甘肃省民乐一中学年高一创新实验班招生考试数学试题含答案.docx
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甘肃省民乐一中学年高一创新实验班招生考试数学试题含答案
民乐一中2021级创新实验班招生考试数学试卷
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数
中,自变量x的取值范围是()
A.x>2B.x≥2C.x≥2且x≠0D.x≠0
2.化简算式+等于()
A.1B.1+2C.D.
3.如图是六个棱长为1的正方块组成的一个几何体,它的左视图的面积是()A.6B.5C.4D.3
4.若函数y1=x+1与函数y2=的图象相交于点M(1,m),N(﹣2,n).若y1 A.x<﹣2或0<x<1B.x<﹣2或x>1 C.﹣2<x<0或0<x<1D.﹣2<x<0或x>1 5.如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的高,则BD的长为( ) A. B. C. D. 6.定义运算: m☆n=mn2﹣mn﹣1.例如: 4☆2=4×22﹣4×2﹣1=7.则方程1☆x=0的根的情况为( ) A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.无实数根D.只有一个实数根 7.用换元法解方程+=2时,若设=y,则原方程可化为关于y的方程是 () A.y2﹣2y+1=0B.y2+2y+1=0C.y2+y+2=0D.y2+y﹣2=0 8.如图,等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,将BC绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<90°),得到BP,连结CP,过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H,连结AP,则∠PAH的度数() A.随着θ的增大而增大B.随着θ的增大而减小 C.不变D.随着θ的增大,先增大后减小 9.已知抛物线(其中 , , 是常数, , )经过点(2,0),其对称轴是直线.有下列结论: ①,②关于 的方程有两个不等的实数根,③a<-.其中正确结论的个数是() A.0B.1C.2D.3 10.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,直线l垂直于底边BC于点F,现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点,直线l与△ABC的边相交于E,F两点.设线段EF的长度为y,平移时间为t,则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是( ) 二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.) 11.因式分解: 3a4﹣3b4= . 12.埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一,其底面是正方形、侧面是全等的等腰三角形.底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是(﹣1),它介于整数n和n+1之间,则n的值是 . 13.把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得的抛物线的解析式是y=x2-3x+5,则a+b+c=__________. 14.我国古代有这样一道数学问题: “枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何? ”题意是: 如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因为一丈等于十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是尺. 15.如图,AB是圆O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于. 16.如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的,依照此规律排列下去,第个图形中共有210个小球. 17.如图,已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数y=和y=在第一象限的图象于点A,B,过点B作BD⊥x轴于点D,交y=的图象于点C,连接AC.若△ABC是等腰三角形,则k的值是 . 18.如图,动点M在边长为2的正方形ABCD内,且AM⊥BM,P是DC边上的一个动点,E是AD边的中点,则线段PE,PM的和PE+PM的最小值是. 三、解答题: 本大题共10小题,共78分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19.(5分)初中数学教科书告诉我们一种作已知角的平分线的方法: 已知: 求作: 的平分线 作法: (1)以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N; (2)分别以点M,N为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧在 的内部相交于点C; (3)画射线OC,射线OC即为所求. 请你根据提供的材料完成下面问题: (1)这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号). ① ②③④ (2)请你证明OC为的平分线. 20.(5分)先化简,再从-2,-1,0,1,2中选一个合适的数作为x的值代入求值. 21.(6分)如下是学习分式方程的应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程. 一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h,它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间,与以最大航速逆流航行60km所用时间相等,求江水的流速为多少? 甲: ;乙: 根据以上信息,解答下列问题: (1)甲同学所列方程中的x表示______________________; 乙同学所列方程中的y表示________________________________________; (2)两个方程中任选一个,解方程并回答老师提出的问题. 22.(6分)如图,某楼房AB顶部有一根天线 ,为了测量天线的高度,在地面上取同一条直线上的三点C,D,A,在点C处测得天线顶端E的仰角为,从点C走到点D,测得CD=5m,从点D测得天线底端 的仰角为,已知A,B,E在同一条垂直于地面的直线上,AB=25m.求天线BE的高度.(结果保留根号) 23.(8分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出两种暑期优惠活动方案.方案一: 购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠;方案二: 不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠. 设某学生暑期健身x(次),按照方案一所需费用为y1(元),且y1=k1x+b;按照方案二所需费用为y2(元),且y2=k2x.其函数图象如图所示. (1)求k1和b的值,并说明它们的实际意义; (2)求打折前的每次健身费用和k2的值; (3)学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次,应选择哪种方案所需费用更少? 说明理由. 24.(7分)如图,已知一次函数=x-1的图象与反比例函数=(x>0)的图象相交于点A(3,m),与y轴交于点B. (1)求m和k的值; (2)设点P(x,y)(x>3)是反比例函数图象上的一点,过点P作直线PC⊥x轴于点C,交=x-1的图象于点D,连接BP,OA,若,求点P的坐标. 25.(9分)某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表: 售价x(元/件) 50 60 80 周销售量y(件) 100 80 40 周销售利润w(元) 1000 1600 1600 注: 周销售利润=周销售量×(售价-进价). (1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围); ②该商品进价是 元/件;当售价是 元/件时,周销售利润最大,最大利润是 元; (2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足 (1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值. 26.(10分)如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两顶点A,C分别在y轴,x轴的正半轴上,且OA=4,OC=6,点O为原点,将矩形OABC绕O点顺时针旋转45°后停止. (1)求矩形OABC在整个旋转过程中所扫过的面积; (2)如图2,在旋转过程中,是否存在某一位置,使得BC边与x轴的交点N恰好是BC的中点,若存在,求出此时点A的坐标;若不存在,请说明理由. 27.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB. (1)求证: 直线BF是⊙O的切线; (2)若AB=5,sin∠BAD=,求AD和CF的长; 28.(12分)如图,抛物线的顶点为A(h,﹣1),与y轴交于点B(0,﹣),点F(2,1)为抛物线对称轴上的一个定点. (1)求这条抛物线的解析式; (2)已知直线l是过点C(0,﹣3)且垂直于y轴的定直线,若抛物线上的任意一点P(m,n)到直线l的距离为d,求证: PF=d; (3)已知坐标平面内的点D(4,3),请在抛物线上找一点Q,使△DFQ的周长最小,并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标. 创新实验班数学参考答案 一、选择题(每题4分,共40分) 1.B2.B3.D4.A5.D6.A7.A8.C9.C10.B 二、填空题(每题4分,共32分) 11.3(a2+b2)(a+b)(a-b)12.113.1114.2515.70°16.20 17. 或 .(缺一个答案扣2分,若有错解不得分)18.-1 三、解答题(共78分) 19. (1)①………1分 (2)如图,连接MC,NC. 根据作图的过程知,在△MOC与△NOC中, ,………3分 ∴△MOC≌△NOC(SSS),………4分 ∠AOC=∠BOC,∴OC为 的平分线.………5分 20.原式=.........1分 =====..........3分 在-2,-1,0,1,2中,只有当x=-2时,原分式有意义,即x只能取-2....4分 当x=-2时,原式==-1....................................5分 21. (1)江水的流速;..........1分 轮船以最大航速沿江顺流航行90km所用时间,或以最大航速逆流航行60km所用时间............................2分 (2)选第一个方程: 由得,....................3分 90-3x=60+2x,x=6....................4分 经检验,x=6是原方程的解....................5分 答: 江水的流速为6km/h...............6分 选第二个方程求解如下,参考上面步骤给分: 由得y=2.5,经检验符合原方程,于是船逆流航行的速度为602.5=24km/h,水流速度为30-24=6km/h。 答: 江水的流速为6km/h......6分 22. (1)依题意可得,在中,,,...1分 m,m.....................2分 在中,,, ,...................4分 ...................5分 答: 天线 的高度为()m...............6分 23. (1)∵y1=k1x+b过点(0,30),(10,180),代入得: b=30,10k1+b=180, ..............1分 解得b=30,k1=15...............2分 其中k1=15表示的实际意义是: 购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元,..............3分 b=30表示的实际意义是: 购买一张学生暑期专享卡的费用为30元;.......4分 (2)由题意可得,打折前的每次健身费用为15÷0.6=25(元),..........5分 则k2=25×0.8=20;..........6分 (3)选择方案一所需费用更少.理由如下: ..........7分 由题意可知,y1=15x+30,y2=20x. 当健身8次时,选择方案一所需费用: y1=15×8+30=150(元). 选择方案二所需费用: y2=20×8=160(元), ∵150<160,∴选择方案一所需费用更少...........8分 24. (1)将A(3,m)代入=x-1中得,m=2,…………………1分 将A(3,2)代入=中得,k=6;…………………………2分 (2)设P(a,),D(a,a-1),则PD=a-1-,………………………………………3分 ∵,B(0,-1) ∴a(a-1-)=2………………………………………5分 解得: a=-3(舍),或a=4………………………………………6分 ∴P(4,)………………………7分 25. (1)①设y与x的函数关系式为y=kx+b,依题意,有…………………1分 解得∴y与x的函数关系式是y=-2x+200.…………………2分 ②40,70,1800.…………………5分 (2)依题意有,w=(-2x+200)(x-40-m)=-2x2+(2m+280)x-8000-200m=-2(x-)2+m2-60m+1800.…………………7分 ∵m>0,∴对称轴x=>70,∵-2<0,x≤65,∴w随x的增大而增大,∴当x=65时,w有最大值(-2×65+200)(65-40-m),∴(-2×65+200)(65-40-m)=1400,…8分 ∴m=5.…………………9分 26. (1)如图1,矩形OABC扫过区域面积是一个扇形BOB′面积与矩形OABC面积之和,……………………………1分 OB2=52,……………………………2分 ∴S=×52+24=+24……………………………3分 (2)存在.理由如下: ………………………………………………4分 过点A作AM⊥y轴于点M. ∵∠MON=∠AOC=90°,∠MON-∠AON=∠AOC-∠AON,∴∠AOM=∠NOC…………5分 又∵∠AMO=∠NCO=90°,∴△OAM∽△ONC ∴…………6分 ∵OA=4,OC=6,N恰好是BC的中点,CN=2,∴ON=……7分 ∴OM=,AM=……………9分 ∴存在点A(,)………………………10分 27. (1)连接AE,∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°,AE⊥BC,……………1分 ∵AB=AC,∴∠BAE=∠CAB,……………2分 ∵∠CBF=∠CAB,∴∠BAE=∠CBF,……………3分 ∵∠BAE+∠CBA=90°,∴∠CBF+∠CBA=90°,AB⊥BF,∴直线BF是⊙O的切线; ……………4分 (2)连接BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,……5分 sin∠BAD= = ,即 = ,解得,BD=4, 由勾股定理得,AD= = =3;……6分 ∵AC=AB=5,∴CD=AC-AD=2,……7分 ∵∠BAD+∠DBA=∠DBF+∠DBA=90°,∴∠BAD=∠DBF, ∴sin∠BAD=sin∠DBF= ………………8分 设DF=4m,BF=5m,则BD=3m=4,m=,………………9分 DF=,CF=-2=.………………10分 28. (1)由题意抛物线的顶点A(2,﹣1),设抛物线为y=a(x﹣2)2﹣1,……1分∵抛物线经过B(0,﹣),∴﹣=4a﹣1,∴a=,…………2分 ∴抛物线为y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣x﹣.…………3分 (2)∵P(m,n),∴n= m2﹣ m﹣ ,∴P(m, m2﹣ m﹣ ),∴d= m2﹣ m﹣ ﹣(﹣3)= m2﹣ m+ ,…………4分 ∵F(2,1),∴PF= = ,…………6分 ∴d2= m4﹣ m3+ m2﹣ m+ ,PF2= m4﹣ m3+ m2﹣ m+ ,…………7分 ∴d2=PF2,∴PF=d.………………8分 (3)如图,过点Q作QH⊥直线l于H,过点D作DN⊥直线l于N. ∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ,DF= =2 ,∴DF是定值,∴当DQ+QF的值最小时,△DFQ的周长最小,………………9分 由 (2)可知QF=QH,∴DQ+QF=DQ+QH,根据垂线段最短可知,当D,Q,H共线时,DQ+QH的值最小,此时点H与N重合,点Q在线段DN上,∴DQ+QH的最小值为DN=6,∴△DFQ周长的最小值为2+6,………………11分 此时Q(4,﹣).………………12分
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