新教材人教版高中物理选择性必修第一册教案设计22简谐运动的描述.docx
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新教材人教版高中物理选择性必修第一册教案设计22简谐运动的描述
2 简谐运动的描述
一、描述简谐运动的物理量
1.振幅
振动物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离叫作振动的振幅.振幅是标量,用A表示,单位是米(m).振幅是反映振动强弱的物理量,振幅越大表示振动越强.
2.周期和频率
做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫作振动的周期.单位时间内完成全振动的次数叫作振动的频率.周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量.它们的关系是T=1/f.在国际单位制中,周期的单位是秒.频率的单位是赫兹,1Hz=1s-1.
3.相位
用来描述周期性运动的物体在各个时刻所处的不同状态的物理量.
二、简谐运动的表达式
简谐运动的正弦函数表达式可以写成x=Asin(ωt+φ).其中A代表简谐运动的振幅;ω叫作简谐运动的“圆频率”,它与周期的关系是ω=
.它和周期、频率都表示简谐运动的快慢;ωt+φ代表简谐运动的相位,其中φ称为初相位.
从简谐运动的正弦函数表达式中,我们知道(ωt+φ)表示相位,你能据此表达式导出相位的单位吗?
提示:
由ω=
及ωt+φ知ωt+φ=
t+φ,其中φ表示角度,
t也表示角度,所以其单位应为角度的单位——弧度.
考点一描述简谐运动的物理量
1.振幅
说明:
振幅的两倍(2A)表示振动物体的运动范围,如上图所示.
振幅、位移和路程的关系
振幅
位移
路程
定义
振动物体离开平衡位置的最大距离
从平衡位置指向振子所在位置的有向线段
运动轨迹的长度
矢、标性
标量
矢量
标量
变化
在稳定的振动系统中不发生变化
大小和方向随时间做周期性变化
随时间增加
联系
①振幅等于最大位移的大小;
②振子在一个周期内的位移等于零,在一个周期内的路程等于4个振幅,在半个周期内的路程等于2个振幅
(1)在一个稳定的振动系统中,振幅是不变的,它与振动系统的周期(频率)或质点的位移无关.
(2)振幅是标量,它没有负值,也无方向,它等于振子最大位移的大小,却不是最大位移.
2.全振动
(1)如图,如果从振子向右通过O点的时刻开始计时,它将运动到M,然后向左回到O,又继续向左运动到达M′,之后又向右回到O.这样一个完整的振动过程称为一次全振动.
若从图中P0点向右运动开始计时,经历的一次全振动应为P0→M→P0→O→M′→O→P0.
(2)全振动的等时性:
不管以哪里作为开始研究的起点,弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的.
(3)对一次全振动的认识
对做简谐运动的物体,某一阶段的振动是否为一次全振动,可以从以下两个角度判断:
①从物体经过某点时的特征物理量看,如果物体的位移和速度都回到原值(大小、方向与初始状态完全相同),即物体完成了一次全振动.
②看物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的四倍.
3.周期
简谐运动的周期与什么因素有关?
简谐运动的周期公式:
T=2π
.
公式中m为做简谐运动物体的质量,k为做简谐运动物体受到的合外力跟位移大小的比值.(特例:
水平方向的弹簧振子,k指弹簧的劲度系数)
4.频率
(1)单位时间内完成全振动的次数,叫作振动的频率,用f表示.
(2)单位:
在国际单位制中,频率的单位是赫兹(Hz).
(3)意义:
频率是表示物体振动快慢的物理量.频率越大,表示振动得越快;频率越小,表示振动得越慢.
(4)频率与周期的关系:
T=
.
(1)简谐运动的频率(周期)由振动系统本身的因素决定,与振幅和其他因素无关,因此又称固有频率(周期).
(2)简谐运动的频率不是用来描述振动物体某时刻运动快慢的物理量,而是用来描述完成一次全振动快慢的物理量.
简谐运动的振幅和周期(频率)分别表示振动的强弱和快慢,各自是独立的,即振动的强弱与振动的快慢没有关系.或者说:
周期(频率)与振幅无关.
5.相位
在物理学中,我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态.
【例1】如右图所示,弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动,则( )
A.从B→O→C为一次全振动
B.从O→B→O→C为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动
D.从D→C→O→B→O为一次全振动
【审题指导】
思路1:
全振动的意义是什么?
物体完成一次全振动时,一定回到了初位置,且以与原来相同的速度回到初位置.
思路2:
全振动中路程与振幅有固定关系,即一次全振动通过的路程是振幅的4倍.
【解析】 一次全振动不是必须从平衡位置开始计时,只要再次同向经过某一位置,就完成了一次全振动,运动时间就是一个周期,运动的路程为4个振幅.
【答案】 C
(多选)如图,弹簧振子在BC间做简谐运动,O为平衡位置,B、C间距离是10cm,B→C运动时间是1s,则( CD )
A.振动周期是1s,振幅是10cm
B.从B→O→C振子做了一次全振动
C.经过两次全振动,通过的路程是40cm
D.从B开始运动经过3s,振子通过的路程是30cm
解析:
明确描述振动的物理量,弄清它们之间的关系是解题的关键.由题,BC间距离为10cm,则振幅A=5cm,B→C运动时间为1s,则周期T=2s.故A错误;从B→O→C,振子通过的路程是两个振幅,不是一次全振动,B错误;经过两次全振动,通过的路程s=8A=40cm,C正确;从B开始经过3s,振子振动了1.5个周期,通过的路程s=1.5×4A=30cm,故D正确.
【例2】 一质点在平衡位置O附近做简谐运动,从它经过平衡位置起开始计时,经0.13s质点第一次通过M点,再经0.1s第二次通过M点,则质点振动周期的值为多少?
【审题指导】
由于振动的往复性,质点经过某一位置时因速度方向不确定会导致多解.
【解析】 将物理过程模型化,画出具体情景.设质点从平衡位置O向右运动到M点,那么质点从O点到M点运动时间为0.13s,再由M点经最右端A点返回M点经历时间为0.1s,如图甲、乙所示.
根据以上分析,可以看出从O→M→A历时0.18s,根据简谐运动的对称性,可得到T1=4×0.18s=0.72s.
另一种可能如图丙所示,由O→A→M历时t1=0.13s,
由M→A′历时t2=0.05s,则
T2=t1+t2,故T2=
(t1+t2)=0.24s,所以周期的可能值为0.72s和0.24s.
【答案】 0.72s或0.24s
一弹簧振子做简谐运动,周期为T,则( C )
A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反,则Δt一定等于
的整数倍
C.若Δt=T,则在t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
D.若Δt=
,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等
解析:
弹簧振子做简谐运动的图像如图所示,图中A点与B、E、F、I等点的振动位移大小相等,方向相同.由图可知,A点与E、I等点对应的时间差为T或T的整数倍,A点与B、F等点对应的时间差不为T或T的整数倍,因此A选项不正确.
图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等,方向相反,由图可知A点与C、G等点对应的时间差为
或
的整数倍,A点与B、F等点对应的时间差不为
或
的整数倍,因此B选项不正确.
如果t时刻和(t+Δt)时刻相差一个周期T,则这两个时刻的振动情况完全相同,加速度一定相等,选项C正确.
如果t时刻和(t+Δt)时刻相差半个周期,则这两个时刻振动的位移大小相等,方向相反,弹簧的长度显然是不相等的,选项D也不正确.
考点二简谐运动的表达式
1.简谐运动的表达式:
x=Asin(ωt+φ).
(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移,t表示振动的时间.
(2)A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离,即振幅.
(3)ω称为简谐运动的圆频率,它也表示做简谐运动的物体振动的快慢.ω与周期T及频率f的关系为ω=
=2πf.所以简谐运动的表达式也可写成:
x=Asin(
t+φ)或x=Asin(2πft+φ).
(4)φ表示t=0时,简谐运动的质点所处的状态,称为初相位或初相.
(5)(ωt+φ)代表了简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态,所以代表简谐运动的相位.
2.相位差
(1)相位差是指两个相位之差,在实际应用中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差,它反映出两个简谐运动的步调差异.
设两频率相同的简谐运动的振动方程分别为x1=A1sin(ωt+φ1),x2=A2sin(ωt+φ2),
它们的相位差Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1.
可见,其相位差恰好等于它们的初相之差,因为初相是确定的,所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差.
(2)若Δφ=φB-φA>0,则称B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ;若Δφ=φB-φA<0,则称B的相位比A的相位落后Δφ或A的相位比B的相位超前Δφ.
(1)在比较相位或计算相位差时,一定要用同种函数来表示振动方程.
(2)相位差的取值范围:
-π≤φ≤π;相位每增加2π就意味着完成了一次全振动.
【例3】 (多选)物体A做简谐运动的振动位移xA=3sin
m,物体B做简谐运动的振动位移xB=5sin
m.比较A、B的运动( )
A.振幅是矢量,A的振幅是6m,B的振幅是10m
B.周期是标量,A、B周期相等为100s
C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D.A的相位始终超前B的相位
【审题指导】
1.振动位移公式x=Asin(ωt+φ),各物理量分别表示什么?
2.振动的超前、落后由什么物理量决定?
【解析】 振幅是标量,A、B的振动范围分别是6m、10m,但振幅分别为3m、5m.A错.A、B振动的周期T=
=
s=6.28×10-2s,B错;因TA=TB,故fA=fB,C对;Δφ=φA-φB=
为定值,D对,故选C、D.
应用简谐运动的表达式解决相关问题时,首先明确振幅A、周期T、频率f的对应数值,其中T=
,f=
;然后把确定的物理量与所要求解的问题相对应,找到关系.
【答案】 CD
某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=10sin
cm,则下列关于质点运动的说法中正确的是( C )
A.质点做简谐运动的振幅为5cm
B.质点做简谐运动的周期为4s
C.在t=4s时质点的速度最大
D.在t=4s时质点的位移最大
解析:
由x=10sin
cm可知,A=10cm,ω=
=
rad/s,得T=8s.t=4s时,x=0,说明质点在平衡位置,此时质点的速度最大、位移为0,所以只有选项C正确.
学科素养提升
振幅与位移和路程的关系
1.振动的振幅与振动的位移
(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离;位移是物体相对于平衡位置的位置变化.
(2)振幅是表示振动强弱的物理量,在同一简谐运动中振幅是不变的,但位移却时刻变化.
(3)振幅是标量,位移是矢量.
(4)振幅在数值上等于最大位移的绝对值.
2.振幅与路程的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅.
(2)振动物体在半个周期内的路程一定为两个振幅.
(3)振动物体在
T内的路程可能等于一个振幅,可能大于一个振幅,还可能小于一个振幅.只有当
T的初时刻振动物体在平衡位置或最大位移处,
T内的路程才等于一个振幅.
【典例】 如图所示,将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx,释放后振子在A、B间振动,且AB=20cm,振子首次由A到B的时间为0.1s,求:
(1)振子振动的振幅、周期和频率;
(2)振子由A到O的时间;
(3)振子在5s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小.
【解析】
(1)由题图可知,振子振动的振幅为10cm,
t=0.1s=
,所以T=0.2s.
由f=
得f=5Hz.
(2)根据简谐运动的对称性可知,振子由A到O的时间与振子由O到B的时间相等,均为0.05s.
(3)设弹簧振子的振幅为A,则A=10cm.振子在1个周期内通过的路程为4A,故在t=5s=25T内通过的路程s=25×40cm=1000cm.
5s内振子振动了25个周期,5s末振子仍处在A点,所以振子偏离平衡位置的位移大小为10cm.
【答案】
(1)10cm 0.2s 5Hz
(2)0.05s
(3)1000cm 10cm
求路程时,首先应明确振动过程经过几个整数周期,得到这几个周期内的路程,再分析最后不到一个周期的时间内的路程,两部分之和即为总的路程,振子在
周期内的路程可能等于一个振幅,也可能大于一个振幅,还可能小于一个振幅,只有从平衡位置或最大位移处开始运动,
周期内的路程才等于一个振幅.
1.如图所示是一质点做简谐运动的振动图像,下列说法正确的是( C )
A.t1至t2时刻质点完成一次全振动
B.t1至t3时刻质点完成一次全振动
C.t1至t4时刻质点完成一次全振动
D.t2至t4时刻质点完成一次全振动
解析:
一次全振动结束,各物理量刚好回到本次全振动开始时的值,从图像上来看,刚好完成一次周期性变化,所以只有t1~t4时间对应一次全振动.
2.(多选)振动周期是指振动物体( CD )
A.从任一个位置出发又回到这个位置所用的时间
B.从一侧最大位移处运动到另一侧最大位移处所用的时间
C.从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用的时间
D.经历了四个振幅的时间
解析:
振子经历一个振动周期,速度的大小和方向又完全恢复到初始状态,振子运动的路程为四倍振幅.
3.(多选)一个质点做简谐运动,质点每次经过同一位置时,下列物理量一定相同的是( BCD )
A.速度 B.加速度
C.动能D.位移
解析:
质点做简谐运动,每次经过同一位置时,它的位移、加速度、动能一定相同;而速度大小相同,方向不一定相同.所以B、C、D选项正确.
4.一质点做简谐运动的位移—时间图线如图所示.关于此质点的振动,下列说法中正确的是( D )
A.质点做简谐运动的表达式为x=10sin(πt)cm
B.在0.5~1.0s时间内,质点向x轴正向运动
C.在1.0~1.5s时间内,质点的动能在增大
D.在1.0~1.5s时间内,质点的加速度在增大
解析:
本题考查简谐振动.由图像可知,质点振幅为5cm,振动周期T=2.0s,则ω=
=π.因此,振动方程为x=5sin(πt)cm;0.5~1.0s时间内,质点向x轴负向运动;1.0~1.5s时间内,质点由平衡位置向x轴负向运动,速度逐渐减小,动能逐渐减小,加速度逐渐增大.选项A、B、C错误,D正确.
5.一个简谐运动的振动方程为x=5sin(2πt+
)cm,这个振动的振幅是5cm;频率是1Hz;在t=0.1s时的相位是
;在1s的时间内振子通过的路程是20cm.
解析:
振幅可直接由表达式读出,A=5cm,圆频率ω=2π,由ω=2πf知其频率f=1Hz.t=0.1s时,2πt+
=0.2π+
=
π,即相位为
π,因为f=1Hz,则T=
=1s,故1s内通过的路程s=4A=4×5cm=20cm.
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