数学新高考一轮复习理 一元二次不等式及其解法.docx
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数学新高考一轮复习理一元二次不等式及其解法
第二节
一元二次不等式及其解法
“三个二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=-
没有实数根
一元二次不等式
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
R
一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
[小题体验]
1.(2019·温州模拟)已知集合A={x|x2-3x+2<0},B={x|x≥1},则A∩B=( )
A.(1,2) B.(2,+∞)
C.(1,+∞)D.∅
解析:
选A 由题意知,A={x|1<x<2},故A∩B={x|1<x<2}.
2.(教材习题改编)不等式-x2+2x-3>0的解集为________.
答案:
∅
3.不等式ax2+abx+b>0的解集为{x|2<x<3},则a=________,b=________.
解析:
由题意知2,3是ax2+abx+b=0的两根,
则
得
答案:
- -5
1.对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形.
2.当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是∅,要注意区别.
3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.
[小题纠偏]
1.不等式≤0的解集为( )
A.{x|x<1或x≥3}B.{x|1≤x≤3}
C.{x|1<x≤3}D.{x|1<x<3}
解析:
选C 由≤0,得
解得1<x≤3.
2.若不等式mx2+2mx+1>0的解集为R,则m的取值范围是________.
解析:
①当m=0时,1>0显然成立.
②当m≠0时,由条件知得0<m<1.
由①②知0≤m<1.
答案:
[0,1)
[题组练透]
1.已知函数f(x)=则不等式f(x)-x≤2的解集是________.
解析:
当x≤0时,原不等式等价于2x2+1-x≤2,∴-≤x≤0;当x>0时,原不等式等价于-2x-x≤2,∴x>0.综上所述,原不等式的解集为.
答案:
2.不等式≥-1的解集为________.
解析:
将原不等式移项通分得≥0,
等价于解得x>5或x≤.
所以原不等式的解集为.
答案:
3.解下列不等式:
(1)(易错题)-3x2-2x+8≥0;
(2)≥2.
解:
(1)原不等式可化为3x2+2x-8≤0,
即(3x-4)(x+2)≤0.解得-2≤x≤,
所以原不等式的解集为.
(2)不等式等价于
即
解得-≤x<1或1<x≤3.
所以原不等式的解集为.
[谨记通法]
解一元二次不等式的4个步骤
[典例引领]
解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
解:
原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,
因为a>0,所以a(x-1)<0,
所以当a>1时,解为<x<1;
当a=1时,解集为∅;
当0<a<1时,解为1<x<.
综上,当0<a<1时,不等式的解集为.
当a=1时,不等式的解集为∅.
当a>1时,不等式的解集为.
[由题悟法]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨论其等于0的情况.
[即时应用]
1.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集是( )
A.(2,3)
B.(-∞,2)∪(3,+∞)
C.
D.∪
解析:
选A 由题意知-,-是方程ax2-bx-1=0的根,所以由根与系数的关系得-+=,-×=-.解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a<0,即为x2-5x+6<0,解集为(2,3).
2.若不等式ax2+5x-2>0的解集是.
(1)求实数a的值;
(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.
解:
(1)由题意知a<0,且方程ax2+5x-2=0的两个根为,2,代入解得a=-2.
(2)由
(1)知不等式为-2x2-5x+3>0,
即2x2+5x-3<0,解得-3<x<,
即不等式ax2-5x+a2-1>0的解集为.
[锁定考向]
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题,常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围.
常见的命题角度有:
(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围;
(2)形如f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数的范围;
(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])确定x的范围.
[题点全练]
角度一:
形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围
1.若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( )
A.(-3,0) B.[-3,0)
C.[-3,0]D.(-3,0]
解析:
选D 当k=0时,显然成立;
当k≠0时,即一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则解得-3<k<0.
综上,满足不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(-3,0].
角度二:
形如f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数的范围
2.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围为________.
解析:
由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象关于直线x=1对称,即=1,解得a=2.
又因为f(x)开口向下,
所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,
所以f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,
f(x)>0恒成立,即b2-b-2>0恒成立,
解得b<-1或b>2.
所以b的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞)
答案:
(-∞,-1)∪(2,+∞)
角度三:
形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])确定x的范围
3.若不等式x2+(a-6)x+9-3a>0在|a|≤1时恒成立,则x的取值范围是________.
解析:
将原不等式整理成关于a的不等式(x-3)a+x2-6x+9>0.
令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9.
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立,所以
(1)若x=3,则f(a)=0,不符合题意,应舍去.
(2)若x≠3,则由一次函数的单调性,可得
即解得x<2或x>4.
故x的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞).
答案:
(-∞,2)∪(4,+∞)
[通法在握]
一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法
方法
解 读
适合题型
判别式法
(1)ax2+bx+c≥0对任意实数x恒成立的条件是
(2)ax2+bx+c≤0对任意实数x恒成立的条件是
二次不等式在R上恒成立
(如“题点全练”第1题)
分离参数法
如果不等式中的参数比较“孤单”,分离后其系数与0能比较大小,便可将参数分离出来,利用下面的结论求解:
a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min
适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求
(如“演练冲关”第2题)
主参换位法
把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]恒成立问题,若f(x)>0恒成立⇔
若f(x)<0恒成立⇔
若在分离参数时会遇到讨论参数与变量,使求函数的最值比较麻烦,或者即使能容易分离出却难以求出时
(如“题点全练”第3题)
[演练冲关]
1.(2018·台州模拟)不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为________.
解析:
因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,
所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对于任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0恒成立,
由二次不等式的性质可得,
Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,
所以(λ+8)(λ-4)≤0,
解得-8≤λ≤4.
答案:
[-8,4]
2.设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
解:
要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,
则mx2-mx+m-6<0,
即m2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
因为x2-x+1=2+>0,
又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.
因为m≠0,所以m的取值范围是(-∞,0)∪.
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.(2019·浙江名校联考)已知集合A={y|y=+1},B={x|x2-x-6>0},则A∩∁RB=( )
A.[1,2] B.[1,3]
C.[1,2)D.[1,3)
解析:
选B 由题意知A=[1,+∞),B=(-∞,-2)∪(3,+∞),故∁RB=[-2,3],A∩∁RB=[1,3].
2.(2018·台州模拟)不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]
解析:
选A x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.
3.(2018·镇海中学月考)不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},则不等式ax2-bx+c>0的解集为________.
解析:
令f(x)=ax2+bx+c,其图象如下图所示,
再画出f(-x)的图象即可,
所以不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-3<x<-2}.
答案:
{x|-3<x<-2}
4.(2018·金华十校联考)若不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的所有m都成立,则x的取值范围为___________.
解析:
原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0.
令f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).
则
解得<x<,
故x的取值范围为.
答案:
5.(2018·湖州五校联考)已知实数x,y满足x2+2y2+≤x(2y+1),则x=________,y=________,2x+log2y=________.
解析:
法一:
由已知得2x2+4y2-4xy-2x+1≤0,即(x-1)2+(x-2y)2≤0,所以解得x=1,y=,2x+log2y=2+log2=2-1=1.
法二:
由已知得,关于x的不等式x2-(2y+1)x+2y2+≤0(*)有解,所以Δ=[-(2y+1)]2-4≥0,即Δ=-(2y-1)2≥0,所以2y-1=0,即y=,此时不等式(*)可化为x2-2x+1≤0,即(x-1)2≤0,所以x=1,2x+log2y=2+log2=2-1=1.
答案:
1 1
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1.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于( )
A.-3 B.1
C.-1D.3
解析:
选A 由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},∴A∩B={x|-1<x<2},由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3.
2.若a<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是( )
A.(-∞,-a)∪(5a,+∞)
B.(-∞,5a)∪(-a,+∞)
C.(5a,-a)
D.(a,-5a)
解析:
选B 由x2-4ax-5a2>0,得(x-5a)(x+a)>0,
∵a<0,∴x<5a或x>-a.
3.(2018·丽水五校联考)设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于x的不等式f(x)≤1的解集为( )
A.(-∞,-3]∪[-1,+∞)B.[-3,-1]
C.[-3,-1]∪(0,+∞)D.[-3,+∞)
解析:
选C 因为f(-4)=f(0),所以当x≤0时,f(x)的对称轴为x=-2,又f(-2)=0,则f(x)=不等式f(x)≤1的解为[-3,-1]∪(0,+∞),故选C.
4.(2018·宁波四校联考)设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)的值为( )
A.正数
B.负数
C.非负数
D.正数、负数和零都有可能
解析:
选A 设f(x)=x2-x+a=0的两个根为α,β,由f(m)<0,则α<m<β,
由于二次函数f(x)=x2-x+a的对称轴为x=,且f(0)=a>0,则|α-β|<1,f(m-1)>0,故选A.
5.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是( )
A.[-4,1]B.[-4,3]
C.[1,3]D.[-1,3]
解析:
选B 原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1<a≤3.综上可得-4≤a≤3.
6.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是________.
解析:
∵不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,
∴Δ=a2-4×4>0,即a2>16.
∴a>4或a<-4.
答案:
(-∞,-4)∪(4,+∞)
7.若关于x的不等式ax>b的解集为,则关于x的不等式ax2+bx-a>0的解集为________.
解析:
由已知ax>b的解集为,可知a<0,且=,将不等式ax2+bx-a>0两边同除以a,得x2+x-<0,即x2+x-<0,即5x2+x-4<0,解得-1<x<,故所求解集为.
答案:
8.(2018·萧山月考)不等式x2+ax+b>0(a,b∈R)的解集为,若关于x的不等式x2+ax+b<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为________.
解析:
因为不等式x2+ax+b>0(a,b∈R)的解集为,
所以x2+ax+b=2=0,
那么不等式x2+ax+b<c,
即2<c,所以c≥0,
所以--<x<-,
又m<x<m+6,
--=m+6-m,
即2=6,所以c=9.
答案:
9
9.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.
(1)解关于a的不等式f
(1)>0;
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.
解:
(1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,
∴f
(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3,
∴原不等式可化为a2-6a-3<0,
解得3-2<a<3+2.
∴原不等式的解集为{a|3-2<a<3+2}.
(2)f(x)>b的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,
等价于解得
10.关于x的不等式的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.
解:
由x2-x-2>0可得x<-1或x>2.
∵的整数解为x=-2,
又∵方程2x2+(2k+5)x+5k=0的两根为-k和-.
①若-k<-,
则不等式组的整数解集合就不可能为{-2};
②若-<-k,则应有-2<-k≤3.∴-3≤k<2.
综上,所求k的取值范围为[-3,2).
三上台阶,自主选做志在冲刺名校
1.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2)B.(-2,+∞)
C.(-6,+∞)D.(-∞,-6)
解析:
选A 不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)=-2,∴a<-2.
2.设f(x)=ax2+bx+c,若f
(1)=,问是否存在a,b,c∈R,使得不等式x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切实数x都成立,证明你的结论.
解:
由f
(1)=,得a+b+c=.
令x2+=2x2+2x+,解得x=-1.
由f(x)≤2x2+2x+推得f(-1)≤,
由f(x)≥x2+推得f(-1)≥,
∴f(-1)=.∴a-b+c=.故a+c=且b=1.
∴f(x)=ax2+x+-a.
依题意ax2+x+-a≥x2+对一切x∈R都成立,
即(a-1)x2+x+2-a≥0对一切x∈R都成立.
∴a≠1且Δ=1-4(a-1)(2-a)≤0.
即(2a-3)2≤0,∴(2a-3)2=0,
由a-1>0得a=.∴f(x)=x2+x+1.
证明如下:
x2+x+1-2x2-2x-=-x2-x-=-(x+1)2≤0.
∴x2+x+1≤2x2+2x+对x∈R都成立.
x2+x+1-x2-=x2+x+=(x+1)2≥0,
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