同学全部参观完两岛后返回岸边最少需多少时间?
*40.甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子,甲厂每月用16天生产上衣,14天生产裤子,共生产448套衣服(每套上衣、裤子各一件);乙厂每月用12天生产上衣,18天生产裤子,共生产720套衣服。
现两厂合并后,每月最多可生产多少套衣服?
作者:
221.216.43.*2006-11-1620:
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